基于隨機(jī)有限元的農(nóng)機(jī)變速箱體和軸的模態(tài)分析

毛丹丹，汪小志

(1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.南昌工學(xué)院，南昌 330108；3.南昌大學(xué)，南昌 330031)

0 引言

利用傳統(tǒng)的方法對(duì)機(jī)械零部件進(jìn)行有限元分析時(shí)，直接采用設(shè)定的參數(shù)進(jìn)行有限元計(jì)算，得到固定條件下的應(yīng)力應(yīng)變和模態(tài)分析數(shù)據(jù)，對(duì)于機(jī)械裝置的可靠性分析具有一定的局限性[1-5]。如果通過實(shí)驗(yàn)的方法來研究各種參數(shù)的影響，由于變速箱體的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且不同結(jié)構(gòu)的通用性不強(qiáng)，使得實(shí)驗(yàn)的成本昂貴，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果還不具有通用性[6-7]。為了提高有限元仿真的可靠性，可以考慮使仿真模型的參數(shù)隨機(jī)變化，這就需要借助于隨機(jī)有限元方法。在ANSYS軟件分析中，Monte Carlo 是典型和常用的隨機(jī)有限元方法，將其使用在變速箱有限元模態(tài)分析中，可有效提高仿真的效率和計(jì)算的可靠性[8-11]。

1 農(nóng)機(jī)變速箱和軸隨機(jī)有限元方法分析

大型農(nóng)機(jī)的變速箱在使用過程中經(jīng)常會(huì)在空腔連接區(qū)域發(fā)生斷裂，這是由于軸的變形和振蕩會(huì)引起箱體的疲勞破壞，因此對(duì)變速箱和軸展開模態(tài)分析是非常有必要的[12-16]。有限元分析是當(dāng)前主要的機(jī)械零部件模態(tài)和可靠性分析軟件，但由于在虛擬仿真過程中，存在載荷、幾何變形和材料等數(shù)據(jù)參數(shù)的隨機(jī)性，于是引入了隨機(jī)有限元方法，其流程如圖1所示。

圖1 基于隨機(jī)有限元的變速箱模態(tài)分析Fig.1 Modal analysis of Gearbox Based on stochastic finite element method

由于在有限元仿真時(shí)，其計(jì)算的控制方程的荷載矩陣[F]、彈性矩陣[D]和幾何矩陣[D]等參數(shù)都可以是隨機(jī)變化的，這便使計(jì)算方程擁有了隨機(jī)性參數(shù)，也為有限元模態(tài)分析提供了更加可靠的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。在進(jìn)行有限元仿真過程中，可以將矩陣變量的平均值和隨機(jī)波動(dòng)值引入計(jì)算過程中，其表達(dá)式為

(1)

對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)，其分析方法有兩種：一種是統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，一種是非統(tǒng)計(jì)學(xué)方法[17-20]。隨機(jī)有限元方法也可以分為基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的有限元分析和基于非統(tǒng)計(jì)方法的有限元分析，為了充分保證材料、載荷和幾何變形等仿真參數(shù)的隨機(jī)性，本次選用基于非統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的有限元分析方法[21]。

2 變速箱和軸類零件有限元網(wǎng)格劃分和分析原理

變速箱屬于復(fù)雜機(jī)械零部件結(jié)構(gòu)，采用有限元分析方法，劃分網(wǎng)格時(shí)可以采用四面體網(wǎng)格；軸類零件屬于桿件零件[22-23]。有限元分析時(shí)，可以將其分為n個(gè)有限段，各段之間使用節(jié)點(diǎn)連接。每個(gè)四面體和每個(gè)有限段被稱作有限單元，組成的網(wǎng)格模型被稱作有限元模型，假設(shè)模型中的第i個(gè)有限單元的長度為i，包含了的節(jié)點(diǎn)為第i、i+1個(gè)，則單元的位移為

(2)

其中，ui為第i節(jié)點(diǎn)的位移；xi為第i節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。第i個(gè)單元的應(yīng)變?yōu)棣舏，應(yīng)力為σi，內(nèi)力為Ni，則

(3)

(4)

(5)

圖2 有限元集中質(zhì)量單元Fig.2 The lumped mass unit in finite element

對(duì)于第i+1節(jié)點(diǎn)，由力的平衡方程可得

(6)

(7)

根據(jù)約束條件，u1=0，對(duì)于第n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)有

(8)

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建立所有節(jié)點(diǎn)的力平衡方程，可以得到由n+1個(gè)方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個(gè)未知的節(jié)點(diǎn)位移。

由于變速箱體的結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，因此一般采用四面體網(wǎng)格對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖3所示。四面體單元是由4個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的[24-25]。在進(jìn)行實(shí)際模型計(jì)算時(shí)，需要將節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，通過網(wǎng)格劃分最終得到的變速箱四面體網(wǎng)格如圖4所示。

圖3 有限元四面體單元Fig.3 The tetrahedron element in finite element

圖4 變速箱三維實(shí)體網(wǎng)格劃分Fig.4 Three dimensional solid meshing of gearbox

對(duì)于模型有限元模態(tài)分析可以采用彈性力學(xué)原理，建立變速箱節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而確定有限元分析的一個(gè)近似的計(jì)算表達(dá)式。其中，最常用的是建立節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，即

{F}e=[K]e{δ}e

(10)

由于實(shí)際計(jì)算是需要對(duì)整體的模型進(jìn)行有限元分析，因此建立好各個(gè)單元之間的節(jié)點(diǎn)聯(lián)系后，通過建立外載荷和節(jié)點(diǎn)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)模型的整體分析，如圖5所示。

圖5 模型整體分析實(shí)例Fig.5 The model example of the whole analysis

在模型整體分析時(shí)，在模型的邊界處i節(jié)點(diǎn)上施加了集中力載荷，該節(jié)點(diǎn)和3個(gè)單元相關(guān)聯(lián)，采用隨機(jī)有限元方法可以在3個(gè)單元上隨機(jī)分配集中力載荷；以此類推，將集中力合理的分配給整體的每個(gè)單元體。

3 農(nóng)機(jī)變速箱和軸有限元仿真模態(tài)分析

大型農(nóng)機(jī)的變速箱結(jié)構(gòu)一般采用鑄件結(jié)構(gòu)，其材料為脆性材料，當(dāng)外界荷載或者疲勞荷載超過最大的強(qiáng)度極限時(shí)，變速箱體會(huì)發(fā)送斷裂或者疲勞破壞[26-27]。因此，在有限元分析時(shí)，可以通過分析變速箱的應(yīng)力分布，得到變速箱脆弱的部位。

圖6所示為變速箱體的應(yīng)力分析結(jié)果。由圖6可以看出：變速箱體的應(yīng)力主要集中在與軸的接觸部位，且其應(yīng)力的大小同接觸軸的不同模態(tài)的大小有關(guān)，進(jìn)一步對(duì)軸的模態(tài)分析展開研究，更有利于探索變速箱的整體力學(xué)性能。

圖7為正常變速箱軸的網(wǎng)格。為了提高有限元分析的準(zhǔn)確性，采用了結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格。為了驗(yàn)證軸破壞后模態(tài)響應(yīng)的變化對(duì)變速箱體的力學(xué)性能影響，人為設(shè)置了軸類的破壞形式，如圖8所示。

圖6 變速箱體應(yīng)力分析結(jié)果Fig.6 The stress analysis results of gearbox

圖7 正常變速箱軸Fig.7 The axis of normal gear-box

圖8 破壞后的模型和網(wǎng)格Fig.8 The model and grid after the destruction

為了簡化分析，將破壞后的軸上增加了幾個(gè)小孔，增加孔后增加了軸的形狀復(fù)雜性，因此將結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分為四面體結(jié)構(gòu)，通過有限元仿真計(jì)算，得到了如表1所示的分析結(jié)果。

表1 破壞前后軸的模態(tài)分析

續(xù)表1

通過有限元分析對(duì)比了軸發(fā)生破壞前后的模態(tài)分析結(jié)果，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)：在不同階數(shù)時(shí)，軸發(fā)生破壞后其振幅明顯增大，而箱體的振幅也有所增大，因此在實(shí)際作業(yè)時(shí)，需要做好軸的監(jiān)測(cè)工作，以避免對(duì)箱體產(chǎn)生破壞。

4 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)重型農(nóng)機(jī)變速箱的振動(dòng)特性優(yōu)化，將有限元方法引入到了變速箱的模態(tài)分析過程中，考慮材料、荷載和幾何變形的隨機(jī)性，引入了隨機(jī)有限元方法，從而提高了有限元仿真的可靠性。建立了變速箱和軸有限元分析的簡化力學(xué)模型，并由力和力矩的平衡方程推導(dǎo)了有限元分析的微分方程，利用UG建模和網(wǎng)格劃分軟件，分別建立了變速箱體和軸的三維模型，并劃分了網(wǎng)格。其中，變速箱體采用四面體網(wǎng)格，軸破壞前采用六面體網(wǎng)格，破壞后采用四面體網(wǎng)格。將有限元網(wǎng)格代入到ANSYS中，通過隨機(jī)有限元方法分析，最終得到了變速箱體和軸破壞前后的振動(dòng)模態(tài)分析數(shù)據(jù)，為重型農(nóng)機(jī)變速箱體的優(yōu)化提供了數(shù)據(jù)參考。

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