多維力加載裝置動(dòng)力學(xué)建模及加載試驗(yàn)

侯立果， 王丹， 安大衛(wèi)， 郭江真，*， 陳五一， 樊銳

(1. 北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100083；2. 航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司 技術(shù)中心, 成都 610092)

數(shù)控機(jī)床是裝備制造業(yè)的工作母機(jī)，其可靠性技術(shù)目前已成為制約行業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵共性技術(shù)[1]?，F(xiàn)階段檢測(cè)數(shù)控機(jī)床可靠性的主要方法是“經(jīng)時(shí)試驗(yàn)”，即使用該機(jī)床長(zhǎng)時(shí)間切削金屬坯料，使機(jī)床主軸承受切削力，以此發(fā)現(xiàn)機(jī)床長(zhǎng)期運(yùn)行時(shí)所發(fā)生的故障。但是，該方法耗費(fèi)大量的原料和刀具，顯著增加了測(cè)試成本。所以，需要研制一種可向機(jī)床主軸施加多維載荷的加載裝置，以改進(jìn)傳統(tǒng)測(cè)試方法。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、積累誤差小和動(dòng)態(tài)性能好等特點(diǎn)在工業(yè)領(lǐng)域被廣泛使用[2]。其動(dòng)平臺(tái)具備空間多自由度，故可以將其應(yīng)用于多維力加載領(lǐng)域。關(guān)于并聯(lián)加載裝置的研究，最早可追溯到1962年Gough 和Whitehall發(fā)明的6自由度并聯(lián)機(jī)器人[3],將其應(yīng)用于對(duì)輪胎的加載中，測(cè)試輪胎在不同載荷下的性能。徐彬[4]采用Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)的形式，對(duì)大型旋挖鉆機(jī)動(dòng)臂加載性能參數(shù)進(jìn)行了分析。劉少欣等[5]對(duì)6-UPS并聯(lián)加載裝置的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。王博和黃其濤[6]提出了一種正交并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多軸加載試驗(yàn)系統(tǒng)，用以模擬對(duì)接機(jī)構(gòu)組合體實(shí)際應(yīng)用中受到的復(fù)雜載荷，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)一種新的應(yīng)用形式。Stokes等[7]基于6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)一種針對(duì)脊柱的加載裝置，在末端安裝多維力傳感器，對(duì)動(dòng)物脊柱進(jìn)行了剛度測(cè)量。Nierenberger和Flohic等[8-9]將Stewart平臺(tái)用作多維力材料加載試驗(yàn)機(jī)，并對(duì)混凝土試驗(yàn)件進(jìn)行拉力-剪力-剪切力二維加載試驗(yàn)。Guo等[10-12]同樣基于Stewart平臺(tái)，設(shè)計(jì)多維力加載試驗(yàn)機(jī)，對(duì)試驗(yàn)機(jī)的輸出載荷進(jìn)行檢測(cè)。但是，上述研究采用的Stewart平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)位于運(yùn)動(dòng)支鏈中，隨連桿一起運(yùn)動(dòng)，使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量增大，對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生不利影響。相比之下，6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其驅(qū)動(dòng)電機(jī)固定，可有效減小運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量，機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性好，便于在多維加載過(guò)程中實(shí)時(shí)跟隨目標(biāo)的空間運(yùn)動(dòng)。王洪瑞等[13]建立了6-PSS并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型；孫小勇等[14]對(duì)6-PSS并聯(lián)機(jī)器人的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；Wang等[15]基于Hexaglide型并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)多維力加載裝置，并對(duì)其剛度分布進(jìn)行分析，但是并未對(duì)加載裝置進(jìn)行多維力加載試驗(yàn)。

本文提出一種基于6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維力加載裝置，可對(duì)目標(biāo)提供多維載荷。首先根據(jù)向量疊加原理和牛頓迭代法分別介紹了6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆、正解運(yùn)算，并由旋量理論建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)模型；然后根據(jù)虛功原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行仿真驗(yàn)證；最后對(duì)多維力加載裝置進(jìn)行多維力加載試驗(yàn)。

1 6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

如圖1所示，6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)及6根完全相同的支鏈組成。其中，動(dòng)平臺(tái)復(fù)合球鉸中心Bi(i=1,2,…,6)的分布半徑為rp，6個(gè)球鉸鏈分為3組，沿圓周均布，每組之間夾角為120°；6個(gè)直線驅(qū)動(dòng)及靜平臺(tái)復(fù)合虎克鉸Ci(i=1,2,…,6)同樣分為3組在靜平臺(tái)上沿圓周均布，每組驅(qū)動(dòng)的安裝平面傾角為β。將滑塊置于零位，每組兩驅(qū)動(dòng)的中點(diǎn)的分布半徑為rb，各支鏈中的連桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

選任一支鏈,使用向量疊加描述該運(yùn)動(dòng)鏈得

(1)

圖1 多維力加載裝置結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系定義示意圖Fig.1 Schematic of structure and coordinate system definition of tested multi-dimensional loading device

(2)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

與運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解相反，多維力加載裝置的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是已知6個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈的電機(jī)驅(qū)動(dòng)量，求解機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿的過(guò)程，即已知驅(qū)動(dòng)量di(i=1,2,…,6)，求解動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O′的位置向量p=[pxpypz]T和姿態(tài)向量Θ=[θxθyθz]T，其中向量p和Θ的3個(gè)分量分別是動(dòng)平臺(tái)沿x、y、z軸的位移和繞其軸線的轉(zhuǎn)角。

將動(dòng)平臺(tái)的位姿表示為Q=[pTΘT]T,可以根據(jù)姿態(tài)向量求解出旋轉(zhuǎn)矩陣R=f(Θ)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)反解可知

(3)

式中：旋轉(zhuǎn)矩陣R用四元數(shù)表示，相比歐拉角，可有效避免奇異問(wèn)題。通常，可將四元數(shù)定義為A=a0+a1i+a2j+a3k,(ai∈R,i=0,1,2,3)，且

(4)

則Q=[pA]T，A=[a0a1a2a3]T。

將R代入式(3)，再與式(4)相加可得7個(gè)方程，最后利用牛頓迭代法即可求解得出位置向量Q的7個(gè)分量未知數(shù)。求解過(guò)程如圖2所示，首先確定動(dòng)平臺(tái)初始位姿Q0，然后用牛頓迭代法求出迭代位姿Qn(n為迭代次數(shù)，n≥0),當(dāng)由末端迭代位姿Qn反解計(jì)算出的桿長(zhǎng)與已知桿長(zhǎng)的差值向量Δf=[f1f2…f7]的模滿足f(Qn)<ξ=10-10m時(shí)，即可認(rèn)為此時(shí)的迭代位姿Qn可以作為當(dāng)前動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際位姿向量Q，迭代結(jié)束。

圖2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解流程圖Fig.2 Flowchart of forward kinematics of mechanism

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)分析

2.1 速度及靜力雅可比矩陣分析

任取一條運(yùn)動(dòng)支鏈作為研究對(duì)象，如圖3所示。將動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度旋量用Plücker 坐標(biāo)表示為T(mén)=[vTωT]T，其中v和ω分別表示動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的平移速度和旋轉(zhuǎn)角速度。

由旋量法可得

(5)

(6)

由速度和靜力學(xué)對(duì)偶關(guān)系可知：

(7)

式中：F=[fTmT]T為施加在動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的外力載荷f為外力，m為力矩；τ=[τ1τ2…τ6]T為移動(dòng)副滑塊驅(qū)動(dòng)力向量；Jf為力雅可比矩陣。

圖3 支鏈坐標(biāo)系及速度旋量分布示意圖Fig.3 Schematic of branched-chain coordinate system and velocity screw distribution

2.2 速度分析

對(duì)式(1)的右側(cè)求導(dǎo)可知：

(8)

將vbi通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換至支鏈坐標(biāo)系得

(9)

對(duì)式(1)等號(hào)左側(cè)求導(dǎo)且將其轉(zhuǎn)化至支鏈坐標(biāo)系中得

(10)

對(duì)式(10)的兩端同時(shí)點(diǎn)乘iki，可得

將驅(qū)動(dòng)量整理為矩陣形式為

(11)

對(duì)式(10)兩端同時(shí)叉乘iki，由iωi·iki=0可得連桿角速度在支鏈坐標(biāo)系中的表示為

式中：iΩki=iki。

由滑塊的質(zhì)心向量rci=ai+disi可得其質(zhì)心速度為

(12)

同理，由連桿的質(zhì)心向量rli=ai+disi+Liki/2可得連桿的質(zhì)心速度，將其轉(zhuǎn)換至支鏈坐標(biāo)系：

(13)

(14)

(15)

式中：

2.3 加速度分析

對(duì)式(10)求導(dǎo)且兩端同時(shí)點(diǎn)乘iki可得滑塊的加速度在支鏈坐標(biāo)系中為

(16)

對(duì)式(10)求導(dǎo)且兩端同時(shí)叉乘iki可得連桿角加速度在支鏈坐標(biāo)系中為

(17)

對(duì)式(12)求導(dǎo)得滑塊質(zhì)心加速度向量為

(18)

對(duì)式(13)求導(dǎo)得連桿質(zhì)心加速度向量，并將其轉(zhuǎn)換至支鏈坐標(biāo)系得

(19)

3 動(dòng)力學(xué)分析

3.1 動(dòng)力學(xué)方程

由虛功原理可知，多維力加載裝置各部件所受廣義主動(dòng)力及廣義慣性力合力所做的功為零。

式中：fe和ne分別為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)外力和外力矩；mp為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量；AIp為動(dòng)平臺(tái)在靜坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

同理，靜坐標(biāo)系下各滑塊質(zhì)心點(diǎn)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力合力(包含力fci及力矩nci)為

式中：mci為滑塊質(zhì)量。同理，支鏈坐標(biāo)系下各連桿質(zhì)心點(diǎn)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的合力(包含力fli及力矩nli)表示為

式中：mli為連桿質(zhì)量；iIli為支鏈坐標(biāo)系下連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由虛功原理得

(20)

當(dāng)各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同時(shí)，δq=Jpδxp, δxci=Jciδxp, δixli=iJliδxp, 將此式(3)代入式(20)得

這些問(wèn)題我們是解答不了的，因?yàn)槌税磿?shū)本章節(jié)背了一些理論外，其他就不甚了了。巴克夏被問(wèn)得支支吾吾，滿頭冒汗，求援似的望著我。我靈機(jī)一動(dòng)，連忙遮掩：“大家問(wèn)的都是關(guān)于農(nóng)作物的疾病與蟲(chóng)害部分，將來(lái)會(huì)講到的，現(xiàn)在暫不涉及——”

(21)

3.2 動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證

首先，建立Adams理論模型，并結(jié)合模型的質(zhì)量參數(shù)在MATLAB中推導(dǎo)多維力加載裝置的動(dòng)力學(xué)方程，建立動(dòng)力學(xué)方程；其次，同時(shí)設(shè)定Adams和MATLAB中的機(jī)構(gòu)模型的動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡如式(22)所示：

xp=[40cos(πt),40sin(πt),5t,20cos(πt),

20sin(πt),30sin(πt)]T

(22)

則其質(zhì)心速度和加速度向量也可求出；再次，同時(shí)設(shè)定Adams和MATLAB中的機(jī)構(gòu)模型的動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)所受外力為沿z軸負(fù)方向1 000 N；最后，在Adams中測(cè)量6個(gè)滑塊的驅(qū)動(dòng)力，與MATLAB計(jì)算得出的驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行比較，并計(jì)算二者之間的誤差，如圖4所示。由圖4可知，Adams機(jī)構(gòu)理論模型與MATLAB動(dòng)力學(xué)模型誤差維持在2 N以內(nèi)，小于驅(qū)動(dòng)力的0.5%，支鏈2、3和5在0.04 s時(shí)誤差達(dá)到4 N，但仍小于驅(qū)動(dòng)力的1%，驗(yàn)證了本文運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析的正確性。

圖4 Adams與MATLAB模型所得各支鏈驅(qū)動(dòng)力的誤差Fig.4 Deviation of branched-chain actuation forces derived from Adams and MATLAB model

4 多維力加載試驗(yàn)

進(jìn)行多維力加載試驗(yàn)時(shí)，將多維力加載裝置放置在三軸聯(lián)動(dòng)龍門(mén)式機(jī)床試驗(yàn)平臺(tái)上，動(dòng)平臺(tái)中心與機(jī)床主軸連接，主軸處于靜止?fàn)顟B(tài)，改變動(dòng)平臺(tái)的位姿，其與主軸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)應(yīng)產(chǎn)生作用力，實(shí)現(xiàn)對(duì)主軸的多維力加載。具體加載過(guò)程如下：第一,設(shè)定期望動(dòng)平臺(tái)輸出的多維力值；第二,由光柵尺反饋各支鏈的驅(qū)動(dòng)量，正解得機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿；第三,根據(jù)動(dòng)平臺(tái)位姿和動(dòng)力學(xué)方程求解得出施加期望多維力所需要的各支鏈驅(qū)動(dòng)力，并由此推導(dǎo)得出各傳感器期望力；第四,使用模糊PID控制算法[16]對(duì)各支鏈進(jìn)行力閉環(huán)控制，使動(dòng)平臺(tái)輸出期望多維力。

多維力加載試驗(yàn)分為2部分：六維三角波載荷和六維正弦載荷，分別代表對(duì)機(jī)床主軸勻速加載和變加速度加載2種形式。試驗(yàn)采用“雙十指標(biāo)”評(píng)估加載性能，即實(shí)際加載力與參考加載力誤差小于10%，相位誤差小于10°。通過(guò)比較各方向?qū)嶋H載荷和參考載荷間的跟隨誤差，分析和評(píng)估多維力加載裝置的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。

1) 六維三角波載荷加載

同時(shí)在主軸上施加幅值為200 N的三維三角波力和幅值為10 N·m三維三角波力矩，得到理論力、理論力矩及加載誤差如圖5所示。

觀察圖5可知，多維力加載裝置對(duì)主軸施加的六維三角波載荷中，沿x、y和z軸的加載力誤差最大值分別為4.680、2.636和5.264 N，基本處于參考加載力最大幅值的5%以內(nèi)。另外，沿三軸加載力矩誤差最大值分別為0.652、0.515和0.321 N·m，小于參考加載力矩最大幅值的10%，滿足加載需要。

2) 六維正弦載荷加載

同時(shí)在主軸上施加幅值為200 N的三維正弦力和幅值為10 N·m的三維正弦力矩，得到理論力、理論力矩及加載誤差如圖6所示。

由圖6可知，多維力加載裝置對(duì)主軸施加的六維正弦載荷中，沿x、y和z軸加載力誤差最大值分別為18.291、22.417和19.201 N，基本維持在參考載荷的10%以內(nèi)。另外，沿三軸的加載力矩誤差最大值分別為1.583、2.062和1.607 N·m，在參考加載力矩的10%以內(nèi)，滿足加載需要。

圖5 六維三角波載荷加載誤差Fig.5 Loading errors along six axes with triangular wave load

圖6 六維正弦載荷加載誤差Fig.6 Loading errors along six axes with sine load

5 結(jié) 論

本文提出一種基于6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維力加載裝置，可對(duì)機(jī)床主軸施加多維載荷。建立了加載裝置的運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)以及動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證和多維力加載試驗(yàn)，得出以下結(jié)論：

1) 采用虛功原理可對(duì)6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)建模。用MATLAB建立動(dòng)力學(xué)模型，并在Adams中建立結(jié)構(gòu)相同的虛擬樣機(jī)，通過(guò)給定相同的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡和外載荷，對(duì)比Adams和MATLAB仿真所得的驅(qū)動(dòng)力，誤差小于1%，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的正確性。

2) 6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備對(duì)目標(biāo)進(jìn)行多維力加載的能力，加載試驗(yàn)結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)可對(duì)目標(biāo)施加六維三角波和正弦載荷信號(hào)，最大跟隨誤差均小于10%，證明其可以對(duì)目標(biāo)進(jìn)行勻速和變加速多維力加載，為數(shù)控機(jī)床加載試驗(yàn)提供新的加載手段和理論基礎(chǔ)。

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