關(guān)于“理解”指向的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)思考

琳達(dá)·達(dá)林-哈蒙德（Linda Darling-Hammond）是斯坦福大學(xué)教育學(xué)院教育學(xué)教授。她在《高效學(xué)習(xí)——我們所知道的理解性教學(xué)》一書(shū)中指出：“只把數(shù)學(xué)當(dāng)成是一套需要掌握原理和程序的學(xué)生，將只會(huì)學(xué)到那些——原理和程序——而他們?cè)诟拍罾斫饽芰蛦?wèn)題解決技能上會(huì)收獲很少”。［1］理解性教與學(xué)，正成為數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然選擇與追求。

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，常常見(jiàn)到以下現(xiàn)象：在知識(shí)梳理環(huán)節(jié)，教師或簡(jiǎn)單呈現(xiàn)式回憶，或輕描淡寫(xiě)地帶過(guò)；在講解典型例題時(shí)，教師多示范解法而少示范想法，更少涉及解法本質(zhì)的剖析；學(xué)生的鞏固訓(xùn)練則更多地停留在“照瓢畫(huà)瓢”的模仿層面……凡此種種，使得學(xué)生一次次錯(cuò)失對(duì)概念理解、對(duì)問(wèn)題本質(zhì)理解的機(jī)會(huì)。究其原因，既有“磨刀怕誤砍柴工”的急功焦躁之心，更與對(duì)理解性教學(xué)缺乏認(rèn)同有關(guān)。本文借高三復(fù)習(xí)課中的幾個(gè)案例，就知識(shí)梳理、例題示范、遷移鞏固環(huán)節(jié)，如何通過(guò)理解性地教，去幫助學(xué)生理解性地學(xué)，談點(diǎn)個(gè)人的看法。

一、知識(shí)梳理，應(yīng)促進(jìn)學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度理解

案例1：簡(jiǎn)單呈現(xiàn)式復(fù)習(xí)。

在一節(jié)“直線的方程”復(fù)習(xí)課上，一開(kāi)始，教師投影出示以下內(nèi)容：

（1）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1），斜率為k，則它的點(diǎn)斜式方程是__________。

（2）若直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，則它的方程是__________。

（3）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），它的兩點(diǎn)式方程是__________。

（4）若直線 l在 x軸上的截距為 a（a≠0），在y軸上的截距為b(b≠0),則它的方程是__________。

（5）直線方程的一般式是Ax+By+C=0，其中A，B應(yīng)滿足的條件是__________。

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一大重要任務(wù)就是使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并加深其對(duì)知識(shí)的理解及知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的把握。上述對(duì)直線方程有關(guān)知識(shí)的梳理，是典型的呈現(xiàn)式教學(xué)，學(xué)生對(duì)用“數(shù)”來(lái)表征“形”的解析思想、對(duì)直線方程的四種特殊形式及其內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知仍浮于表面，溫故未能知新。

案例1的改進(jìn)：

師：同學(xué)們，所謂直線方程，實(shí)質(zhì)上就是用這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）去刻畫(huà)直線所滿足的幾何條件，也即直線幾何特性的一種代數(shù)表達(dá)。請(qǐng)思考以下四個(gè)問(wèn)題：

（1）給定一個(gè)點(diǎn)P0和直線的方向，可確定一條直線。怎樣代數(shù)化地表述這條直線？

（2）直線方程有四種特殊形式，你認(rèn)為哪一種是“最基本”的？這四種形式中的每一種，是否能表示平面內(nèi)的所有直線？為什么？

（3）為什么又會(huì)有個(gè)直線方程的一般式？它有什么作用？

（4）求滿足下列條件的直線的方程：①直線 l經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（－4，6），B（0，－2）；②直線 l經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（3，－4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。

【分析】教師一開(kāi)始所說(shuō)的話是對(duì)解析思想的再?gòu)?qiáng)化。問(wèn)題（1）通過(guò)對(duì)點(diǎn)P0和方向這兩個(gè)幾何條件的代數(shù)化——坐標(biāo)、斜率，進(jìn)而將直線上任一點(diǎn)P所滿足的幾何條件（與點(diǎn)的連線就是給定的方向）翻譯成代數(shù)形式。在這一師生互動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)直線方程產(chǎn)生的背景有了進(jìn)一步的體認(rèn)，對(duì)解析思想的理解自然又深了一層。問(wèn)題（2）旨在幫助學(xué)生理解點(diǎn)斜式是四種具體形式中最基本的一種，其他形式均由此推導(dǎo)而來(lái)，從而理解這四種具體形式間的內(nèi)在聯(lián)系。而四種形式的局限性，是由代數(shù)刻畫(huà)時(shí)的局限帶來(lái)的。例如，垂直于x軸的直線的斜率不存在，兩點(diǎn)式或截距式中的分母不能為零等。問(wèn)題（3）是幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直線方程的一般式是前面四種具體形式的“共性”概括，即：直線的方程究竟“長(zhǎng)”什么樣？進(jìn)一步地，像點(diǎn)斜式、截距式方程化成一般式Ax+By+C＝0后，其系數(shù)A，B，C應(yīng)滿足什么條件？從而豐富學(xué)生對(duì)不同表達(dá)式內(nèi)在聯(lián)系的理解。問(wèn)題（4）的第①問(wèn)，可用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式或斜截式求解。第②問(wèn)，解題后教師可追問(wèn)：為什么用點(diǎn)斜式方程y+4＝k（x-3）解此問(wèn)題不會(huì)漏解？（因?yàn)楸绢}中截距相等的直線，其斜率必存在。）

學(xué)生對(duì)要復(fù)習(xí)的內(nèi)容，并非一無(wú)所知，更多的是在某些點(diǎn)上一知半解，似懂非懂。教師要做的，就是診斷學(xué)生的疑難困惑所在，把要復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容放在單元、章節(jié)乃至更大的背景上去考量，分析其內(nèi)在聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)。并以此為起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)辨析問(wèn)題或編制練習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維參與。學(xué)生在對(duì)問(wèn)題思考和解答的過(guò)程中，自主地在頭腦里提取、整合學(xué)過(guò)的知識(shí)，并用新的方式“解釋、推斷、聯(lián)系、應(yīng)用”。經(jīng)過(guò)這一番梳理，學(xué)生對(duì)要復(fù)習(xí)的知識(shí)、概念才能結(jié)構(gòu)化，在原有基礎(chǔ)上才能有新的認(rèn)識(shí)，新的體悟。

上面改進(jìn)后的案例1，在學(xué)生復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，對(duì)解析幾何的思想、直線方程幾種形式間的內(nèi)在聯(lián)系及其運(yùn)用時(shí)的局限性等做了有機(jī)整合。通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、小題練習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原有知識(shí)方法進(jìn)行深層次思考，促進(jìn)他們對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度理解。

二、例題示范，應(yīng)透視剖析方法之源流與本質(zhì)

案例2：重術(shù)輕道的解題教學(xué)。

在一節(jié)“兩條直線的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課上，教師出示了以下一道題：

若直線 l1：y＝kx+k+2 與 l2：y＝-2x+4 的交點(diǎn)在第一象限，則k的取值范圍是_____。

待學(xué)生思考片刻后，教師請(qǐng)一名學(xué)生到黑板前講解自己的解題思路。如圖1，這名學(xué)生觀察出直線 l1是過(guò)定點(diǎn) P（－1，2）的動(dòng)直線，將定點(diǎn) P 與 A（2，0），B（0，4）分別相連，得直線PA，PB，由直線PA，PB的斜率和題設(shè)條件，用數(shù)形結(jié)合的方法，得到

圖1

【分析】這位教師讓學(xué)生講解自己解題過(guò)程與思路的做法值得肯定。但這種利用數(shù)形結(jié)合的巧妙做法不一定是所有學(xué)生在第一時(shí)間都能想出的，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)更一般的解法進(jìn)行深入分析。

案例2的改進(jìn)：

在這名學(xué)生講解之后，教師可作如下進(jìn)一步的交流：

（1）“交點(diǎn)在第一象限”，能否將交點(diǎn)坐標(biāo)解出來(lái)？（解出交點(diǎn)坐標(biāo)就是用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題，而這正是解析思想的本質(zhì)。）

（2）在解出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)后，是否一定要解出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)？

上述三個(gè)問(wèn)題，直擊解析幾何學(xué)習(xí)中的兩個(gè)重要問(wèn)題——代數(shù)方法蘊(yùn)含的解析思想，代數(shù)運(yùn)算能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。筆者認(rèn)為，本題更宜以代數(shù)方法為主。數(shù)形結(jié)合之巧法，可作為對(duì)代數(shù)結(jié)果的驗(yàn)證。

案例3：口號(hào)式的解題教學(xué)。

在復(fù)習(xí)“線面平行”時(shí)，一位教師選用了下面的題：

圖2

如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。求證：AC1∥平面CDB1。

教學(xué)片段如下：

師：要證線面平行，常用的方法是什么？

生：（近乎齊答）找線線平行。

約一分鐘后，個(gè)別學(xué)生有了思路，教師提問(wèn)學(xué)生Z。

生Z：連接BC1交B1C于點(diǎn)M，連接DM，由條件知道，BCC1B1是平行四邊形，所以M是BC1的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理，DM∥AC1，DM就是要找的線。

師：很好。這位同學(xué)由條件中的中點(diǎn)D聯(lián)想到中位線，找到了這條線。

【分析】這里，學(xué)生Z將平面CDB1內(nèi)的這條線找出來(lái)后，大部分學(xué)生對(duì)學(xué)生Z的思路進(jìn)行認(rèn)可和確認(rèn)。筆者考慮的則是：證明線面平行這一類(lèi)問(wèn)題，其本質(zhì)方法究竟是什么？難道就是這位教師說(shuō)的，由中點(diǎn)聯(lián)想到中位線這樣的套路？是不是停留在“找線線平行”這樣的口號(hào)？怎樣從方法本質(zhì)的層面去指導(dǎo)學(xué)生找出這樣的線？

回到線面平行的判定定理，不難看出，在平面內(nèi)要找的這條線與平面外的那條線是平行的，其實(shí)質(zhì)是共面的。因此，要找的這條線DM是過(guò)面外那條線AC1的平面BAC1與已知平面CDB1的交線——將空間線面平行的推證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩條線的平行問(wèn)題，這才是線面平行這一類(lèi)問(wèn)題處理方法的本質(zhì)。學(xué)生理解了這一點(diǎn)，余下的只是如何找這樣的一個(gè)輔助平面BAC1的具體技術(shù)問(wèn)題。本題是將點(diǎn)B視為中心，用中心投影法找出了輔助平面。在有些情境中，是用平行投影的方法找到這樣的輔助平面。

上面這樣一個(gè)小小的教學(xué)環(huán)節(jié)就涉及了空間問(wèn)題平面化的降維思想，對(duì)幾何定理中蘊(yùn)含的基本圖形、基本方法本質(zhì)的剖析以及基本作圖能力。江蘇省特級(jí)教師馬明曾談過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)功能的四個(gè)層次：數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想、解題方法、解題術(shù)。從上述案例2和案例3中，可以看到有的教師在平時(shí)教學(xué)中過(guò)多地關(guān)注了解題的具體方法、技術(shù)、技巧，而忽視了更高層次的觀念、思想、宏觀的解題策略，即理解性學(xué)習(xí)的解題之“道”。 從“道”入手，學(xué)生才有可能在模仿、體悟、反思并不斷積累經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，有更深刻的理解，并內(nèi)化成自己的、自然而本質(zhì)的解題思想、解題方法和分析策略。

三、遷移鞏固，應(yīng)立足變式析理助悟

變式教學(xué)不僅在新授課中，在高三復(fù)習(xí)課中更是被廣泛運(yùn)用。通過(guò)變式與遷移，將習(xí)得的方法運(yùn)用于新的情境，解決新的問(wèn)題，從而提升理解數(shù)學(xué)的能力。但就筆者平時(shí)聽(tīng)課觀察發(fā)現(xiàn)，不少變式教學(xué)的目的性和方向性不明，要么是原題的簡(jiǎn)單翻版，要么是變成了與原題不搭界的一個(gè)新題，原題在變式中變了味。

高考復(fù)習(xí)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是在溫故的基礎(chǔ)上求新知。其中，變式遷移是通過(guò)實(shí)戰(zhàn)演練達(dá)成新知內(nèi)化的有效途徑和手段。具體關(guān)系可見(jiàn)圖3。

案例4：復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性。

在復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性時(shí)，學(xué)生常有這樣的三個(gè)難點(diǎn)：一是定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；二是分段函數(shù)的奇偶性的判斷；三是奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用。以下題目涉及的變式就很好地體現(xiàn)了由淺度感知到深度理解，進(jìn)而到遷移內(nèi)化的訓(xùn)練過(guò)程。

（1）設(shè)定義在 R 上的偶函數(shù) f（x）在［0，+∞）上是減函數(shù)，則不等式 f（x）＜f（3）的解集是________。

（2）設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）在［0，+∞）上是減函數(shù)，則不等式f（x）＞f（2x+1）的解集是_________。

（3）已知函數(shù) f（x）=x2-|x|，若 f（-m2-1）＜f（2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。

【分析】上述三道題，題（1）是直接運(yùn)用偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象就可得解；題（2）則觸及這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)：函數(shù)值大小→自變量值大小→自變量x,2x+1的絕對(duì)值大小→圖象上的點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)近；而題（3）則將一般的偶函數(shù)具體化，考查學(xué)生能否洞察出其奇偶性、單調(diào)性，是對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法運(yùn)用于新情境下能力的檢驗(yàn)。

數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家顧泠沅先生曾系統(tǒng)分析和闡述過(guò)變式教學(xué)，確認(rèn)和說(shuō)明了兩種變式——“概念性變式”和“過(guò)程性變式”。在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，應(yīng)運(yùn)用這兩種變式，在變式中求遞進(jìn)，以不斷提升學(xué)生在新情境中解決問(wèn)題的能力。

以上所論及的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的三個(gè)方面都是對(duì)為理解而教，為理解而學(xué)的追求。復(fù)習(xí)中，立足深度理解，方能透視方法本質(zhì)，方能跳出題海，復(fù)習(xí)教學(xué)才能高效。

圖3

［1］琳達(dá)·達(dá)林-哈蒙德，等.高效學(xué)習(xí)——我們所知道的理解性教學(xué)［M］.馮銳，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2010.

［2］顧泠沅，楊玉東.過(guò)程性變式與數(shù)學(xué)課例研究［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（1-2）.

［3］鄭毓信.變式理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006（01）.

［4］徐兆洋.試論理解取向的數(shù)學(xué)教學(xué)及其設(shè)計(jì)［J］.教學(xué)與管理，2013（08）.