基于馬爾科夫鏈的大學生自主學習能力預測方法

劉德春，張秀國，姜 微

(1.南陽理工學院計算機與信息工程學院，河南 南陽 473000; 2.大連海事大學信息科學技術(shù)學院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

大學生對自主學習能力進行預判是提升自我學習能力的有效方法。自主學習是一種主體驅(qū)動，即學習目標自己確定、內(nèi)容自己選擇、計劃自定并可以對學習結(jié)果進行評估、調(diào)控的學習模式[1-3]。對自主學習能力的預測技術(shù)可以應用馬爾科夫(簡稱馬氏)鏈、BP神經(jīng)網(wǎng)絡等原理模型。目前，國外對自主學習能力的研究多在能力評估方面，例如，Belski等人[4]提供了一個培養(yǎng)學生自主學習技能的簡易程序(TERISSA)；Roth等人[5]把心理和教育數(shù)據(jù)庫的系統(tǒng)搜索結(jié)果在自我評估報告工具中加以應用。國內(nèi)有關自主學習的研究，主要在于自主學習評估與涉及學習平臺方面的探討，真正進行學習能力預測的還比較有限。如：劉歌等人[6]用馬氏原理分析學生學習成績狀況及趨勢，并提供了樣本實例；文獻[7]用BP神經(jīng)網(wǎng)絡方法構(gòu)建了深度學習水平預測模型；文獻[8]提出了建立在移動學習(M-learning)基礎之上的遠程自主學習模型；文獻[9]使用挖掘等技術(shù)結(jié)合Web建立了一種個性化學習模型；文獻[10-11]在考慮學生的個體差異后把馬氏模型引入教學評價機制，通過數(shù)學方法分析評估對教師教學和學生學習產(chǎn)生的影響。

本文利用馬氏原理短期預測效果精準之特長，以期通過建模與算法實現(xiàn)，對學生自主學習潛在能力進行可操作性強的預測，然后以預測結(jié)果對比當前實際學習狀態(tài)，使被評測者掌握自身潛在學習情況及不足，通過不斷自我調(diào)整，達到改善提高自身學習能力之目的。

1 馬爾科夫鏈定義與原理

1)馬爾科夫鏈的定義[12]。

設一個隨機序列{X(t),t∈T}，條件分布函數(shù)滿足等式：

F(x,t|xn,xn-1,…,x2,x1,tn,tn-1,…,t2,t1)=F(x,t|xn,tn)

即：

P{X(t)≤x|X(tn)=xn,…,X(t1)=x1}=

P{X(t)≤x|X(tn)=xn}

此性質(zhì)稱為馬爾可夫性，時間和狀態(tài)都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。若X(t)為離散型隨機變量，則馬爾可夫性亦滿足等式：

P{X(t)=x|X(tn)=xn,…,X(t1)=x1}=

P{X(t)=x|X(tn)=xn}

2) 原理性質(zhì)。

序列{X(t)}在t+1時刻系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布只與t時刻的狀態(tài)有關，與t時刻以前的狀態(tài)無關，可以通過現(xiàn)在狀態(tài)推演出來；不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移是隨機的；設P是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中Pij表示系統(tǒng)在時刻t處于狀態(tài)i，在下一時刻t+1處于狀態(tài)j的概率，N是系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的個數(shù)。狀態(tài)集中某一個元素包含狀態(tài){X(t)}之中某一符號X(ti)的數(shù)值，則稱該元素集合形成了一個狀態(tài)序列Si。

3) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

馬爾科夫鏈特性可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率來描述,對于有限狀態(tài)空間，則轉(zhuǎn)移概率分布可以表示為一個具有(i,j)元素的矩陣，稱之為“轉(zhuǎn)移矩陣”：

Pij=P(Xn+1=i|Xn=j)， i,j∈E

離散狀態(tài)空間中k步轉(zhuǎn)移概率的積分即為求和，可以對轉(zhuǎn)移矩陣求k次冪來求得。就是說，如果是“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”，就是k步轉(zhuǎn)移后的轉(zhuǎn)移矩陣。它滿足：

2 建立基于馬氏原理的自主學習能力預測模型

設定已知某學生的當前狀態(tài)，在此基礎上對下一時段自主學習的能力狀態(tài)進行預測。人的學習能力是指人某一個時期或一個時段的狀態(tài)反映，通常在短時間內(nèi)是一種比較穩(wěn)定的狀態(tài)，因此在實際中有必要把理論上的時刻延伸為時段，這里以2周時間作為考察標準進行分析研究。根據(jù)馬氏原理可知，狀態(tài)的變化可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來反映，通俗地說就是該學生由上一時刻轉(zhuǎn)為下一時刻狀態(tài)的概率所組成的矩陣，預測模型科學與否的關鍵就在于求得相對準確的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。當時間時段為Ti，如果在此時段利用概率矩陣得到的相對預測誤差很小，即概率矩陣達到穩(wěn)定狀態(tài)，那么就可以據(jù)此對下一時刻即本文研究的時段對象進行預測，其理論依據(jù)就是馬爾科夫鏈性質(zhì)所述：下一時段Ti+1的學生自主學習狀態(tài)與Ti時段以前的狀態(tài)無關，只考查當前時段Ti的狀態(tài)情況，從而可求得預測結(jié)果。

由以上描述可以把預測模型的建立過程歸納概括為3個主要步驟：1)定義自主學習的初始狀態(tài)；2)求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；3)檢驗預測誤差。具體實現(xiàn)操作：定義初始狀態(tài)時一次主選12項自主學習數(shù)據(jù)指標作為當前初始狀態(tài)向量；通過優(yōu)化二次規(guī)劃模型求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，依狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預測自主學習能力；利用模型要求，取實際考查數(shù)據(jù)與歷史預測結(jié)果進行平均相對誤差檢驗，從實際結(jié)果對比預測的準確度，根據(jù)平均相對誤差檢驗調(diào)整狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，當誤差不滿足要求時，增大歷史調(diào)查樣本次數(shù)，然后再次求解轉(zhuǎn)移概率，一直進行下去直至求得一個相對穩(wěn)定的誤差狀態(tài)。

建立的預測模型流程如圖1所示，預測過程詳細說明如下：

第1步定義自主學習初始狀態(tài)。

把自主學習能力影響因素(Influencing Factors)定義為IF，把策略(Strategy)記為ST，把動機(Motivation)記為MT，則影響因素的集合為IF，IF={ST，MT}，其中:ST={GM,LH,LP,LS,LE,LM}，MT={SE,IG,LC,LEG,LSM,LA}。

圖1 大學生自主學習能力預測過程

基于以上定義，把調(diào)查問卷(調(diào)查對象自主學習能力)各分項影響因素得分的量化值與問卷總分作比值后的占比集合如下式所示：

影響集合：S_IF={S_ST，S_MT}

其中，

策略項：S_ST={S_GM，S_LH，S_LS，S_LP，S_LE，S_LM}

動機項：S_MT={S_SE，S_IG，S_LEG，S_LC，S_LSM，S_LA})

相應地，設考察n個時段，共有n個數(shù)據(jù)狀態(tài)：{S1，S2，…,Si，…，Sn}，i為當前第i(i

第2步計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

預測模型的建立需要把問題求解分成有限個狀態(tài)的集合，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的獲得過程是，由上一狀態(tài)轉(zhuǎn)為下一狀態(tài)的概率形成的矩陣，其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是馬氏預測模型中最至關重要的一步[13]。對于時間狀態(tài)序列S={S1,S2,…,Sn}，每兩兩狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移過程如下：

Si→S1，Si→S2，…，Si→Si，Si→Sj，Si→Sn

假定經(jīng)歷k個時間點之后，當前時間序列狀態(tài)為Si轉(zhuǎn)移狀態(tài)變?yōu)镾j，則條件概率在狀態(tài)轉(zhuǎn)換后可以用公式(1)表示：

(1)

當k=1時，式(1)可寫為：

Pij=P{X(m+1)=Sj|X(m)=Si}, Si,Sj∈S

(2)

于是得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如公式(3)所示：

S1S2… Sn

(3)

矩陣滿足：

Pij(n)≥0, i,j∈I

(4)

∑j∈IPij(n)=1, i∈I

(5)

據(jù)前所述，考查的下次自主學習狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關，故而選擇一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求解，對矩陣的求解使用二次規(guī)劃方法，下面簡述二次規(guī)劃法基本原理。

二次規(guī)劃是計算數(shù)學與運籌學相交叉的一門學科，考慮二次規(guī)劃最優(yōu)化問題[14]：

(6)

其中，f(x)是目標函數(shù)，gi(x)(i=1,2,3,…,k)是對不等式進行約束，hj(x)(j=1,2,3,…,m)是對等式進行約束，k和m是相應的約束數(shù)量。

假設目標函數(shù)和約束函數(shù)滿足：f:Rn→R,gi:Rn→R,hj:Rn→R，且f(x),gi,hj是在可行域任意一點x*上連續(xù)可微的，如果x*是一個局部極小值，則一定有一組常數(shù)λ≥0,ui≥0(i=1,2,3,…,m),vj≥0(j=1,2,3,…,l)，滿足公式(7)：

(7)

以下利用該方法求取一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣最優(yōu)解。

取自主學習的時間序列為Si(i=0,1,2，…，m)，一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P=(Puv)n×n，由于Si+1與SiP存在一定誤差，并不能始終保持一致，故本模型強調(diào)消除兩者之間的誤差平方和，建立優(yōu)化模型如公式(8)所示：

(8)

其中，Q=Si+1-SiP，此模型是二次規(guī)劃優(yōu)化模型。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣模型求解算法可通過C++或Matlab編譯實現(xiàn)。

第3步建立Markov鏈預測模型。

(9)

其中，Si可表示為：

Si=(S_SEi,S_IGi,S_LCi,S_LSMi,S_LEGi,S_LAi,S_GMi,S_LHi,S_LPi,S_LSi，S_LEi,S_LMi)

第4步自主學習能力預測誤差檢驗。

如前所述建立的預測模型可以得出下次(后一段)數(shù)據(jù)的預測結(jié)果，把它與實際調(diào)查數(shù)據(jù)結(jié)果進行對比分析，就可以判定誤差的大小(差異度)。設第i+1次的實際數(shù)據(jù)序列表示為：

Si+1=(S_SEi+1,S_IGi+1,S_LCi+1,S_LSMi+1,S_LEGi+1,S_LAi+1,S_GMi+1,S_LHi+1,S_LPi+1,S_LSi+1，S_LEi+1,S_LMi+1)

(10)

與其相對應的Markov鏈模型預測后的預測值序列為：

(11)

進而得到殘差數(shù)值序列：

ε=(ε(1),ε(2),…,ε(n))

(12)

(13)

當k≤n時，得：

(14)

式(14)為模型在k點的相對預測誤差。

(15)

式(15)為平均預測相對誤差。

3 模型實現(xiàn)

實驗選用MyEclipse IDE和Matlab對基于馬爾科夫鏈的大學生自主學習能力預測模型進行實現(xiàn)。首先，采用二次規(guī)劃法求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；然后，在預測算法中打成jar包并將計算機程序封裝成一個函數(shù)；接下來，在MyEclipse中導入該jar包并使用Java代碼調(diào)用程序中的函數(shù)來實現(xiàn)預測功能。

圖2展示了預測模型的具體實現(xiàn)流程。首先，載入自主學習的12項指標數(shù)據(jù)向量組，列出向量組的二次規(guī)劃模型表達式；然后，利用Matlab函數(shù)Fmincon求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；接下來，定義自主學習12項指標數(shù)據(jù)初始向量，利用初始向量和上面求出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求出12項指標預測向量；最后，利用12項指標的預測值與實際值來計算平均相對誤差，判斷誤差是否在20%之內(nèi)，如果在則結(jié)束預測，否則增加歷史調(diào)查數(shù)據(jù)，繼續(xù)求解，直到達到一個誤差相對穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖2 大學生自主學習能力預測模型實現(xiàn)流程

4 案例分析

4.1 案例描述

以某校某同學的一年內(nèi)自主學習狀態(tài)評估指標為例，經(jīng)過對往期考查數(shù)據(jù)個數(shù)的不斷調(diào)整，利用已有數(shù)據(jù)對下一次的自主學習狀況進行預測分析實驗，最終確定統(tǒng)計13次真實數(shù)據(jù)，其中前12次數(shù)據(jù)作為模型訓練樣本數(shù)據(jù)，把第13次問卷調(diào)查數(shù)據(jù)作為實際數(shù)據(jù)與預測結(jié)果對比，計算出較小的相對平均誤差，利用Matlab仿真計算對模型公式進行求解，給出預測過程實現(xiàn)及預測結(jié)果分析和等級評估。本案例所采用的數(shù)據(jù)是由課題組通過問卷調(diào)查取得，具體參見文獻[15]。

4.2 預測過程

如前所述，所統(tǒng)計的某學生自主學習的歷史數(shù)據(jù)信息12次，每個數(shù)據(jù)項為數(shù)據(jù)問卷調(diào)查的單項得分與卷面總分的百分比，反映了該同學自主學習能力各指標的總體分布情況。由于在第12次時該學生狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基本處于平穩(wěn)狀態(tài)(即根據(jù)第11次數(shù)據(jù)預測第12次能力狀態(tài)數(shù)據(jù)時，所得計算預測誤差為最小值，從而可求解出穩(wěn)定的概率矩陣)，前12次基本數(shù)據(jù)情況匯總后，如表1所示。

根據(jù)表1提供的自主學習實際數(shù)據(jù)，應用公式(9)進行求解，可求出轉(zhuǎn)移概率矩陣P。將表1中的最后一行即第12次的狀態(tài)序列作為初始狀態(tài)，使用S′(1)=S(0)P來預測第13次的自主學習能力，結(jié)果如表2所示。

表1 前12次自主學習的實際值

次數(shù)自我效能內(nèi)在目標學習控制學習意義外在目標學習焦慮一般方法學習求助學習計劃安排學習總結(jié)學習評估學習管理10.220.350.430.200.190.160.560.140.280.250.180.1620.200.370.450.210.230.200.580.160.300.220.150.1230.150.330.400.150.160.130.500.100.220.220.150.1340.170.340.410.160.170.140.510.120.230.230.160.1550.200.360.440.250.150.120.530.100.250.220.120.1460.270.300.460.200.250.300.600.220.330.300.230.2070.250.280.440.180.230.280.580.200.310.290.210.1780.220.260.420.160.210.260.560.180.280.250.190.1590.200.240.400.140.190.230.520.160.240.230.170.13100.240.260.430.180.230.240.540.170.290.270.200.16110.250.320.460.240.230.270.600.200.170.200.220.20120.190.290.460.270.220.170.570.210.250.220.200.13

表2 第13次的自主學習能力預測值

情況說明自我效能內(nèi)在目標學習控制學習意義外在目標學習焦慮一般方法學習求助學習計劃安排學習總結(jié)學習評估學習管理預測值0.200.370.480.260.270.220.530.160.280.280.170.19實際值0.180.410.460.240.290.260.480.170.300.260.190.17

4.3 預測誤差分析

對該學生的能力狀態(tài)實際情況和預測情況進行對比，結(jié)果如圖3所示。

圖3 預測值和實際值對比

利用公式(15)進行求解、計算平均相對誤差，得出相對誤差結(jié)果為8%，遠小于閾值，因此符合檢驗標準。

5 結(jié)束語

經(jīng)分析研究提出大學生自主學習能力預測模型，通過實踐檢驗并結(jié)合預測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的比較分析，采用直觀圖表方式的結(jié)果對比，表明其能夠預測和反映自主學習能力的客觀情況。建立的數(shù)學模型描述精確，預測結(jié)果穩(wěn)定、高效。所提供的算法平臺能夠應用于大學生自主學習能力全程預測，分析結(jié)果有助于發(fā)現(xiàn)學習能力之不足和缺陷，從而及時調(diào)整自我狀態(tài)、保持高效的自主學習能力，因此算法模型可應用到知識學習類軟件的開發(fā)當中。

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