聚焦20 17年高考中的平面向量問題

■張啟兆 陳偉斌

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它集“數(shù)”“形”于一體，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。高考主要考查向量的基本概念及基本運算，其中對向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算的考查尤為突出，同時也注重考查向量與其他知識的交匯問題。下面從20 17年高考的平面向量試題中選取典型題目，剖析高考中此類問題的命題方向和考查目標(biāo)，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、向量的線性運算

例 1 (20 17年高考天津卷改編)已知D為△ABC所在平面內(nèi)的一點，若=則( )。

評注：在△ABC中是平面向量的減法運算法則，熟練掌握這一運算法則有助于快速解題。

二、向量的坐標(biāo)運算

例2(20 17年高考山東卷改編)已知向量a=(2，6)，b=(-1，3λ)，若a∥b，則λ=____。

解：由a∥b，可得-1×6=6λ?λ=-1。

評注：向量的坐標(biāo)運算是向量中最簡單、最基本的運算，它把向量的幾何運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，是以“數(shù)”解“形”的典型例證。本題主要考查了向量平行與向量的坐標(biāo)運算。解答本題的關(guān)鍵是要熟記兩向量平行的坐標(biāo)表示。

例3(20 17年高考新課標(biāo)卷改編)已知向量a=(-1，2)，b=(7m，1)。若向量a+b與a垂直，則m=____。

解：由題意得a+b=(7m -1，3)。

由a+b⊥a，可得 (a + b)·a=0，所以-(7m -1)+2×3=0，解得m=1。

評注：解答本題的關(guān)鍵是要熟記向量垂直的坐標(biāo)表示。

三、向量的模

例4(20 17年高考新課標(biāo)卷改編)已知向量a，b的夾角為30°，|a|=2，|b|=3，則|a+2b|=____。

評注：在向量模的計算中，求平方是常用且有效的方法，通過平方以及利用向量數(shù)量積等知識將向量的模轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究。

四、向量的數(shù)量積

例5(20 17年高考新課標(biāo)卷改編)已知三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，P為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，則2的最小值是( )。

解：如圖1，以BC的中點D為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系x Dy，則點B(-1，0)，C(1，0)，A(0，3)。

圖1

設(shè)點P(x，y)，則=(-x，-y)，(-1-x，-y)，=(1-x，-y)，

評注：抓住問題的特點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用坐標(biāo)法解決向量問題是一種重要的解題手段。求解向量的數(shù)量積問題有“三法”：定義法、坐標(biāo)法、基底法。本題也可以用定義法和基底法來求解。向量的數(shù)量積有兩種表現(xiàn)形式：一是已知兩個向量的模和夾角求數(shù)量積，二是已知兩個向量的坐標(biāo)求數(shù)量積。

評注：本題是利用“算兩次”的思想方法求解的。解題時，通過向量的模與向量運算的靈活轉(zhuǎn)換，應(yīng)用平面向量的夾角公式，建立方程求得λ的值。

圖2

五、平面向量的基本定理

例 8(20 17年高考天津卷)如圖3，在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2。若(λ∈R)，且=-4，則λ 的值為 。

圖3

評注：解答本題時，選取基底很重要。題中向量的模和夾角已知，選作基底易于計算數(shù)量積。

例 9(20 17年高考新課標(biāo)卷)如圖4，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若則λ+μ的最大值為( )。

圖4

解：由圖4可建立直角坐標(biāo)系x By，則點A0，1()，B0，0()，C2，0()，D2，1()，P x，y()。

評注：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用向量的平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算。用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決問題。

六、平面向量與三角函數(shù)的交匯

例 10(20 17年高考江蘇卷)已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，-)，x∈[0，π]。

(1)若a∥b，求x的值。

(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值。

解：(1)因為a=(cosx，sinx)，b=(3，-)，a∥b，所以-cosx=3sinx。

若cosx=0，則sinx=0，這時與sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0，于是可得

評注：向量與三角函數(shù)的交匯問題，通常有向量與解三角形相結(jié)合的問題，也有向量與三角函數(shù)圖像平移相結(jié)合的問題，考查的難度屬于中等偏易。