“綜合與實踐”數(shù)學(xué)活動的分型教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強調(diào)教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，根據(jù)學(xué)段目標(biāo)，合理設(shè)計并組織實施“綜合與實踐”活動。為此，教師在初中階段活動開展中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注學(xué)情，創(chuàng)造性地開展活動，既充分發(fā)揮教師的引領(lǐng)、調(diào)控、指導(dǎo)的作用，又充分發(fā)揮學(xué)生主動參與、積極思考、勇于探究的作用。教學(xué)中給予學(xué)生足夠的思維時間和空間，讓學(xué)生在活動中積累經(jīng)驗、體驗樂趣、獲得成功，使每個學(xué)生得到長足發(fā)展。

隨著新課程改革的不斷深入，如何提高“綜合與實踐”活動的質(zhì)量、增強活動的實效性一直是大家關(guān)注的焦點。由于數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動與日常數(shù)學(xué)教學(xué)相比，無論是教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，還是教學(xué)方式，都存在著顯著差異，這就要求教師要根據(jù)實際情況合理選擇課型、分類實施，才能使得“綜合與實踐”活動提質(zhì)增效。下面是我們課題組在南京市初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動中經(jīng)常采用的三種主要教學(xué)方式。

一、自學(xué)輔導(dǎo)，強調(diào)適切性

“自學(xué)”是指學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，運用已掌握的知識，自己去獨立地獲取知識；“輔導(dǎo)”是指教師將具有邏輯意義的活動內(nèi)容同學(xué)生已有認(rèn)識結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，使其融會貫通，并使學(xué)生采取和保持相應(yīng)的學(xué)習(xí)心向進(jìn)行學(xué)習(xí)?！白詫W(xué)輔導(dǎo)”是將學(xué)生自學(xué)與教師輔導(dǎo)有機結(jié)合的一種教學(xué)方式。這種方式的主要特點是把“學(xué)”放在教學(xué)過程的中心位置，寓“輔”于“學(xué)”，教學(xué)相長。使學(xué)生在獲取知識的同時，掌握學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)和提高自學(xué)能力，其實質(zhì)就是讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。運用自學(xué)輔導(dǎo)式教學(xué)進(jìn)行“綜合與實踐”活動，主要針對學(xué)習(xí)主動性不夠、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力欠缺的學(xué)生，因而需要特別關(guān)注教學(xué)的適切性。

運用自學(xué)輔導(dǎo)方式進(jìn)行教學(xué)的流程如圖1。

圖1

案例1：尺規(guī)作圖

【知識回顧1】

1.五種基本作圖分別是哪五種？

2.五種基本尺規(guī)作圖的方法與步驟是什么？

【知識回顧2】

1.利用基本作圖作三角形：（1）已知三邊作三角形；（2）已知兩邊及其夾角作三角形；（3）已知兩角及其夾邊作三角形；（4）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

2.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖：（1）過不在同一直線上的三點作圓（即三角形的外接圓）；（2）作三角形的內(nèi)切圓。

【問題探究】

圖2

問題1：如圖2，已知P為⊙O上一點，用直尺和圓規(guī)作直線l，使l與⊙O相切，切點為P。（保留作圖痕跡，不寫作法）

思考：（1）本題作圖的實質(zhì)是什么？（2）解決尺規(guī)作圖題的主要步驟是什么？

問題2：如圖3，已知點A、點B和直線l。（1）利用尺規(guī)在直線l上作出點P，使得∠APB＝90°；（2） 利用尺規(guī)在直線 l上作出點P，使得∠APB＝60°。

變式1：如圖4，已知P為⊙O外一點，用直尺和圓規(guī)作直線l，使l過點P且與⊙O相切。（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖3

圖4

變式2：已知P為⊙O外一點，______。

這是一節(jié)課題研究課中“學(xué)習(xí)單”的片段，教師首先讓學(xué)生在“學(xué)習(xí)單”上進(jìn)行兩個層次的知識回顧，為活動開展預(yù)熱，其間教師還對知識回顧2中的部分內(nèi)容進(jìn)行了輔導(dǎo)，為學(xué)生理清知識，去除“綜合與實踐”活動中的知識障礙。在學(xué)生獨立完成問題1中的動手操作活動后，教師組織學(xué)生對兩個思考進(jìn)行交流。問題2有一定難度，關(guān)鍵在于“在直線l上作出點P”，要聯(lián)想到構(gòu)作圓，這也是本節(jié)課的難點，教師在學(xué)生充分思考和操作的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生回顧圓中的直角（直徑對的圓周角），反過來提示學(xué)生作直角只需要知道圓的直徑。變式1實質(zhì)是活動經(jīng)驗的應(yīng)用，而變式2具有開放性，留給學(xué)生發(fā)揮的空間，這也許正是“綜合與實踐”活動魅力之所在。

這節(jié)課的教學(xué)起點低、梯度適當(dāng)、預(yù)留空間大，是一節(jié)經(jīng)典的“綜合與實踐”活動課，具有良好的適切性和實效性。

二、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)過程性

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式是一種以啟發(fā)式教學(xué)為指導(dǎo)思想的教學(xué)方式。它是以問題解決為中心，以教師的“引導(dǎo)”為手段，以學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”為目的，充分體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生在教師的指導(dǎo)與引領(lǐng)下，通過積極主動的思維活動，自主地參與學(xué)習(xí)過程，通過嘗試發(fā)現(xiàn)、實踐體驗、獨立探究、合作交流等形式探索知識，發(fā)現(xiàn)、探索、掌握方法，總結(jié)規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力。運用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式進(jìn)行“綜合與實踐”活動，主要針對學(xué)習(xí)主動性好、獨立鉆研意識強、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力比較好的學(xué)生，因而需要特別關(guān)注教學(xué)的過程性。

運用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方式進(jìn)行教學(xué)的流程如圖5。

圖5

案例2：數(shù)格點，算面積

請計算下列格點多邊形的面積（如圖6）。

圖6

問題：如何提高計算格點多邊形面積的效率呢？讓我們來尋找一個計算格點多邊形面積的公式，以后直接代入公式計算，省略其他環(huán)節(jié)。

引導(dǎo)1：格點多邊形的面積與哪些點有關(guān)系？

設(shè)格點多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點數(shù)為N，它的邊上的格點數(shù)為L，下面我們來研究S、N、L三者之間的數(shù)量關(guān)系。

引導(dǎo)2：研究一個復(fù)雜問題常常運用什么樣的方法？

活動1：在網(wǎng)格紙上畫出符合條件的格點多邊形，并記錄下每一種情況中L和S的數(shù)值，填寫如下表格，通過尋找數(shù)字之間的規(guī)律，猜想L和S之間的關(guān)系。

當(dāng)N＝1時，

L

你發(fā)現(xiàn)了： 。

活動2：組織學(xué)生分組完成探究活動：當(dāng)N分別為2、3時，S與L之間關(guān)系。

引導(dǎo)3：猜想S、N、L三者之間的關(guān)系。

引導(dǎo)4：你的猜想正確嗎？請驗證。

活動3：初步驗證猜想。

學(xué)生以小組為單位，分工協(xié)作完成“皮克定理”的初步驗證。

這是一節(jié)課題研究課，也是一節(jié)南京市市級公開課。教學(xué)內(nèi)容選取于課外，由于規(guī)律（公式）的探究和發(fā)現(xiàn)難度高、挑戰(zhàn)性強，為了提質(zhì)增效，教師在活動的每個環(huán)節(jié)都做了精心打磨，特別是在何時、何處進(jìn)行引導(dǎo)以及怎樣引導(dǎo)上進(jìn)行了認(rèn)真設(shè)計。

首先學(xué)生運用常規(guī)方法計算一個格點多邊形的面積，體會到計算效率比較低，這就引發(fā)學(xué)生思考：既然格點多邊形有其特殊之處，是否有效率高的面積計算方法呢？這要求學(xué)生探尋格點多邊形的面積與哪些量有關(guān)系、有什么關(guān)系以及怎樣探尋這種關(guān)系，這是本節(jié)課的核心和難點。當(dāng)學(xué)生陷入困境時，引導(dǎo)1從探究內(nèi)容的角度，明確探究的方向；引導(dǎo)2從探究方法的角度，指明探究的途徑。隨后學(xué)生通過活動1中畫圖、計算、歸納，發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)N=1時學(xué)生有了活動1的經(jīng)驗再進(jìn)行活動2的探究在知識和方法上沒有障礙，得到了與活動1類似的規(guī)律。引導(dǎo)3是為了從特殊規(guī)律中歸納一般規(guī)律而設(shè)計的，讓學(xué)生不僅體會特殊與一般的關(guān)系，而且體會發(fā)現(xiàn)的過程和樂趣。公式（S＝，即“皮克定理”）是在特殊結(jié)論的基礎(chǔ)上猜想出來的，學(xué)生對其正確性深信不疑，而教師非常清楚這是不完善的，引導(dǎo)4要求對公式進(jìn)行驗證，目的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)密性。

這節(jié)課的教學(xué)不僅充分展示了“綜合與實踐”活動的過程性，而且讓學(xué)生在活動中學(xué)會了數(shù)學(xué)研究的方法與多種數(shù)學(xué)思想，積累了活動經(jīng)驗，提高了學(xué)習(xí)能力，體驗到成功的喜悅。

三、參與設(shè)計，彰顯創(chuàng)造性

“參與”是指在整個活動過程中全體師生共同合作或協(xié)作，即活動過程和結(jié)果的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生要全程參與其中。“設(shè)計”是指把活動設(shè)想通過合理的規(guī)劃、周密的安排，通過某種形式表達(dá)出來的過程，包括問題的設(shè)置、活動方案的設(shè)計等等?！皡⑴c設(shè)計”要求建立民主、和諧、熱烈的教學(xué)氛圍，讓不同層次的學(xué)生都擁有參加機會的一種有效的學(xué)習(xí)方式。這種方式以學(xué)生為中心，充分利用靈活多樣、直觀形象的教學(xué)手段，鼓勵學(xué)習(xí)者積極參與教學(xué)過程，成為其中的積極主體，加強師生之間的信息交流和反饋，使學(xué)生能深刻地領(lǐng)會和掌握所學(xué)的知識，并能將知識運用到實踐中去，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。運用參與設(shè)計進(jìn)行“綜合與實踐”活動，主要針對學(xué)習(xí)主動且參與意識好、合作交流氣氛濃、知識基礎(chǔ)扎實、有一定創(chuàng)新精神的學(xué)生。

運用參與設(shè)計方式進(jìn)行教學(xué)的一種流程如圖7。

圖7

案例3：A4紙相鄰兩邊的關(guān)系

問題：A4紙很特別，對折后的矩形與原矩形相似，那么A4紙的相鄰兩邊之間有什么關(guān)系呢？請同學(xué)們探究它們之間的關(guān)系，并設(shè)計出探究它們之間關(guān)系的相應(yīng)方案。

這是一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，學(xué)生的知識背景是剛學(xué)完圖形的相似，活動內(nèi)容來源于生活實際，教師設(shè)想讓學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際生活中的問題。

教師給出活動內(nèi)容后，學(xué)生首先分組研討解決問題的活動方案，先后設(shè)計出四種方案，分別是：度量計算、剪紙比拼、折紙疊合、推理論證。其后各小組根據(jù)自己的方案分工協(xié)作，驗證方案的可行性，教師在整個活動過程中，僅僅是參與者和活動節(jié)奏的調(diào)控者。下面是四個小組匯報的活動成果。

方案1：度量計算。量得A4紙的長邊為297mm，短邊為210mm，計算了長邊與短邊的比值約為1.414，發(fā)現(xiàn)A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案2：剪紙比拼。（如圖8）

圖8

也發(fā)現(xiàn)A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案3：折紙疊合。（如圖9）

圖9

同樣發(fā)現(xiàn)A4紙的長邊約是短邊的倍。

方案4：推理論證。（如圖10）

圖10

從以上匯報來看，學(xué)生不僅能在教師的指導(dǎo)下開展“綜合與實踐”活動，而且能自主設(shè)計較完善的活動方案并將自己的方案付諸實施，且取得了令人滿意的效果。學(xué)生在整個活動中充分展示了聰明才智、創(chuàng)新意識和實踐能力，他們思維活躍而縝密、思路開闊且豐富，活動設(shè)計不僅有動手操作而且要動腦思考，完全符合“綜合與實踐”活動是“通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動”的理念。從本節(jié)課的教學(xué)來看，教師對學(xué)情把握準(zhǔn)確，活動內(nèi)容安排合理，活動方式恰當(dāng)，活動成效顯著，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造潛能。

運用參與設(shè)計方式進(jìn)行教學(xué)的另一種流程是在上面一種流程的后面加上“交流感悟”的環(huán)節(jié)，限于篇幅，這里就不舉例說明了。

總之，要在“綜合與實踐”活動中提質(zhì)增效，教師必須結(jié)合目標(biāo)要求、教情學(xué)情，梳理課型、分類實施。教師在活動實施過程中要放手讓學(xué)生參與、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入角色、有效地組織學(xué)生進(jìn)行合作交流；教師既要關(guān)注活動結(jié)果，更要關(guān)注活動過程；教師要充分利用“綜合與實踐”讓學(xué)生積累活動經(jīng)驗、提高活動興趣、改進(jìn)學(xué)習(xí)方式、學(xué)會與人合作、培養(yǎng)創(chuàng)新精神、提升綜合素養(yǎng)，從而實現(xiàn)提質(zhì)增效的總目標(biāo)。

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］朱建明.數(shù)學(xué)探究活動設(shè)計中的常見問題及有效改進(jìn)［J］.教學(xué)與管理，2010（13）.

［3］何炳均.源于課本的“微型課題學(xué)習(xí)”探究實踐［J］.教學(xué)月刊:中學(xué)版，2014（05）.

［4］何炳均.精于設(shè)計樂于探究——例說微型課題學(xué)習(xí)探究與思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（04）.