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    概率相關(guān)知識(shí)的發(fā)展認(rèn)識(shí)

    2018-06-05 09:44:30王俊
    初中生世界·八年級(jí) 2018年4期
    關(guān)鍵詞:伯努利數(shù)學(xué)家古典

    王俊

    教材里“認(rèn)識(shí)概率”這一章介紹了概率的兩種計(jì)算方法:一是用列舉法來(lái)求概率;二是用頻率來(lái)估計(jì)概率.這其實(shí)就是數(shù)學(xué)史上概率的古典定義和統(tǒng)計(jì)定義.

    一、概率的古典定義

    古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.它源于賭博、博弈等多種多樣的形式,但是它的前提是“公平”,即“機(jī)會(huì)均等”,而這正是古典定義適用的重要條件:同等可能.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹(1501—1576)所說(shuō)的“誠(chéng)實(shí)的骰子”就道明了這一點(diǎn).在之后約三百年的時(shí)間里,帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計(jì)算、公式推導(dǎo)和擴(kuò)大應(yīng)用等方面做了重要的工作.直到1812年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(1749—1827)在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義:事件A的概率等于一次試驗(yàn)中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比.古典定義通過(guò)簡(jiǎn)單明了的方式定義了事件的概率,并給出了簡(jiǎn)單可行的算法.

    二、概率的統(tǒng)計(jì)定義

    概率的古典定義雖然簡(jiǎn)單直觀,但是適用范圍有限.正如伯努利所說(shuō):“這種方法僅適用于極罕見(jiàn)的現(xiàn)象.”因此,他通過(guò)觀察來(lái)確定結(jié)果數(shù)目的比例,并且認(rèn)為“即使是沒(méi)受過(guò)教育和訓(xùn)練的人,憑天生的直覺(jué),也會(huì)清楚地知道,觀測(cè)的次數(shù)越多,發(fā)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)就越小”.雖然原理簡(jiǎn)單,但是其科學(xué)證明并不簡(jiǎn)單,在古典概型下,伯努利證實(shí)了這一點(diǎn),即“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)愈來(lái)愈大時(shí),頻率接近概率”.

    事實(shí)上,這不僅僅對(duì)于古典概型適用,人們確信“從現(xiàn)實(shí)中觀察的頻率穩(wěn)定性”是一個(gè)普遍規(guī)律.1919年,德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米塞斯(1883—1953)在《概率論基礎(chǔ)研究》一書(shū)中提出了概率的統(tǒng)計(jì)定義:在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,某個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)值的附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性.他把這個(gè)固定的數(shù)值定義為這一個(gè)事件的概率.雖然統(tǒng)計(jì)定義不能像古典定義那樣確切地算出概率,但是卻給出了一個(gè)估計(jì)概率的方法.而且,它不再需要“等可能”的條件,因此,從應(yīng)用的角度來(lái)講,它的適用范圍更廣.

    三、有趣的概率問(wèn)題

    概率是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里實(shí)用性很強(qiáng)的內(nèi)容.不論是今天的趣味數(shù)學(xué)題里的基礎(chǔ)題目還是大學(xué)里的統(tǒng)計(jì)學(xué),都會(huì)用到概率的內(nèi)容.下面有一道趣味數(shù)學(xué)題,大家不妨來(lái)試一試!

    兩個(gè)人出相同的錢(qián)玩擲雙骰子的游戲,約定誰(shuí)先擲出5次“雙6”誰(shuí)就獲得所有的錢(qián).經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的游戲,甲擲出了4次“雙6”,乙擲出了3次“雙6”,但是此時(shí)甲、乙兩人不想再繼續(xù)這個(gè)游戲,請(qǐng)問(wèn)錢(qián)應(yīng)該怎么分配才公平?

    甲獲得總額的[3/4],乙獲得總額的[1/4].注意到兩點(diǎn):(1)甲、乙雙方擲出“雙6”的概率均為[1/36];(2)如果擲出的不是“雙6”,則這對(duì)雙方都沒(méi)有影響.此題目和下面的題目是一樣的:兩人玩游戲約定誰(shuí)先贏5次誰(shuí)就贏走所有的錢(qián),輸贏概率一樣.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,甲贏了4次,乙贏了3次,如果現(xiàn)在終止游戲,賭資怎么分配才合理?

    顯然,通過(guò)以上趣味實(shí)例,我們可以發(fā)現(xiàn)古典概率應(yīng)用范圍較為廣泛,但在計(jì)算中,有些情況不容易將其全面考慮,會(huì)出現(xiàn)多算、漏算的錯(cuò)誤.總之,采用什么方法進(jìn)行解題,取決于實(shí)際的題目背景,然后再巧妙靈活地運(yùn)用合適的方法.

    (作者單位:江蘇省無(wú)錫市新吳實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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