全局最優(yōu)的SLNR預編碼功率分配算法

黃天宇，馬林華，胡 星，黃紹城，孫康寧，劉士平

(空軍工程大學 航空航天工程學院，西安 710038)

0 引 言

多用戶多輸入多輸出系統(tǒng)(multi-user multiple-input multiple-output，MU-MIMO)是利用空域資源進行多用戶干擾消除，可實現(xiàn)同時同頻與多用戶通信，能夠使系統(tǒng)容量得到顯著地提高。線性預編碼是在發(fā)射端進行用戶間干擾消除的技術，由于其適合于大規(guī)模MIMO的發(fā)射技術，近幾年受到了廣泛關注[1-3]。

基于信漏噪比(signal-to-leakage-and-noise ratio，SLNR)預編碼是基于信漏噪比最大的原則設計的，在諸多線性預編碼算法中性能較為優(yōu)異[4-5]。但是SLNR預編碼是基于等功率分配提出的，實際情況是基站天線與不同用戶間的信道質(zhì)量不同，根據(jù)信道情況，為每個用戶分配適當?shù)陌l(fā)射功率，將會使系統(tǒng)性能大大提升。

文獻[6]和[7]分別提出了基于信道范數(shù)和用戶信漏噪比值的SLNR預編碼動態(tài)功率分配算法，但僅基于固定的預編碼矩陣來分析功率分配問題，沒有考慮SLNR預編碼矩陣與發(fā)射功率的匹配問題，造成失配；文獻[8]提出一種基于拉格朗日乘子法的迭代算法，雖解決了失配問題，但此優(yōu)化問題為非凸優(yōu)化問題，拉格朗日乘子法是凸優(yōu)化算法，在非凸優(yōu)化問題中只能得到局部最優(yōu)解，并且拉格朗日乘子法無法控制其求極大值還是極小值，造成求解不穩(wěn)定；文獻[9]提出一種基于幾何規(guī)劃(geometric programming，GP)的迭代算法，將非凸的目標函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)，用GP方法進行求解，不過需要進行功率與預編碼矩陣之間相互迭代的操作。

由于SLNR預編碼矩陣是與發(fā)射功率有關，并且是求解矩陣特征向量的形式，無法直接代入到功率分配問題的目標函數(shù)中，目標函數(shù)中包含發(fā)射功率和預編碼矩陣兩類變量，所以以往方法只能通過兩變量迭代的方式進行求解,造成性能不佳。針對此問題，我們通過推導，將功率分配的目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為僅含發(fā)射功率一種變量的形式，此功率分配問題便轉(zhuǎn)化為非凸優(yōu)化問題，不需要兩變量迭代便可求出全局最優(yōu)解。為解決此非凸優(yōu)化問題，首先提出一種基于鳥群算法(bird swarm algorithm，BSA)的解決方法，此算法可求得全局最優(yōu)的功率分配方案；為解決該算法復雜度高的問題，又提出一種基于GP的近似全局最優(yōu)算法。仿真發(fā)現(xiàn)，基于BSA的解決方案，對系統(tǒng)總速率有明顯地提升，并且提升效果隨發(fā)射功率、基站天線數(shù)及用戶數(shù)變化都具有很好的保持；本文基于GP的解決方案，對系統(tǒng)總速率的提升效果不如BSA明顯，并且提升效果隨發(fā)射功率及基站天線數(shù)增加而減小，但算法更加簡單，誤碼率性能更優(yōu)。

符號說明：‖·‖表示取F-范數(shù)，|·|表示取復數(shù)模，(·)T，(·)*和(·)H分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置、共軛和共軛轉(zhuǎn)置，maxeigvec(·)表示求解矩陣最大特征值所對應的特征向量。

1 系統(tǒng)模型

1.1 系統(tǒng)模型

本文研究的是時分雙工(time division duplexing，TDD)單小區(qū)下行MU-MIMO系統(tǒng)，基站通過上行導頻獲取信道狀態(tài)信息。基站裝配M根天線，用戶為單天線，用戶數(shù)為K。基站用M根天線占同樣的時頻資源給K個用戶發(fā)信息，系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

用戶k的接收信號為

(1)

(1)式中：hk=[h1k,…,hMk]T為信道矩陣H的第k列，表示基站M根天線與用戶k之間的信道向量；wi=[w1i,…,wMi]T為預編碼矩陣W的第i列；pi是基站給用戶i的發(fā)射功率；si是基站給用戶i發(fā)送的信息；nk是用戶k設備的加性高斯白噪聲，服從標準正態(tài)分布，rk，pi，si，nk均為標量。

信道hk可建模為小尺度衰落與大尺度衰落的乘積，即hk=[α1k,…,αMk]Tβk，其中，αmk表示基站第m根天線與用戶k間的小尺度衰落，βk為用戶k與基站天線陣間的大尺度衰落。

第k個用戶的信干比為

(2)

第k個用戶設備的可達速率為

Rk=log(1+SINRK)

(3)

問題一約束條件為總發(fā)射功率不大于PT,目標函數(shù)是Csum，求解合適的P，使系統(tǒng)總可達速率Csum最大，即

(4)

1.2 SLNR預編碼算法

SLNR預編碼的設計準則是讓信漏噪比達到最大[4]。第k個用戶的信漏噪比定義為

(5)

SLNR預編碼向量為

(6)

2 全局最優(yōu)的功率分配算法

在諸如匹配濾波(matched-filter,MF)預編碼、迫零(zero-forcing,ZF)預編碼等簡單的線性預編碼算法的功率分配問題中，預編碼矩陣W是與P無關的，待優(yōu)化的僅P一組變量，此時問題一為非線性優(yōu)化問題，可采用凸優(yōu)化和注水等算法進行解決[10]。

由公式(6)可發(fā)現(xiàn)，SLNR預編碼矩陣與P有關，SLNR預編碼的功率分配問題中有待優(yōu)化的變量不僅是發(fā)射功率向量P，還有預編碼矩陣W。以往的SLNR預編碼功率分配算法都是采用P和W兩變量迭代的方式進行求解，即固定其中一個變量，優(yōu)化另一個，交替進行，直到收斂[8-9]。但迭代算法無法保證解的全局最優(yōu)性，因此，考慮尋求全局最優(yōu)的SLNR預編碼功率分配算法。

2.1 目標函數(shù)的導出

傳統(tǒng)SLNR預編碼功率分配算法無法求得全局最優(yōu)解的原因在于目標函數(shù)中包含P和W這2組待優(yōu)化變量，若能將目標函數(shù)整理為僅含單變量的形式，便可無需迭代，直接求得全局最優(yōu)的功率分配方案。本節(jié)便是以公式(6)為變量P和W之間的紐帶，推導出僅含單變量的SLNR預編碼功率分配的目標函數(shù)。

(7)

(8)

(9)

(10)

系統(tǒng)總可達速率便可以表示為

(11)

(11)式中，

(12)

(13)

其中，目標函數(shù)為非凸函數(shù)，所以，SLNR預編碼功率分配問題便轉(zhuǎn)化為有約束條件非凸優(yōu)化問題。

2.2 基于BSA全局最優(yōu)的功率分配算法

粒子群算法等各類智能優(yōu)化算法可精確地求得非凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。BSA算法是Meng Xiangbing于2015年最新提出的，靈感來自于鳥群覓食、警覺、遷徙行為的一種元啟發(fā)式群體智能優(yōu)化算法，在解決非凸優(yōu)化問題時，被證明比傳統(tǒng)的粒子群算法和差分進化算法具有更快的收斂速度、更高的求解精度[11]。因此，本節(jié)提出一種基于BSA的尋求SLNR預編碼全局最優(yōu)功率分配方案的解決辦法。

2.2.1BSA算法

在鳥群中，所有個體共享信息，個體有3種行為：覓食、警覺和遷徙。

在一次迭代中，個體隨機選擇進行覓食行為或警覺行為。在進行覓食行為時，個體往本個體歷史最佳位置和群體歷史最佳位置的合方向移動，公式如下

(14)

在進行警覺行為時，由于在群體邊緣的粒子更容易趨于壞值，為規(guī)避趨于壞值的危險，粒子往群體中心移動，在此過程中，個體間會存在競爭行為，適應性函數(shù)值好的粒子將會在競爭中勝出。警覺行為遵循如下公式

(15)

(15)式中，

(16)

(15)—(16)式中：k(k≠i)隨機從1和N中取值；a1，a2是[0,2]的正常數(shù)；pFiti表示粒子i的最好適應性函數(shù)值；sumFit表示鳥群中所有個體最好適應性函數(shù)值的和；meanj為鳥群中所有粒子第j維位置的平均值；ε是為避免以0為除數(shù)而引入的正常數(shù)。

當?shù)螖?shù)超過設置的常數(shù)FQ時，粒子進行遷徙行為，所有粒子劃分為2類：生產(chǎn)者和乞討者。生產(chǎn)者隨機飛行，乞討者跟隨生產(chǎn)者飛行，分別遵循如下公式

(17)

(18)

(17)—(18)式中，randn(0,1)表示一個服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，k∈[1,2,…,N],k≠i。FL∈[0,2]，確保乞討者追隨生產(chǎn)者覓食。

由于警覺和遷徙行為的存在，增大了個體多樣性，避免算法陷入早熟，提高了求取全局最優(yōu)解的穩(wěn)定性。

2.2.2 基于BSA的功率分配算法

由于BSA解決的是求最小值問題，所以將問題二目標函數(shù)的相反數(shù)作為BSA的適應性函數(shù)。算法中，粒子的位置對應了一種功率分配方案，每個粒子的位置坐標共有K維，其中，第j(j∈[1,K])維位置的值就是對第j個用戶分配功率的大小。將適應性函數(shù)值作為功率分配方案質(zhì)量好壞的評價標準，適應性函數(shù)值越小，方案越有效。算法中，首先隨機生成N個功率分配方案，迭代過程中，此N個功率分配方案按照2.2.1節(jié)介紹的規(guī)則進行修正，到達迭代次數(shù)上限后，評估每一種方案的適應性函數(shù)值，將其中質(zhì)量最好的Popt作為最后的功率分配方案。具體流程如下。

算法1基于BSA的SLNR預編碼功率分配算法。

輸入：N:粒子數(shù),T:迭代次數(shù)上限,FQ:鳥遷徙頻率,

PROB: 執(zhí)行覓食行為的閾值,

C，S，a1，a2，F(xiàn)L:五常數(shù),H:信道矩陣;

初始化：t=0,

Whilet

Ift%FQ≠0

Fori=1:N

If rand(0,1)

Else

End if End for

Else

其余個體隨機劃分為生產(chǎn)者和乞討者;

Fori=1:N

Ifi為生產(chǎn)者

Else

End if End for End if

Fori=1:N

End if End fort=t+1;

End while

2.3 基于GP近似全局最優(yōu)功率分配算法

2.2節(jié)提出一種基于智能優(yōu)化算法的解決方案，雖可較為精確求得全局最優(yōu)解，但卻擁有較高的復雜度，預編碼的功率分配需要跟蹤信道快衰落變化，需要較高的實時性，若采用此解決方案，將會對基站計算能力提出很高要求。為緩解功率分配算法計算壓力，本節(jié)提出一種基于GP的近似全局最優(yōu)的功率分配算法。

凸優(yōu)化算法是解決優(yōu)化問題的一種最簡單的辦法[12]，但問題二為非凸優(yōu)化問題，無法采用傳統(tǒng)凸優(yōu)化算法直接求得最優(yōu)解。GP方法可以將擁有特定形式的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題[13]，進而可采用凸優(yōu)化算法進行解決，因此，考慮將問題二目標函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為GP問題標準形式，進而采用凸優(yōu)化方法解決問題二，文獻[14]已證明此種近似方法所求得的解將與原問題的解非常接近。

(19)

(19)式中，

(20)

對(19)式做近似，常用的近似方法有單壓縮法和雙壓縮法，文獻[15]證明，雙壓縮法將比單壓縮法有更快的收斂速度，因此，我們選擇雙壓縮進行近似，得到

(21)

(21)式中，

(22)

(21)—(22)式中，L表示迭代次數(shù)。

通過迭代的方法，每次迭代都解決一次GP問題，直到收斂，便得到最后的近似最優(yōu)解。將(21)式看作第L次迭代的目標函數(shù)，則第L次迭代的優(yōu)化問題可以表示為問題三。

問題三約束條件為總發(fā)射功率不大于PT，目標函數(shù)是F(P(L))，求解合適的P(L)，使F(P(L))最小，即

(23)

整個算法過程如下。

算法2基于GP的功率分配算法。

初始化P(0)p1=p2=…pK=PT/K,L= 0;

Do

L=L+1;

用內(nèi)點法解決問題三的GP問題,得到P(L);

End

不同于文獻[9]基于GP的算法，本文算法不再需要W與P的外迭代操作。

3 仿真分析

將本文提出的基于GP的算法和基于BSA的算法與以下算法作對比。

1)文獻[6]中基于信道范數(shù)的動態(tài)功率分配算法；

2)文獻[7]中基于用戶信漏噪比的自適應功率分配算法；

3)文獻[9]中基于GP的迭代算法。

采用文獻[16]中的仿真環(huán)境，小區(qū)半徑r=1 000 m，小區(qū)內(nèi)用戶隨機分布在距基站rl=100 m 外的任意位置。距離基站rk的用戶k到基站天線的大尺度衰落βk=zk/(rk/rl)ν，陰影衰落系數(shù)zk=8 dB，路徑損耗指數(shù)ν=3.8。小尺度衰落為均值為零、單位方差的復高斯隨機變量。發(fā)射信號調(diào)制方式為正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)。

BSA中參數(shù)設置會對算法性能產(chǎn)生影響，文獻[11]已對BSA算法中參數(shù)的設置進行了說明和分析。本文仿真關注基于BSA功率分配算法性能與其他算法性能比較，對BSA參數(shù)設置影響不做重點考察，遂參考文獻[11]中的分析，對本文算法參數(shù)進行設置，如表1所示。

表1 基于BSA算法參數(shù)設置

圖2、圖3給出了M=3，K=3時，以上算法系統(tǒng)總速率和誤碼率隨基站總發(fā)射信噪比(總發(fā)射信噪比定義為基站總發(fā)射功率與單用戶平均噪聲功率比值的對數(shù)形式)變化情況。

圖2 不同算法總速率與發(fā)射信噪比關系曲線Fig.2 Curves of the relationship between sum rate of different algorithms and transmit SNR

圖3 不同算法誤碼率與發(fā)射信噪比關系曲線Fig.3 Curves of the relationship between BER of different algorithms and transmit SNR

由圖2可見，本文基于BSA的算法，由于尋求到更加精準的全局最優(yōu)解，使系統(tǒng)總速率相對等功率分配有了顯著提升，并且發(fā)射功率越高，提升越顯著。本文基于GP的算法，相對等功率分配性能有所提升，提升程度隨發(fā)射功率增加而減小。本文基于GP算法基于單變量目標函數(shù)進行求解，可直接求得近似全局最優(yōu)解，性能要優(yōu)于文獻[9]基于GP的迭代算法?；谛诺婪稊?shù)和信漏噪比的算法，由于預編碼矩陣與發(fā)射功率的失配效應，其性能最差。

由圖3可見，等功率分配情況下誤碼率性能最好，本文所提2種算法在總發(fā)射信噪比低于5 dB時，誤碼率性能要優(yōu)于基于信道范數(shù)和基于信漏噪比的算法，但當發(fā)射功率再升高時性能不及這2種算法。本文基于GP的算法雖對系統(tǒng)總速率提升不及基于BSA的算法，但誤碼率性能要優(yōu)于基于BSA的算法，并且本文基于GP的算法誤碼率性能要優(yōu)于文獻[9]中既有GP的迭代算法。

圖4給出了發(fā)射信噪比為10 dB，K=3時，以上算法系統(tǒng)總速率隨基站天線數(shù)的變化情況。由圖4可見，本文基于GP的算法性能隨基站天線數(shù)的增加提升效果越來越不明顯，所以，本文基于GP的算法更加適合于基站天線數(shù)較少的情況。本文基于BSA的算法，隨基站天線數(shù)變化始終保持了對系統(tǒng)總速率可觀的提升，是適合于大規(guī)模MIMO的功率分配算法。

圖4 不同算法總速率與基站天線數(shù)關系曲線Fig.4 Curves of relationship between sum rate of different algorithms and the number of base station antennas

圖5給出了發(fā)射信噪比為10 dB，M=30時，以上算法系統(tǒng)總速率隨用戶數(shù)的變化情況。由圖5可見，文獻[9]基于GP的迭代算法，相比于等功率分配，在不同用戶數(shù)下，對性能均有少許提升，本文GP算法對性能有進一步提升。本文基于BSA的算法始終保持了最優(yōu)的性能，并且隨用戶數(shù)變化，性能提升效果能得到很好的保持。

圖5 不同算法總速率與用戶數(shù)關系曲線Fig.5 Curves of relationship between sum rate of different algorithms and the number of users

設置發(fā)射信噪比為10 dB，K=3，M=30，重復仿真，得到50次仿真的系統(tǒng)總速率隨BSA迭代次數(shù)的變化情況如圖6所示。由圖6可見，本文基于BSA算法迭代次數(shù)在10次左右時，雖還不能保證搜索到最優(yōu)解，但是系統(tǒng)總速率已經(jīng)得到了明顯的提高，這一特點體現(xiàn)了BSA較高的求解效率，保證了算法能夠及時跟蹤信道快衰落變化，根據(jù)即時信道狀態(tài)信息，快速找到較好的功率分配方案，彌補了該算法復雜度高的缺點，使其能夠適用于實際應用。

圖6 本文算法總速率與迭代次數(shù)關系曲線Fig.6 Curves of the relationship between sum rate of the proposed algorithm and the number of iteration

4 時間復雜度分析

執(zhí)行BSA算法過程中，產(chǎn)生、評估和更新過程計算壓力最大，為便于分析，其他步驟的計算量便可忽略。由文獻[11]可知，產(chǎn)生、評估和更新過程計算的時間復雜度相同，都是O(TN)，所以，基于BSA的功率分配算法總的時間復雜度為O(TN)。

文獻[9]中基于GP的迭代算法，設達到收斂時預編碼矩陣與發(fā)射功率的迭代次數(shù)為T1，采用雙壓縮近似的辦法將目標函數(shù)近似為GP形式，達到收斂需進行迭代次數(shù)為T2，為解決每一個GP問題要采用內(nèi)點法，內(nèi)點法所需迭代次數(shù)為T3，則文獻[9]中基于GP的迭代算法總的時間復雜度為O(T1T2T3)。本文基于GP的算法由于不需要預編碼矩陣與發(fā)射功率的外部迭代，所以，時間復雜度為O(T2T3)，要小于文獻[9]中基于GP迭代算法的復雜度。同時，T2，T3的數(shù)量級也要小于T，N，所以本文基于GP算法的復雜度要小于基于BSA算法的復雜度。

5 結束語

針對SLNR預編碼功率分配問題，基于總可達速率最大化原則，推導了僅含單變量的目標函數(shù)，將功率分配問題轉(zhuǎn)化為非凸優(yōu)化問題；并提出一種基于BSA的全局最優(yōu)解決方案和一種基于GP的近似全局最優(yōu)的解決方案。由仿真和分析發(fā)現(xiàn)，基于BSA的解決方案，對系統(tǒng)總速率有明顯的提升，并且提升效果隨發(fā)射功率、基站天線數(shù)及用戶數(shù)變化都具有很好的保持，但缺點是誤碼率性能不理想；本文基于GP的解決方案，對系統(tǒng)總速率的提升效果不如BSA明顯，并且提升效果隨發(fā)射功率及基站天線數(shù)增加而減小，但相比基于BSA的算法，算法更加簡單，誤碼率性能也有所提高。

參考文獻：

[1] BJ?RNSO E,LARSSON E G,MARZETTA T L.Massive MIMO:Ten myths and one critical question[J].IEEE Communications Magazine,2016,54(2):114-123.

[2] LARSSON E G,EDFORS O,TUFVESSON F,et al.Massive MIMO for next generation wireless systems[J].IEEE Communications Magazine,2014,52(2):186-195.

[3] RUSEK F, PERSSON D, LAU B K. Scaling up MIMO: Opportunities and challenges with very large arrays[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2013, 30(1): 40-60.

[4] SHADEK M, TARIGHAT A, SAYED A H. A leakage-based precoding scheme for downlink multi-user MIMO channels[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2007, 6(5): 1711-1721.

[5] TUONG X T, KAH C T. Energy and spectral efficiency of leakage-based precoding for large-scale MU-MIMO systems[J].IEEE Communications Letters,2015,19(11):2041-2044.

[6] WANG Jingjing, XIE Xianzhong. Dynamic power allocation based on SLNR precoding for multi-user MIMO downlink[C]// 2008 4th International Conference on Wireless Communications, Networking and Mobile Computing. Da lian: IEEE Press, 2008: 1-4.

[7] WANG Jie, WANG Xiaotian, GUO Yongliang, et al. A channel adaptive power allocation scheme based on SLNR precoding for multiuser MIMO systems[C]// 2010 72nd Vehicular Technology Conference Fall (VTC 2010-Fall). Ottawa: IEEE Press, 2010: 1-4.

[8] WEI Fang, SUN Huan, LIN Yang. Power allocation for maximizing sum capacity of multiuser MIMO downlink with transmit precoding based on SLNR[C]// 2011 73rd Vehicular Technology Conference (VTC Spring). Budapest: IEEE Press, 2011: 15-18.

[9] WU Xuanli, ZHAO Wanjun, SHA Xuejun, et al. SLNR beamforming based iterative power allocation in TD-LTE-A downlink[C]// 2015 International Wireless Communications and Mobile Computing Conference (IWCMC). Dubrovnik: IEEE Press, 2015: 24-28.

[10] JIN X, YANG Y B, TIAN L，et al. QoS-aware optimal power allocation with channel inversion regularization precoding in MU-MIMO[C]//2009 IEEE International Conference on Communications.Dresden:IEEE Press, 2009:1-5.

[11] MENG Xiangbing, GAO X Z, LU Lihua, et al. A new bio-inspired optimisation algorithm: Bird swarm algorithm[J]. Journal of Experimental & Theoretical Artificial Intelligence, 2016, 28(4): 673-687.

[12] BOYD S,VANDENBERGHE L.Convex optimization[M].Seventh Printing with Corrections 2009. The United Kingdom: Cambridge University Press, 2009: 1-716.

[13] CHIANG M. Geometric programming for communication systems[J]. Foundations & Trends of Communications & Information Theory, 2005, 2(1-2): 1-156.

[14] BOYD S, KIM S J, VANDENBERGHE L, et al. A tutorial on geometric programming [J]. Optimization and Engineering, 2007, 8(1): 67-127.

[15] CHARAFEDDINE M, PAULRAJ A. Sequential geometric programming for 2x2 interference channel power control [C]// 2007 41st Annual Conference on Information Sciences and Systems. Baltimore: IEEE Press, 2007: 185-189.

[16] 李菊芳,趙睿,江彬，等. 基于大規(guī)模天線的多用戶MISO下行鏈路頻譜效率分析[J]. 通信學報, 2014, 35(2)： 125-136.

LI Jufang, ZHAO Rui, JIANG Bin, et al. Analysis of spectral efficiency of multiuser MISO downlink based on large-scale antennas[J]. Journal on Communications, 2014, 35(2): 125-136.