一種局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法

趙陽(yáng)陽(yáng)，張小璐，張福浩，仇阿根，楊 毅，石麗紅，劉曉東

1. 中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院政府地理信息系統(tǒng)研究中心，北京 海淀 100830； 2. 淮海工學(xué)院測(cè)繪與海洋信息學(xué)院，江蘇 連云港 222000

在時(shí)空回歸分析中，回歸點(diǎn)與一定時(shí)空范圍內(nèi)的觀測(cè)點(diǎn)有關(guān)，因此可以利用這些觀測(cè)點(diǎn)計(jì)算回歸點(diǎn)的擬合值[1]。時(shí)空地理加權(quán)回歸是一個(gè)典型的時(shí)空回歸分析方法，其步驟是先利用固定型帶寬或調(diào)整型帶寬準(zhǔn)則[2]確定對(duì)回歸點(diǎn)產(chǎn)生影響的觀測(cè)點(diǎn)，再通過(guò)觀測(cè)點(diǎn)與回歸點(diǎn)之間的時(shí)空距離和權(quán)函數(shù)計(jì)算權(quán)重矩陣[3]，最后采用加權(quán)最小二乘估計(jì)方法估算回歸系數(shù)值和擬合值[4-5]。實(shí)踐證明時(shí)空地理加權(quán)回歸是探測(cè)時(shí)空非平穩(wěn)特征的有效方法，應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)[6]采用時(shí)空地理加權(quán)回歸方法，在考慮了房?jī)r(jià)自身影響的情況下，研究了深圳市房?jī)r(jià)的時(shí)空非平穩(wěn)變化情況；文獻(xiàn)[7]利用時(shí)空地理加權(quán)回歸方法建立了美國(guó)馬里蘭州巴爾的摩縣的土地利用時(shí)空變化模型；文獻(xiàn)[8]和[9]利用時(shí)空地理加權(quán)回歸方法，研究了PM2.5、PM10的時(shí)空非平穩(wěn)特征。

GTWR的加權(quán)最小二乘估計(jì)方法是在隨機(jī)項(xiàng)方差相同且最小的假設(shè)條件下估計(jì)回歸參數(shù)和擬合值，而現(xiàn)實(shí)中自變量的隨機(jī)項(xiàng)方差是不相同的，因此基于加權(quán)最小二乘的GTWR估計(jì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生偏差。隨機(jī)項(xiàng)方差不同又稱異方差，它普遍存在時(shí)空分析中，例如房?jī)r(jià)變化，一線城市城區(qū)和郊區(qū)的房?jī)r(jià)差異，比二三線城市城區(qū)和郊區(qū)的波動(dòng)性大，在考慮時(shí)間因素后，時(shí)空因素的變化對(duì)房?jī)r(jià)的波動(dòng)影響也不相同。又例如人口變化，經(jīng)濟(jì)發(fā)展好的城市對(duì)人口的吸引力遠(yuǎn)大于經(jīng)濟(jì)條件一般的城市，隨著時(shí)間的變化，這種人口增長(zhǎng)差距更大。對(duì)于上述現(xiàn)象，基于加權(quán)最小二乘估計(jì)的時(shí)空地理加權(quán)回歸方法分析結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差。局部多項(xiàng)式估計(jì)是一種良好的非參數(shù)估計(jì)方法，可以消除異方差的影響，減小回歸系數(shù)估計(jì)值偏差，提升擬合精度。文獻(xiàn)[10]將局部多項(xiàng)式回歸與地理加權(quán)回歸(geographically weight regression，GWR)方法相結(jié)合，提出了局部線性地理加權(quán)回歸方法；文獻(xiàn)[11]在局部線性地理加權(quán)回歸方法的基礎(chǔ)上研究了回歸方法的穩(wěn)健性，并證明在采用局部多項(xiàng)式改進(jìn)后，能有效消除異方差，提升估計(jì)精度。由于地理加權(quán)回歸方法只涉及空間非平穩(wěn)性[12]，因此LGWR只能解決二維空間的異方差，而無(wú)法消除時(shí)間維度的影響，因此不能直接應(yīng)用到GTWR方法估計(jì)。

為了消除時(shí)空地理加權(quán)回歸中同方差假設(shè)帶來(lái)的擬合偏差，本文借鑒局部線性地理加權(quán)回歸方法原理，在充分考慮時(shí)間和空間的雙重影響基礎(chǔ)上，提出了局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法。重點(diǎn)介紹了利用三元一階泰勒級(jí)數(shù)重構(gòu)滿足高斯—馬爾可夫獨(dú)立同分布假定要求的新時(shí)空地理加權(quán)回歸方程原理，推導(dǎo)了新方程回歸系數(shù)、擬合值與原方程回歸系數(shù)、擬合值之間的關(guān)系，并給出了局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法的算法流程。此外，本文以LGWR和GTWR為對(duì)比方法，通過(guò)模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)驗(yàn)證了LPGTWR在消除異方差方面的有效性。

1 GTWR原理

GTWR假定回歸系數(shù)是地理位置和觀測(cè)時(shí)刻的任意函數(shù)[1,13]，公式如下

i=1,2,…,n

(1)

式中，(xi1,xi2,,…,xid;yi)表示觀測(cè)點(diǎn)(ui,vi,ti),(i=1,2,…,n)處的因變量y和自變量x1,x2,…,xd的n組觀測(cè)值；βk(ui,vi,ti),(k=0,1,…,d)是第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(ui,vi,ti)處的未知回歸系數(shù)；各系數(shù)是觀測(cè)點(diǎn)(ui,vi,ti)處的任意函數(shù)；(ε1,ε2,…,εn)為獨(dú)立同分布的誤差項(xiàng)，通常假定均值為零，方差為σ2。

(2)

(3)

2 局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法

2.1 LPGTWR原理

設(shè)定局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸模型的回歸系數(shù)分別對(duì)橫坐標(biāo)u、縱坐標(biāo)v和時(shí)間t存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)公式，回歸系數(shù)βj(u,v,t)可以表示為在點(diǎn)(u0,v0,t0)的某鄰域范圍內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，表達(dá)式如下

(4)

重新構(gòu)建點(diǎn)(u0,v0,t0)的自變量矩陣X(u0,v0,t0)為n×4p階矩陣

X(u0,v0,t0)=

(5)

那么，回歸系數(shù)列向量B(u0,v0,t0)可以表示為

(6)

第j個(gè)回歸系數(shù)、一階偏導(dǎo)數(shù)和回歸系數(shù)列向量B(u0,v0,t0)的關(guān)系可以表示為

(7)

因此，第i個(gè)點(diǎn)(ui,vi,ti)自變量和因變量的關(guān)系可以表示為

i=1,2,…,n

(8)

可得，

(9)

(10)

局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸的擬合值可以表示如下

(11)

那么，第j項(xiàng)回歸系數(shù)估計(jì)值可表示為

(13)

因此，回歸系數(shù)估計(jì)值表達(dá)式可表示為

(14)

局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法因變量擬合值可以表達(dá)為

(15)

其中，L為帽子矩陣，矩陣形式如下

(16)

2.2 算法流程

局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法的核心是將回歸系數(shù)表示為其時(shí)空鄰域范圍內(nèi)的三元一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，通過(guò)剝離隨機(jī)項(xiàng)方差影響，重新構(gòu)建滿足高斯—馬爾可夫假定要求的新時(shí)空地理加權(quán)回歸模型。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展示式，能推導(dǎo)出原模型回歸系數(shù)、擬合值與新模型回歸系數(shù)、擬合值之間的關(guān)系，通過(guò)加權(quán)最小二乘解算出新模型回歸系數(shù)和擬合值，即可估計(jì)原模型的回歸系數(shù)和擬合值。為了更加清晰地闡述局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法的估計(jì)步驟，給出了算法流程如圖1所示。

圖1 LPGTWR流程圖Fig.1 Flow chart of LPGTWR

步驟2：基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)結(jié)果，重新設(shè)計(jì)自變量矩陣X。

步驟4：循環(huán)完所有樣本點(diǎn)，計(jì)算帽子矩陣L。

步驟6：計(jì)算擬合值評(píng)價(jià)指標(biāo)和回歸系數(shù)估計(jì)值評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析方法擬合精度。

算法結(jié)束。

3 試驗(yàn)及結(jié)果分析

為了測(cè)試LPGTWR方法的性能，本文采用模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)，以LGWR、GTWR作為對(duì)比方法，進(jìn)行試驗(yàn)分析。模擬數(shù)據(jù)的回歸系數(shù)和因變量的真值是已知，可以分析估計(jì)值與真實(shí)值的偏差，真實(shí)數(shù)據(jù)回歸系數(shù)的真值是未知的，可以從模型估計(jì)的角度，評(píng)價(jià)LPGTWR模型的整體性能，從而多角度分析LPGTWR的性能，為方法應(yīng)用提供參考和依據(jù)。

3.1 模擬數(shù)據(jù)試驗(yàn)

3.1.1 試驗(yàn)設(shè)置

本文以u(píng)、v為平面坐標(biāo)軸、以t為時(shí)間軸建立一個(gè)三維立體空間。設(shè)空間左下角為原點(diǎn)，立體空間每個(gè)坐標(biāo)軸長(zhǎng)度均為12單位長(zhǎng)度，令u、v、t的取值分別為0，1，2，…，m-1，觀測(cè)點(diǎn)均勻地分布在m×m×m的格點(diǎn)上，則空間內(nèi)共有n=m3個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)取值可以按照以式(17)計(jì)算

(ui,vi,ti)=(mod(i-1,m),mod(int(i-1)/m,m),int((i-1)/m2))

i=1,2,…,m3

(17)

式中，mod(a,b)表示a除以b后的余數(shù);int(a/b)表示a除以b后取整。

本文設(shè)計(jì)3組模型數(shù)據(jù)，其中自變量x1i、x2i是分布在(-4，4)之間的隨機(jī)數(shù)；殘差εi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；回歸系數(shù)β0、β1、β2與u、v、t相關(guān)，3組公式如下所示。

一組:

二組:

三組:

3.1.2 結(jié)果分析

為了消除數(shù)據(jù)生成時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，每組數(shù)據(jù)生成10套，每個(gè)方法重復(fù)10次。本文采用Akaike信息法則(Akaike information criterion，AIC)[16]、平均均方誤差(mean square error，MSE)和回歸系數(shù)估計(jì)偏差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析方法的適用性、整體估計(jì)效果和回歸系數(shù)估計(jì)偏差。其中，回歸系數(shù)估計(jì)偏差是指是回歸系數(shù)的真實(shí)值和估計(jì)值之間的偏差統(tǒng)計(jì)量[10]。試驗(yàn)采用交叉驗(yàn)證法(cross validation，CV)確定最優(yōu)帶寬和時(shí)空參數(shù)[17]，表1記錄了10組模擬數(shù)據(jù)在LGWR、GTWR和LPGTWR方法估計(jì)下的AIC平均值。一般地，當(dāng)兩個(gè)模型的AIC值相差3時(shí)，說(shuō)明模型之間存在明顯差異，且AIC最小值對(duì)應(yīng)的模型是最優(yōu)模型[18]。

由表1可知，3組模擬數(shù)據(jù)下，LPGTWR方法都取得了最小的AIC值，說(shuō)明LPGTWR比LGWR和GTWR的適用性更好。對(duì)于同一個(gè)方法，二組模擬數(shù)據(jù)結(jié)果較好，一組數(shù)據(jù)結(jié)果最差，說(shuō)明數(shù)據(jù)復(fù)雜程度對(duì)方法有影響，數(shù)據(jù)越簡(jiǎn)單，模擬效果越好，數(shù)據(jù)越復(fù)雜，模擬效越果差。從LPGTWR性能提升情況看，三組數(shù)據(jù)AIC值相差均大于3，且LPGTWR/LGWR性能提升幅度比LPGTWR/GTWR幅度大，說(shuō)明除了異方差外，時(shí)間也是影響估計(jì)精度的重要因素。

表1LGWR、GTWR和LPGTWR方法平均AIC統(tǒng)計(jì)值

Tab.1ThemeanAICvalueoftheLGWR,GTWRandLPGTWRmodels

模擬數(shù)據(jù)LGWRGTWRLPGTWRLPGTWR與LGWR對(duì)比LPGTWR與GTWR對(duì)比一組5708.2452981.2572582.0063126.239399.251二組2264.9252239.5492231.58433.3417.965三組5701.1052478.472218.5833482.522259.887

表2給出了10套模擬數(shù)據(jù)在LGWR、GTWR和LPGTWR下的平均MSE值。平均MSE值越小，說(shuō)明估計(jì)值越接近真實(shí)值，方法的整體估計(jì)效果越好。由表2可知：首先，LPGTWR方法在三組數(shù)據(jù)中取得了最小平均MSE，說(shuō)明LPGTWR方法整體估計(jì)效果優(yōu)于GTWR、GTWR。其次，二組模擬數(shù)據(jù)在3種方法下估計(jì)效果比較穩(wěn)定，而一組和三組模擬數(shù)據(jù)，LGWR方法誤差很大，說(shuō)明數(shù)據(jù)復(fù)雜性和時(shí)間因素，給LGWR方法帶來(lái)了干擾，而相對(duì)于LGWR，GTWR和LPGTWR方法考慮了時(shí)間因素，能給出較穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果。最后，LPGTWR比LGWR和GTWR平均MSE性能提升比率大于14%，說(shuō)明LPGTWR方法在處理異方差后，明顯提升了整體估計(jì)精度。

圖2繪制了3種方法的回歸系數(shù)估計(jì)偏差分布圖。其中，圖2(a)、圖2(b)表示局部時(shí)空變回歸系數(shù)估計(jì)偏差；圖2(c)、圖2(d)表示局部時(shí)間變回歸系數(shù)估計(jì)偏差;圖2(e)、圖2(f)表示局部空間變回歸系數(shù)估計(jì)偏差。圖中縱軸表示LPGTWR的回歸系數(shù)估計(jì)偏差，橫軸表示LGWR或GTWR的回歸系數(shù)估計(jì)偏差，散點(diǎn)表示10次試驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)散點(diǎn)靠近橫標(biāo)時(shí)，說(shuō)明橫軸的方法估計(jì)偏差大于縱軸方法的估計(jì)偏差，即縱軸方法優(yōu)于橫軸方法。反之，說(shuō)明橫軸方法優(yōu)于縱軸方法。分析圖2可知，對(duì)于局部時(shí)空變回歸系數(shù)和局部時(shí)間變回歸系數(shù)，LPGTWR優(yōu)于GTWR和LGWR方法，GTWR方法優(yōu)于LGWR。對(duì)于局部空間變回歸系數(shù)，LGWR方法優(yōu)于LPGTWR和GTWR方法。這說(shuō)明在時(shí)空回歸分析中，時(shí)間對(duì)模型精度的影響比重大于異方差，在考慮時(shí)間因素的前提下，局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法能提升估計(jì)精度。

表2LGWR、GTWR和LPGTWR方法的MSE統(tǒng)計(jì)值

Tab.2TheMSEvalueoftheLGWR,GTWRandLPGTWRmodels

模擬數(shù)據(jù)LGWRGTWRLPGTWRLPGTWR與LGWR對(duì)比/(%)LPGTWR與GTWR對(duì)比/(%)一組140.49861.5585521.22429899.1321.45二組1.2565191.0677170.89835228.5015.86三組139.88231.027060.88268999.3914.06

圖2 回歸系數(shù)估計(jì)偏差分布圖Fig.2 The coefficient estimation bias of simulated data

3.2 真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)及結(jié)果分析

本文以長(zhǎng)江中下游地區(qū)人口密度分布與影響因素關(guān)系作為真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)人口密度分布與自然條件、土地利用以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)等因素相關(guān)[19-21]。本文收集了2000年、2005年、2010年、2015年長(zhǎng)江中下游各地市人均GDP(元/人)、年均降水量(mm)、年均氣溫(℃)、耕地面積(km2)、林地面積(km2)、城鄉(xiāng)工礦居民用地面積(km2)和平原面積(km2)等7個(gè)特征變量。其中，人均GDP指區(qū)域GDP總產(chǎn)值除以區(qū)域常住人口數(shù)。時(shí)空因素包括空間位置坐標(biāo)和時(shí)間，空間上采用WGS84坐標(biāo)系，高斯克里格投影，時(shí)間設(shè)置2000年為基準(zhǔn)年用1表示，每增加1年增加一個(gè)單位。長(zhǎng)江中下游地區(qū)行政區(qū)劃矢量數(shù)據(jù)來(lái)源于地圖出版社；各地市的人口數(shù)和GDP來(lái)源于各省統(tǒng)計(jì)年鑒；土地利用數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)科學(xué)院資源環(huán)境科學(xué)數(shù)據(jù)中心。

為了建立可靠的人口密度分布模型，需要選擇相關(guān)性強(qiáng)的變量。在普通線性回歸分析中，一般采用逐步回歸方法建立最優(yōu)模型[22]。在地理加權(quán)回歸分析中，文獻(xiàn)[18]基于最小AIC準(zhǔn)則，窮舉了所有變量組合進(jìn)行建模，以最小AIC值模型為最優(yōu)模型。本文采用逐步回歸的迭代方式，以AIC最小作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則選取變量進(jìn)行建模。經(jīng)過(guò)多重共線性分析和變量選取，確定人均GDP、年均氣溫和城鄉(xiāng)工礦居民用地面積為自變量，人口密度為因變量，分別建立LGWR、GTWR和LPGTWR模型。文本采用擬合優(yōu)度(R2)、調(diào)整型擬合優(yōu)度(R2adj)、MSE、誤差項(xiàng)平方和(sum of squares for error，SSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[23]，結(jié)果如表3所示。

表3 真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果顯示，3種方法R2均大于0.71，說(shuō)明3種方法都能建立可靠的模型來(lái)估算人口密度。從整體建模情況看，LPGTWR方法的擬合優(yōu)度達(dá)0.882 8，比LGWR方法提升了24.09%，比GTWR方法提升了8.29%，調(diào)整擬合優(yōu)度為0.880 5，比LGWR方法提升了24.51%，比GTWR方法提升了8.49%，說(shuō)明LPGTWR建立的模型最優(yōu)。從估計(jì)偏差情況看，LPGTWR方法的均方差為0.014 8，比LGWR方法提升了59.23%，比GTWR方法提升了36.75%，LPGTWR方法的誤差項(xiàng)平方和為3.068 6，比LGWR方法提升了59.39%，比GTWR方法提升了36.59%，上述指標(biāo)均說(shuō)明LPGTWR方法的整體估計(jì)偏差小，結(jié)果優(yōu)于GTWR、LGWR方法。綜上所述，真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)說(shuō)明LPGTWR方法相比GTWR和LGWR方法，能建立更優(yōu)的模型，減小整體估計(jì)偏差，得到更可靠的結(jié)果。

圖3繪制了2015年長(zhǎng)江中下游地區(qū)人口密度的真值、LGWR擬合值、GTWR擬合值和LPGTWR擬合值。觀察圖可知，在上海、湖北西部地區(qū)，LPGTWR方法的預(yù)測(cè)結(jié)果相比LGWR和GTWR方法更接近真實(shí)情況。但3種方法在安徽西部、北部地區(qū)預(yù)測(cè)誤差較大。通過(guò)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，安徽北部蚌埠市、宿州市和亳州市2015年人口相對(duì)2000年分別增長(zhǎng)了14.45%、17.74%和25.01%，而15年來(lái)上海市增長(zhǎng)了50.09%。相對(duì)上海市該地區(qū)人口的時(shí)空變化波動(dòng)程度并不明顯，而且該地區(qū)的時(shí)空非平穩(wěn)特征也不顯著，即異方差和時(shí)空非平穩(wěn)性對(duì)該地區(qū)人口密度變化影響程度并不顯著，因此預(yù)測(cè)結(jié)果存在偏差。

圖3 2015年長(zhǎng)江中下游地區(qū)人口密度分布圖Fig.3 The population distribution of middle and lower reaches of the Yangtze River

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法，它利用三元一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式和加權(quán)最小二乘估計(jì)的原理，將回歸系數(shù)定義為真值和在空間坐標(biāo)軸和時(shí)間方向的偏差，通過(guò)剝離空間和時(shí)間維度的偏差來(lái)消除隨機(jī)項(xiàng)方差，進(jìn)而解決時(shí)空地理加權(quán)回歸無(wú)法處理異方差的問(wèn)題。本文介紹了局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法的原理，給出了算法流程，并通過(guò)模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)對(duì)LPGTWR進(jìn)行了測(cè)試。模擬數(shù)據(jù)試驗(yàn)從適用性、整體估計(jì)效果和回歸系數(shù)估計(jì)偏差3個(gè)角度驗(yàn)證了LPGTWR方法優(yōu)于GTWR和LGWR，特別是在時(shí)空非平穩(wěn)情況下，LPGTWR能顯著提升擬合精度。真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)驗(yàn)證了LPGTWR方法的有效性，且其擬合結(jié)果在時(shí)空維度最接近真實(shí)情況。局部多項(xiàng)式時(shí)空地理加權(quán)回歸方法是利用數(shù)學(xué)方法提升時(shí)空回歸擬合精度的時(shí)空回歸方法，本文在人口密度及影響因素分析中進(jìn)行了驗(yàn)證，未來(lái)希望能在更多領(lǐng)域推廣應(yīng)用。

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