高考試題中的空間線線角

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區(qū) 363100)

立體幾何是高中數(shù)學主干知識,它緊緊圍繞數(shù)量關系,空間形式，數(shù)形結合,公理化思想這4條主線,讓學生有機會體會和認識一些數(shù)學本源性問題.其中的空間角是高考重點考查的內(nèi)容,包括線線角,線面角,面面角.求解空間角一般可以采用綜合法和向量法(包括向量基底法和向量坐標法).本文以求解空間中的線線角為例進行說明.

求解空間中的線線角一般可以采用以下方法.

方法1：綜合法

立體幾何問題解決的基本策略是立體問題平面化.綜合法以公理,定理體系為理論基礎,對空間中的點,線,面的關系從形上去認識,根據(jù)判定定理與性質(zhì)定理把空間的線線,線面,面面關系通過傳遞轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的線線關系,具有逐步過渡,步步為營,推理嚴謹,簡潔明了等特點.而借助輔助線的定位過渡是解題的難點與關鍵,需要學生構建整體觀念和具有一定的平面幾何基礎.

方法2：向量法

向量法的實質(zhì)是幾何問題代數(shù)化(將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題進行量化處理),把立體幾何從形向數(shù)上延伸,用代數(shù)運算的方式解決立體幾何問題,運算公式植根于綜合法,具有跨越定位過程,隔空傳遞,關注結果,化繁為簡,操作容易等特點.

例1 (2017年全國Ⅱ卷)

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )

方法1：綜合法

圖1 圖2

如圖1所示,取AB中點M,BC中點Q,B1B中點N,B1C1中點P，連結MQ,PQ,MP,MN,PN.由于AB1∥MN,BC1∥PN,所以異面直線AB1與BC1所成的角即為∠MNP或其補角.

方法2：基底法

設異面直線AB1與BC1所成的角為θ,則cosθ=

方法3:坐標法

圖3

設異面直線AB1與BC1所成的角為θ,則cosθ=

例2 (2015年浙江卷)

在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別為AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成角的余弦值是________.

圖4 圖5

方法1：綜合法

如圖4所示,連結DN,取DN中點E,連結ME,CE.

方法2：基底法

如圖5所示,

|c|=3.

設異面直線AN與CM所成的角為θ,則cosθ=

方法3：坐標法

圖6

設異面直線AN與CM所成的角為cosθ=

上述兩種方法是處理空間中兩直線所成角的常用方法.方法1為綜合法,理論依據(jù)是立幾中的三個公理以及相關定理,性質(zhì).其關鍵在于作出輔助線,進而證實與解答.方法2是基底法,理論依據(jù)是空間向量基本定理(空間中任意一個向量都可以表示成不共面的三個向量的線性組合),需要三個模與相互夾角已知的不共面向量作為基底,用其表示空間內(nèi)任意向量,通過數(shù)量積等運算實現(xiàn)化歸.方法3是建立空間直角坐標系,將幾何元素以坐標的形式體現(xiàn)出來,轉(zhuǎn)化為坐標的運算.三種方法都具有各自的優(yōu)點,不可偏廢.在實際解題中我們應該要靈活根據(jù)題目條件選擇合適的方法以期達到最優(yōu)化效果.

例3 (2014年新課標全國卷Ⅱ)

直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1中點,BC=CA=CC1,則BM與AM所成角的余弦值為( )

圖7

解析如圖7所示,以C為原點建立空間直角坐標系.

設BC=CA=CC1=2,則A(0,2,0),N(0,1,2),B(-2,0,0),M(-1,1,2),

設異面直線BM與AN所成的角為θ,則cosθ=

例4 (2014年大綱卷第11題)

圖8

已知二面角為α-l-β為60°,AB?α,AB⊥l,A為垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135° ,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為 ( )

其中結論正確的是________.

例5 (2017年全國Ⅲ卷)

設a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸,有以下結論:

(1)當直線AB與α成60°角時,AB與b成30°角.

(2)當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角.

(3)直線AB與a所成角的最小值為45°.

(4)直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中結論正確的是____.

圖9

解析如圖9所示,設直線a為直線NC,直線b為直線MC,設直線AB與a所成的角為α,直線AB與b所成的角為β.

作BM∥C,BN∥MC,則α=∠ABM,β=∠ABN.

因此有cosα=cos∠ABC·cos∠CBM,

(1)

cosβ=cos∠ABC·cos∠CBN=cos∠ABC·sin∠CBM.

(2)

所以當直線AB與α成60°角時,AB與b成60°角.第(2)個正確.

又因為斜線與射影所成的角是該斜線與平面內(nèi)任意 一條直線所成角中最小的,故直線AB與a所成角的最小值為45°.第(3)個正確.

評析上述三道試題從圖形特征以及待求目標來看,采用向量法顯然不合適,因此采用綜合法進行求解.

空間中的線線角折射出學生對綜合法與向量法的理解,在實際教學中,要正確處理好綜合法與向量法的運用關系,不能顧此失彼.筆者認為,在高三一輪復習時，要強調(diào)使用幾何法，以鞏固定理，規(guī)范證明過程書寫，提高推理論證能力.在高三二輪復習時,要讓學生根據(jù)實際,靈活選擇以實現(xiàn)簡化解題過程之目的.

參考文獻：

[1]李波.2017年高考立體幾何專題解題分析[J].中國數(shù)學教育,2017(7-8):113-117.