基于成都黏土蠕變試驗的非定常蠕變本構(gòu)模型研究

任 鵬，王 鵬,2，唐 印

(1. 四川省建筑科學研究院 四川省建筑工程質(zhì)量檢測中心，四川 成都 610036； 2. 成都理工大學 地質(zhì)災害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，四川 成都 610059)

0引 言

經(jīng)工程實踐證明，黏土的變形不僅與所承受的荷載有關，還與荷載作用的時間有關，這表明黏土具有蠕變特性。在低應力水平時，黏土一般表現(xiàn)為瞬時彈性變形和衰減蠕變變形；在高應力水平時，黏土表現(xiàn)為加速蠕變變形。黏土的蠕變性常常給工程帶來許多的問題，甚至造成重大損失，因此深入開展黏土蠕變特性的研究具有重要的意義和價值。

目前階段，對黏土蠕變模型的研究大多采用元件模型，即通過彈簧元件、黏壺元件和摩擦元件串聯(lián)、并聯(lián)組成各種蠕變本構(gòu)模型。傳統(tǒng)的元件模型所建立的蠕變本構(gòu)模型是一種整數(shù)階的線性關系，很難準確描述黏土的非線性蠕變特性。為了描述黏土蠕變的非線性特性，有人利用元件模型和經(jīng)驗模型結(jié)合的方法來建立黏土的非線性蠕變本構(gòu)方程。周秋娟等[1]對廣州南沙軟土進行了蠕變試驗，并分析了預加荷載和不加荷載條件下固結(jié)試樣對蠕變的影響，探討了軟土非線性流變變形的特性；李珍玉等[2]通過結(jié)合膨脹土的線性黏塑性模型和非線性黏塑性經(jīng)驗模型，建立了能夠描述膨脹土的流變非線性黏塑性本構(gòu)方程；肖宏彬等[3-6]通過壓縮蠕變試驗、應力松弛試驗，探討了膨脹土的蠕變特性，總結(jié)得出非飽和膨脹土的非線性經(jīng)驗蠕變模型。

非線性經(jīng)驗模型或半經(jīng)驗半理論模型往往具有模型復雜、參數(shù)多、區(qū)域性強等缺點。近年來，由于分數(shù)階微積分的發(fā)展，不少人將其引入到黏土的蠕變本構(gòu)模型中來，試圖克服黏土非線性經(jīng)驗、半經(jīng)驗模型的缺點。殷德順等[7-9]通過研究巖土材料的應力-應變關系，提出將分數(shù)階微積分引入巖土流變模型，建立了一種新的流變模型元件(軟體元件)，用于更準確地描述黏土加速蠕變階段。在此基礎上，更多學者[10-13]將分數(shù)階微積分用來推導巖土體蠕變本構(gòu)模型，所推導出的模型能夠較好地描述巖土材料的瞬時蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變3個階段；同時，經(jīng)過擬合辨識分析，分數(shù)階蠕變模型具有參數(shù)少、確定方法簡單和適用性高等優(yōu)點。

由于黏土的區(qū)域性強，本文緊密結(jié)合成都東區(qū)黏土的性質(zhì)(具有弱—中膨脹性)，開展以下研究：

(1)進行成都黏土的常規(guī)三軸固結(jié)不排水試驗和三軸固結(jié)不排水蠕變試驗，分析成都黏土的偏應力、蠕變特性、長期強度、彈性模量和黏滯系數(shù)特性。

(2)根據(jù)成都黏土的蠕變特性，確定蠕變本構(gòu)方程，并在方程中引入分數(shù)階微積分理論；同時，確定蠕變本構(gòu)方程中彈性模量和黏滯系數(shù)的非定常性。

(3)將成都黏土的蠕變本構(gòu)方程與試驗數(shù)據(jù)進行擬合和辨識分析，明確所推導的蠕變本構(gòu)方程的合理性以及可靠性。

1常規(guī)三軸試驗和蠕變試驗

1.1試驗儀器

本文試驗儀器采用長春試驗機研究所生產(chǎn)的CSS-2901TS土體三軸流變試驗機(圖1)。該試驗機可以完成常規(guī)三軸固結(jié)不排水剪切試驗和三軸蠕變試驗，使用同一套儀器完成所有試驗，可避免儀器對試驗結(jié)果的影響。

1.2試驗方法

常規(guī)三軸剪切試驗和蠕變試驗均在100 kPa圍壓下固結(jié)和剪切，固結(jié)過程中排水，剪切過程中不排水。

1.2.1試樣采取及制備

本次試驗從成都成華區(qū)八里莊采取黏土試樣，風干、粉碎后過孔徑2 mm的篩，首先完成基本土工試驗，參數(shù)見表1。采用蒸餾水配置試樣的天然含水率(28.2%)，并密封保存48 h以上；然后根據(jù)試樣干密度和試樣規(guī)格(直徑為39.1 mm，高度為80 mm)確定單個制樣器的裝樣質(zhì)量；試樣分4層擊實，最后抽真空飽和試樣48 h；一共制備3組試樣，每組3個試樣。

1.2.2常規(guī)三軸固結(jié)不排水試驗

常規(guī)三軸固結(jié)不排水試驗按以下步驟進行：

表1成都黏土的基本性能參數(shù)Tab.1Basic Property Parameters of Chengdu Clay

(1)將飽和后的試樣安裝在試驗機上，檢查無誤后，設置圍壓從0 kPa加壓到100 kPa，加壓速率為0.1 kPa·min-1，直至加壓完成。

(2)圍壓加壓完成后，對試樣進行固結(jié)。在固結(jié)過程中打開與試樣相連的排水閥，以便試樣固結(jié)排水，同時測量在固結(jié)期間所排水的體積和質(zhì)量。

(3)根據(jù)CSS-2901TS試驗機的特點，采用控制應變速率的方式剪切試樣，設置剪切速率為0.08 mm·min-1，剪切試樣直至試樣破壞或變形量大于試樣高度的20%(16 mm)即可。

(4)試驗過程中采用計算機記錄試驗數(shù)據(jù)，設置數(shù)據(jù)記錄時間間隔為12.5 min；根據(jù)《土工試驗規(guī)程》(SL 237—1999)處理試驗數(shù)據(jù)，并繪制軸向應力-應變曲線，得出成都黏土破壞偏應力qf。

1.2.3蠕變試驗

蠕變試驗按以下步驟進行：

(1)在檢查試驗儀器無誤后開始裝樣，然后設置100 kPa的目標圍壓進行加壓，加壓速率為0.1 kPa·min-1，直至加壓完成。

(2)固結(jié)試樣，在固結(jié)過程中需要打開與試樣相連的排水閥，并記錄所排水的體積和質(zhì)量。

(3)將固結(jié)完成后測得的軸向壓力值作為蠕變試樣的初始值。本次蠕變試驗采用分級加載的方式，即根據(jù)破壞偏應力qf，可得每級軸向加載偏應力Δqf=qf/N，N為加載級數(shù)，本文取N=4。

(4)在每級軸向荷載加載完成，待試樣軸向變形穩(wěn)定后，開始加載下一級荷載，直至試樣破壞。每級荷載穩(wěn)定的標準為軸向變形量小于0.01 mm·d-1，若不能滿足，繼續(xù)本級試驗，直至達到標準。

成都黏土三軸蠕變試驗和剪切破壞試樣如圖2，3所示。

2試驗結(jié)果及分析

2.1固結(jié)不排水剪切試驗結(jié)果

根據(jù)三軸固結(jié)不排水試驗得到偏應力-應變關系如圖4所示。在軸向應變ε=0%～5%時，偏應力值增幅明顯；在軸向應變ε≥5%時，偏應力增長趨勢平緩，但沒有出現(xiàn)應力峰值現(xiàn)象。根據(jù)《土工試驗規(guī)程》，當三軸固結(jié)不排水剪切試驗無應力峰值時，取軸向應變ε=15%所對應的偏應力值作為剪切破壞偏應力，即qf=161.41 kPa。

2.2蠕變試驗結(jié)果

2.2.1蠕變試驗曲線

由第2.1節(jié)確定的剪切破壞偏應力qf=161.41 kPa可知，蠕變試驗每級軸向加載偏應力Δqf=40.35 kPa。蠕變試驗應變時程曲線如圖5所示，其中Qf為軸向偏應力。

由圖5可知：成都黏土在低應力條件下有瞬時彈性變形，并且彈性變形在一定時間內(nèi)隨著應力的增加而增加，隨后變形趨于穩(wěn)定；在較高應力條件下，成都黏土仍會有瞬時彈性變形，但在隨后的時間里，黏土的變形會先暫時趨于穩(wěn)定，在一定時間過后，變形有小幅增加，隨后趨于穩(wěn)定。這說明在較高應力條件下土體在宏觀上雖然可以保持一定時間的穩(wěn)定，但實際上在土體內(nèi)部的一些軟弱結(jié)構(gòu)面和裂縫處均在發(fā)生著隨時間流動的不利變形，并且這些不利變形會逐漸積累；最后，高應力會觸發(fā)積累的不利變形，導致在該階段試樣發(fā)生加速蠕變，直至破壞。

2.2.2成都黏土長期強度

根據(jù)蠕變試驗可以得出成都黏土的應力-應變曲線，如圖6所示，其中t為時間。

由圖6可知：在時間相等的情況下，隨著軸向應力的增加，應變整體上也相應的增加，在軸向應力σ=121.05 kPa時，曲線產(chǎn)生拐點，該拐點的應力即為成都黏土在圍壓為100 kPa條件下的長期強度τ∞，τ∞=121.05 kPa；在t=0 h時的應力-應變曲線與其他時間的曲線是分開的，說明在t=0～0.5 h時所有等級的應力條件都發(fā)生了應變突變，這可能是黏土瞬時彈性變形引起的。

2.2.3成都黏土彈性模量

根據(jù)蠕變試驗，成都黏土的彈性模量E與時間t和軸向應力σ的關系如圖7所示。

由圖7可知：成都黏土的彈性模量E在恒定荷載作用下會隨著t的增加而減?。辉谑┘虞S向應力σ結(jié)束后，E會迅速減小到一定值，隨后緩慢減小，趨于穩(wěn)定，這表明E具有時效特性；在土體結(jié)構(gòu)破壞前，E會隨著σ的增加而增加，增速隨σ的增加而減小，當作用極限破壞荷載時，E會出現(xiàn)跌落式驟減現(xiàn)象，這表明E具有加載特性。上述現(xiàn)象的出現(xiàn)可解釋為：土體在正常固結(jié)后，在低應力條件下，黏土受到壓縮，孔隙、裂隙減小，使土體達到超固結(jié)狀態(tài)，一定程度上增加了土體的有效應力，因此E會隨σ的增加而增加；在高應力作用下，一些已經(jīng)存在的或正在發(fā)生的裂縫和結(jié)構(gòu)面在短時間內(nèi)加速形成或擴大，并形成一定規(guī)模，最終引起土體整體破壞，從而使得E瞬間驟減。

2.2.4成都黏土黏滯系數(shù)

成都黏土黏滯系數(shù)η與時間t和軸向應力σ的關系如圖8所示。當σ小于黏土屈服強度并且σ恒定時，η隨t的增加而增加，隨后穩(wěn)定，這表明η具有時效特性；當σ小于屈服強度并且時間恒定時，η隨σ的增加而增加，當σ大于屈服強度時，η隨t的增加出現(xiàn)跌落式減小現(xiàn)象，表明黏滯系數(shù)具有加載特性。

3分數(shù)階導數(shù)非定常蠕變模型推導

3.1分數(shù)階導數(shù)軟體元件

分數(shù)階微積分是研究任意階次的微分、積分算子特性的一種數(shù)學方法。在黏土元件流變模型中采用分數(shù)階導數(shù)可以克服整數(shù)階流變模型與試驗數(shù)據(jù)吻合差的缺點，具有以下優(yōu)點：比一般非線性蠕變模型的參數(shù)更少，方程更簡潔，物理意義更明顯，適用范圍更廣。因此，本文在推導成都黏土蠕變模型時引入分數(shù)階導數(shù)。

在描述巖土體的流變特性時，采用Riemann-Liouville[14-15]理論(R-L理論)定義。根據(jù)R-L理論，假設函數(shù)f在(0，+∞)上連續(xù)可積，對于t>0，分數(shù)階階次n≥0，有

(1)

式中：Γ(n)為Gamma函數(shù)；ξ為積分變量。

在材料力學中，對于理想固體材料，應力-應變關系滿足

σ(t)=Eε(t)

(2)

對于理想流體材料，應力-應變關系滿足

(3)

在實際工程中，黏土大多表現(xiàn)出的材料屬性既不是理想固體材料，也不是理想流體材料，而是介于兩者之間。根據(jù)文獻[16]建立的用來描述介于理想固體和理想流體之間材料狀態(tài)的軟體元件關系，有

(4)

式中：當0≤n≤1時，建立的為分數(shù)階導數(shù)本構(gòu)方程，當n=0時，材料表現(xiàn)為理想固體屬性，當n=1時，材料表現(xiàn)為理想流體屬性。

當應力σ(t)=const時，黏土的蠕變特性可以用上面的軟體元件來描述，基于Riemann-Liouville分數(shù)階理論，對式(4)分數(shù)階積分得

(5)

式(5)為分數(shù)階黏滯體的蠕變本構(gòu)方程，此時0≤n≤1。對式(5)取σ(t)=80.50 kPa，η=20 kPa·h，可得到n取不同值時蠕變曲線的變化趨勢，如圖9所示。當n在[0,1]區(qū)間范圍內(nèi)，隨著n值的增大，軟體元件描述的蠕變曲線所表現(xiàn)出的線性特性越來越顯著，當n=1時，軟體元件表現(xiàn)出完全線性特性，即此時的軟體元件為牛頓黏壺。

3.2分數(shù)階導數(shù)蠕變模型的建立

根據(jù)夏才初等[17]提出的蠕變模型辨識方法和本文蠕變試驗結(jié)果，成都黏土的蠕變變形在低應力水平條件下僅有衰減蠕變，此時黏土的變形僅具有彈性變形；在高應力水平條件下，黏土變形表現(xiàn)出加速蠕變，此時黏土同時表現(xiàn)出黏彈性變形和黏塑性變形。因此，成都黏土的蠕變具有瞬時彈性變形、黏彈性變形和黏塑性變形，具體模型如圖10所示，其中，E1為彈性元件的彈性模量，即初始彈性模量，E2為黏彈性元件的彈性模量，η1為軟體元件黏滯系數(shù)，η2為黏塑性元件初始黏滯系數(shù)，σL為黏土屈服強度。

黏土在蠕變過中，當蠕變荷載一定時，隨著時間的變化，黏土內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，孔隙水壓力和有效應力重新分布，應變隨時間變化與應力表現(xiàn)出非線性特性，這種非線性特性用分數(shù)階導數(shù)描述；同時，為了更加準確地描述這種非線性特性，在蠕變模型中考慮彈性模量和和黏滯系數(shù)的非定常性，即時效特性和加載特性。

成都黏土非定常蠕變本構(gòu)模型假定在t=0 h時，在模型上施加軸向應力σ，那么蠕變總變形為

ε′=εe+εve+εvp

(6)

式中：ε′為總應變；εe為彈性應變；εve為黏彈性應變；εvp為黏塑性應變。

3.2.1瞬時彈性元件應變

瞬時彈性應變由以下公式求解

(7)

3.2.2黏彈性元件應變

軟體黏彈性元件其實就是在Kelvin體的基礎上將其黏性元件用軟體元件替換，并使用分數(shù)階導數(shù)推導模型，具體模型關系如下

(8)

式中：ε1，ε2分別表示為黏彈性元件的彈性應變和軟體元件應變。

對式(8)做變換得

(9)

(10)

對式(10)做拉普拉斯逆變換得

(11)

式中：i為求和次數(shù)。

將a，b代入式(11)得

(12)

3.2.3黏塑性元件應變

根據(jù)黏塑性元件中塑性元件的特點，得到其應力σvp為

(13)

當σ<σL時，黏塑性元件不在蠕變模型中引起應變，此時蠕變模型描述的是衰減蠕變階段；當σ≥σL時，黏塑性元件在蠕變模型中引起應變，其應變有以下關系

(14)

式中：εvp為黏塑性元件應變；σvp為黏塑性元件應力。

結(jié)合式(13)，對式(14)進行蠕變本構(gòu)求解得

(15)

綜上推導，成都黏土非線性蠕變方程有：

當σ<σL時

(16)

當σ≥σL時

(17)

3.3蠕變方程參數(shù)非定常性

黏土由于荷載的作用，土體內(nèi)部的孔隙和裂隙等被擠壓緊密，致使黏土的應力分布重新調(diào)整，在局部應力集中區(qū)，孔隙或裂隙開始發(fā)育、生長，甚至貫通。這些不利土體結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)和發(fā)展，會導致黏土材料的損傷，加劇材料的破壞過程。

3.3.1成都黏土彈性模量

根據(jù)蠕變試驗分析，彈性模量具有時效特性和加載特性，表明彈性模量與加載應力和時間存在函數(shù)關系。在一維應力狀態(tài)下，蠕變損傷服從下式[18]

(18)

對式(18)進行積分得

D(t)=1-[1-tm(k+1)σk]1/(k+1)

(19)

根據(jù)損傷力學原理，任意時刻的彈性模量為

E(t)=Ei[1-D(t)]

(20)

式中：Ei為黏土各蠕變階段的初始彈性模量。

將式(19)代入式(20)得

E(t)=Ei[1-tm(k+1)σk]1/(k+1)

(21)

3.3.2成都黏土黏滯系數(shù)

根據(jù)蠕變試驗的黏滯系數(shù)分析結(jié)果可知，黏滯系數(shù)與加載應力、時間存在函數(shù)關系。孫鈞[18]認為，在加載應力大于長期強度時，黏滯系數(shù)不斷減小，影響因素主要有黏土長期強度、時間和加載水平。因此，引入指數(shù)函數(shù)η(t)

η(t)=η2e-(σ-τ∞)pt

(22)

式中：p為材料參數(shù)。

綜上所述，將式(21)，(22)代入式(16)，(17)，構(gòu)成成都黏土非定常蠕變本構(gòu)模型。

當σ<σL時

(23)

當σ≥σL時

(24)

3.4蠕變本構(gòu)模型辨識分析

本文通過1stOpt軟件中的LM(Levenberg-Marquardt)算法，對建立的蠕變模型進行參數(shù)擬合分析。該算法具有不易于收斂到局部極小值和對初值依賴性不強等優(yōu)點[19]，可以滿足參數(shù)擬合要求。成都黏土蠕變模型的擬合結(jié)果見圖11和表2。

根據(jù)擬合結(jié)果可知：成都黏土非線性蠕變模型的彈性模量和黏滯系數(shù)在低、中應力條件下均隨軸向偏應力的增大而增大；在高應力條件下，二者均出現(xiàn)跌落式減小，這符合蠕變試驗的研究規(guī)律。在速蠕變階段，蠕變試驗的數(shù)據(jù)與公式的擬合度可達0.999，這克服了許多蠕變模型不能較好反映加速蠕變階段的難題。

為說明所構(gòu)建模型的合理性和可靠性，用本文構(gòu)建的蠕變模型對文獻[20]中的成都黏土蠕變試驗數(shù)據(jù)進行擬合辨識，辨識結(jié)果見圖12和表2。根據(jù)辨識結(jié)果可知，文獻[20]中的蠕變試驗數(shù)據(jù)與擬合曲線辨識度較高，表明本文蠕變模型能較準確地反映成都黏土的蠕變過程。

因此，本文所建立的蠕變模型是可行的，能從一定程度上反映成都黏土蠕變的本質(zhì)，這對成都黏土蠕變性質(zhì)的研究具有借鑒意義。

表2蠕變模型擬合參數(shù)Tab.2Fitting Parameters of Creep Model

4結(jié)語

(1)通過成都黏土的常規(guī)固結(jié)不排水試驗和蠕變試驗及分析，確定了試驗黏土的峰值偏應力；成都黏土的蠕變過程主要包括瞬時彈性變形、黏彈性變形和黏塑性變形；黏土的彈性模量和黏滯系數(shù)在黏土未達屈服強度時均隨軸向應力的增加而增加，黏滯系數(shù)隨時間的增加而增加，彈性模量則反之；在達到屈服強度后，二者均隨時間的增加而發(fā)生跌落式減??；彈性模量和黏滯系數(shù)均有時效特性和加載特性，即二者具有非定常性。

(2)基于分數(shù)階導數(shù)理論，結(jié)合蠕變試驗發(fā)現(xiàn)彈性模量和黏滯系數(shù)的非定常性，在蠕變模型中引入關于彈性模量和黏滯系數(shù)的函數(shù)式，從而建立了成都黏土的非定常蠕變本構(gòu)模型。

(3)對所建立的蠕變模型進行擬合分析，結(jié)果表明本文構(gòu)建的模型能夠較好反映成都黏土彈性模量和黏滯系數(shù)的變化規(guī)律；同時在加速蠕變階段的擬合度極高，說明該蠕變模型能較好地反映成都黏土的蠕變特性；通過辨識分析，本文蠕變模型能夠很好地擬合相關學者關于成都黏土的蠕變試驗數(shù)據(jù)，表明了本文所建蠕變模型的合理性和可靠性。

(4)本文以成都黏土為背景，建立的蠕變模型能夠較好反映蠕變特性，但也存在蠕變模型較為復雜的問題，這是由于在分數(shù)階導數(shù)的基礎上引入彈性模量和黏滯系數(shù)函數(shù)式。因此，如何使得蠕變模型既能更好地反映成都黏土蠕變特性，又能更加簡潔將是需要研究的方向之一。

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