地下水模擬不確定性問題的多模型分析

宋 凱, 劉 丹, 劉 建

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

近年來,地下水模擬已成為研究地下水環(huán)境各類問題的主要方法,地下水模擬的高度概化、水文地質(zhì)條件的不協(xié)調(diào)與研究問題本身的復(fù)雜性,致使地下水模擬不確定性問題的出現(xiàn),直觀表征為模擬預(yù)報結(jié)果與實際情況的偏差.現(xiàn)廣泛應(yīng)用的確定性數(shù)值模型僅能獲得唯一解,未考慮模擬不確定性對模型預(yù)測結(jié)果的影響,依據(jù)此預(yù)測結(jié)果進(jìn)行決策存在風(fēng)險.因此,十分必要對模型進(jìn)行不確定分析獲取優(yōu)化模型,提高模型精度.

地下水模擬不確定性根據(jù)其來源可分為:參數(shù)不確定性、模型不確定性和資料不確定性[1].主要通過參數(shù)識別方法研究參數(shù)不確定性問題,如單純形法、最速下降法、共軛梯度法、高斯-牛頓法、遺傳算法、模擬退火算法、蒙特卡羅法及貝葉斯方法等[2];一般通過多模型方法探討概念模型不確定性問題;可通過連續(xù)長期觀測資料,不依賴于某時刻或單一空間數(shù)據(jù)來克服資料不確定性.地下水模型參數(shù)的不確定性問題己經(jīng)獲得了廣泛的關(guān)注,如Beven和Binley提出的GLUE (generalized likelihood uncertainty estimation)方法對水文模型的參數(shù)不確定性進(jìn)行估計[3-4];馬爾科夫鏈-蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)也是一種重要的不確定性分析方法,它在蒙特卡洛模擬框架內(nèi)不斷演化馬爾科夫鏈,使采集的樣本參數(shù)收斂于模型參數(shù)的后驗概率分布[5-6],能夠有效地探索參數(shù)分布空間的高概率密度區(qū)域,并反映出參數(shù)后驗概率的分布特征[7].Hassan等[5]使用MCMC方法對Alaska、Amchitka Island的Milrow試驗場地下水模型參數(shù)進(jìn)行了不確定性評價.Kuczera和Parent[8]、Rojas[9]、陸樂[2]和刑貞相[10]等依托不同的試驗場地及水文模型研究各類參數(shù)不確定性對模型的影響,并應(yīng)用于模型參數(shù)的識別及地下水環(huán)境的風(fēng)險分析.有關(guān)地下水概念模型的不確定性分析起步較晚,部分研究針對模型結(jié)構(gòu)的不確定性進(jìn)行了分析,如Rojas等[11]提出了GLUE與貝葉斯模型平均(Bayesian model averaging)結(jié)合的方法,分別對模型參數(shù)和概念模型的不確定性進(jìn)行了統(tǒng)計.此外,Neuman[12]、Ye[13]、吳吉春[1]、曾獻(xiàn)奎[14]等亦對概念模型不確定性進(jìn)行了相關(guān)研究.這些研究多側(cè)重于對多個概念模型模擬結(jié)果的綜合分析,以獲取輸出變量的分布特征;或假設(shè)以理想模型的不同邊界條件構(gòu)建多模型進(jìn)行影響分析研究.然而,各類不確定因素對模型影響的敏感度及概念模型的可靠性等方面缺乏系統(tǒng)的分析研究.

本文應(yīng)用調(diào)整接受條件后的自適應(yīng)采樣(adaptive metropolis, A-M)算法,以大量水文地質(zhì)試驗數(shù)據(jù)為參數(shù)分布的先驗信息構(gòu)建多模型,根據(jù)模型輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識別,并結(jié)合基于AICc準(zhǔn)則的多模型分析方法,研究參數(shù)不確定性及不同結(jié)構(gòu)概念模型對模擬輸出的影響及其敏感性.

1 地下水模擬的多模型分析方法

1.1 多模型的構(gòu)建思路

傳統(tǒng)的多模型分析遵循的主要步驟:(1) 考慮構(gòu)建模擬區(qū)多個可能的模型;(2) 在相同觀測數(shù)據(jù)條件下校正模型;(3) 使用某種準(zhǔn)則對模型進(jìn)行排序;(4) 去掉可能性小的模型;(5) 對余下模型得到的預(yù)測值與統(tǒng)計量進(jìn)行權(quán)重分析[15-16].

通過調(diào)整A-M接受樣本條件,對多模型分析步驟進(jìn)行調(diào)整:(1) 將不同概念模型結(jié)合服從某分布的隨機(jī)抽樣參數(shù)樣本,構(gòu)建研究區(qū)多個可能的計算模型;(2) 在相同觀測數(shù)據(jù)條件下,通過調(diào)整后A-M采樣的樣本接受條件,直接剔除預(yù)測值與觀測值偏差較大模型;(3) 對余下模型得到的預(yù)測值與統(tǒng)計量進(jìn)行權(quán)重分析.

1.2 AM-MCMC的優(yōu)化

MCMC是一種重要的不確定性分析方法,該方法的效率很大程度上取決于其采樣的算法.常用的算法有:metropolis-hastings(M-H)算法、吉布斯(Gibbs)采樣[17]、A-M算法[18]及single component adaptive metropolis(SCAM)算法[19]等.相比傳統(tǒng)的M-H與Gibbs采樣,A-M不再需要確定變量的推薦分布,而是決定于初始抽樣的協(xié)方差,將先驗的推薦分布定義為空間的多維正態(tài)分布形式,其初始協(xié)方差可根據(jù)先驗信息確定,因此大量先驗數(shù)據(jù)成為A-M采樣算法效率及準(zhǔn)確性的基礎(chǔ).A-M及SCAM采樣原理相近,但若參數(shù)組中包含較多維向量,需要分析全局最優(yōu)解為多維向量參數(shù)組時,A-M算法較SCAM更適用.

A-M算法是將參數(shù)組看成多維的向量,第i步參數(shù)樣本推薦服從第i-1次采樣所得的向量θi-1為均值,協(xié)方差矩陣為Ci的多元正態(tài)分布.在初始i0次抽樣中,協(xié)方差矩陣Ci取固定值C0,C0的確定可依據(jù)先驗信息,之后自適應(yīng)更新.協(xié)方差矩陣計算如式(1).

(1)

式中:

C0為初始協(xié)方差矩陣;

COV(θ0， …，θi-1)為已有的所有樣本向量的協(xié)方差矩陣;

ε為較小的正數(shù),本次研究取值10-5,為確保Ci不成為奇異矩陣;

sd為比例因子,依賴于參數(shù)空間維度d,以確保接受率在一個合適的范圍內(nèi),sd=2.42/d;Id為d維的單位矩陣[20].

Ci+1為參數(shù)i+1次采樣的協(xié)方差矩陣,由式(1)推出協(xié)方差公式為

(2)

式中:

A-M算法采樣具體步驟如下:

步驟1按先驗分布隨機(jī)產(chǎn)生初始樣本向量θ0;

步驟2利用公式計算Ci;

步驟3產(chǎn)生的參數(shù)樣本θ*～N(θi,Ci);

步驟4計算接受概率α,

(3)

若接受產(chǎn)生樣本θ*,令θi+1=θ*;傳統(tǒng)的參數(shù)樣本接受與否,通過模型的計算值與實際觀測資料計算得來的接受概率判定,如式(3).A-M算法不再依賴于參數(shù)的推薦分布,假設(shè)參數(shù)樣本先驗及后驗分布均服從于多元正態(tài)分布,以大量實測參數(shù)數(shù)據(jù)為先驗信息,隨機(jī)采集樣本的“失真”及后驗分布的不收斂基本可忽略.后期依據(jù)AICc信息量準(zhǔn)則統(tǒng)計模型的預(yù)測值進(jìn)行權(quán)重分析,獲取最優(yōu)參數(shù)區(qū)間.

為提高采樣效率,嘗試將原接受條件調(diào)整為模型的各項計算值與對應(yīng)觀測值的殘差均值在K范圍內(nèi),對模型進(jìn)行初步篩選,即將步驟4接受樣本條件由式(3)調(diào)整為式(4).

(4)

式中:

y1、y2分別為實際觀測及模型計算值;

n為觀測數(shù)據(jù)個數(shù).

步驟5重復(fù)步驟(2)～(4),直到取得足夠多的樣本.

1.3 基于AICc準(zhǔn)則的多模型分析

基于AICc準(zhǔn)則的參數(shù)識別是利用模型預(yù)測結(jié)果來計算模型平均預(yù)測值及模型殘差,并通過排列模型,計算模型概率或權(quán)重來分析模型的最優(yōu)取值區(qū)間.單個模型的權(quán)重通常是由信息量準(zhǔn)則來確定的.信息量準(zhǔn)則是信息理論和似然理論結(jié)合的成果,日本統(tǒng)計學(xué)家赤池弘次首先提出了赤池信息量準(zhǔn)則AIC (Akaike’s information criteron),將信息理論中的Kullback-Leibler距離和Fisher極大似然函數(shù)聯(lián)系起來[21].繼AIC之后提出修正的AIC信息量準(zhǔn)則(AICc).AICc信息量的計算如式(5)～(7).

(5)

(6)

(7)

式中:

Ai為AICc信息量的計算值;

k為待估參數(shù)個數(shù).

AICc與AIC的不同僅在于它多了式(5)右邊第3項.這項是標(biāo)識因觀測數(shù)據(jù)較少產(chǎn)生的二階偏差,當(dāng)n/k<40時,尤其需要考慮到二階偏差對多模型分析的影響.在對地下水系統(tǒng)進(jìn)行建模分析時,n/k<40的情況很普遍[22],因此推薦使用AICc準(zhǔn)則.得到AICc值之后,用模型的AICc值減去所有備選模型中的AICc最小值,計算每個模型的Delta值Δi、Δj(i≠j).最后根據(jù)Delta值計算模型的后驗概率ωi,R是參加多模型分析得到的備選模型總數(shù)[23].

(8)

2 實例計算研究

2.1 研究區(qū)概況及水文地質(zhì)條件

研究區(qū)位于我國西南某平原區(qū),區(qū)內(nèi)主要分布第四系松散沉積砂礫卵石孔隙潛水含水層.模擬區(qū)位于該平原區(qū)某河流右岸的一級階地,地下水類型為第四系全新統(tǒng)沖洪積層砂卵礫石孔隙潛水,根據(jù)鉆探及模擬區(qū)原位水文地質(zhì)試驗成果,含水層厚度約為25 m,滲透系數(shù)介于31.34～138.96 m/d,東側(cè)為當(dāng)?shù)刈畹颓治g基準(zhǔn)面,地下水由西北向東南徑流.區(qū)內(nèi)1995年起運(yùn)營生活垃圾填埋場,2010年停止堆填并采取封場措施,至今原始地形地貌已然發(fā)生改變,根據(jù)收集的原始地形資料及現(xiàn)有堆填區(qū)實測地形數(shù)據(jù)分析,堆填區(qū)經(jīng)過削坡、整形等封場措施后仍高于原始地形約9 m.地表高程及坡降等因素的改變將對地下水補(bǔ)給條件產(chǎn)生影響,本文將依據(jù)上述差異構(gòu)建2組不同概念的模型.

2.2 多模型構(gòu)建

根據(jù)原始地形資料及實測的地形數(shù)據(jù),構(gòu)建2組地形存在差異,其余水文地質(zhì)條件相同的概念模型,1#模型考慮堆填體對原始地形的改變,2#模型為原始地形(圖1).依靠先驗信息即原位水文地質(zhì)試驗獲取的滲透系數(shù)數(shù)據(jù),生成滲透系數(shù)對數(shù)的初始平均值及初始方差,依次按AM-MCMC采樣方法生成每組樣本.每組樣本中包含對應(yīng)網(wǎng)格數(shù)的滲透系數(shù)對數(shù)值,將每組對數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化并輸入1#模型進(jìn)行模擬計算.根據(jù)接受條件篩選100組(每組含2 250個數(shù)據(jù))參數(shù)并獲取相應(yīng)輸出數(shù)據(jù);將篩選好的100組參數(shù)輸入2#模型,對應(yīng)獲取相應(yīng)輸出數(shù)據(jù);最后依據(jù)AICc準(zhǔn)則進(jìn)行多模型分析.

2.2.1模型概化及邊界條件設(shè)置

根據(jù)水文地質(zhì)條件及鉆孔信息構(gòu)建的2組概念模型范圍均為X(1 000 m)×Y(900 m)(X為南北向,Y為東西向),網(wǎng)格為10 m×10 m,含水層厚度約為25 m,東側(cè)邊界為當(dāng)?shù)刈畹颓治g基準(zhǔn)面,設(shè)置為河流邊界,西側(cè)及北側(cè)設(shè)置為定水頭邊界,同時,模擬區(qū)內(nèi)設(shè)置14個水位觀測孔.以原始地形數(shù)據(jù)及堆填后實測地形數(shù)據(jù)分別輸入模型來刻畫2組模型中地形地貌差異(圖1).

(a) 1#模型

(b) 2#模型圖1 根據(jù)不同地形地貌條件概化的2組模型Fig.1 Groups hydrogeological conceptual model

2.2.2AM-MCMC采樣

滲透系數(shù)為待估參數(shù),視為隨機(jī)變量.按前述接受條件調(diào)整后的A-M算法進(jìn)行采樣.先驗信息是參數(shù)隨機(jī)采樣的基礎(chǔ),其來源的可靠性將決定采樣的合理性.

研究區(qū)主要地下水類型為松散堆積孔隙潛水,主要由:山前扇狀沖洪積砂礫卵石層孔隙潛水,河道漫灘、一級階地沖洪積砂卵礫石層孔隙潛水,河間二級階地冰-水堆積泥質(zhì)砂礫卵石層孔隙潛水構(gòu)成,3類孔隙潛水分布于平原壩區(qū),相互疊置,介質(zhì)類型相似,其間無明顯的隔水層,地下水有著密切的水力聯(lián)系,構(gòu)成了研究區(qū)上部潛水含水層組.

因此,本次先驗信息由模擬區(qū)周邊上述3類含水介質(zhì)的原位水文地質(zhì)試驗數(shù)據(jù)構(gòu)成[24-26],其中包括129個鉆孔的174組抽水試驗數(shù)據(jù)(圖2)及模擬區(qū)5個鉆孔的14組數(shù)據(jù).經(jīng)統(tǒng)計,先驗信息參數(shù)對數(shù)取值范圍為1.369～5.583,初始參數(shù)樣本服從均值3.407,協(xié)方差C0為0.713的正態(tài)分布.依次通過A-M算法采集參數(shù)樣本,耦合地下水?dāng)?shù)值模擬軟件Modflow輸出模擬結(jié)果進(jìn)行不確定性分析.

2.3 地下水流場模擬不確定性分析

文中A-M算法中的接受條件由似然函數(shù)求解的后驗概率修正為更直接的殘差平方的接受值域范圍.基于此接受條件的修改,首先需檢驗條件改變后參數(shù)取值的遍歷性及收斂性.

注:Q4al+pl為第四系全新統(tǒng)河道漫灘、一級階地沖洪積砂卵礫石層孔隙潛水;Q4alp為第四系全新統(tǒng)山前扇狀沖洪積砂卵礫石層孔隙潛水;Q3fgl+al為第四系上更新統(tǒng)河間二級階地冰-水堆積泥質(zhì)砂卵礫石層孔隙潛水;Q1+2fgl+al為第四系中、下更新統(tǒng)泥卵礫石孔隙潛水.圖2 研究區(qū)同類含水介質(zhì)水文地質(zhì)試驗孔分布Fig.2 Distribution of boreholes at similar aquifers

2.3.1參數(shù)取值遍歷性分析

采用A-M算法對參數(shù)樣本進(jìn)行采樣,根據(jù)接受條件共篩選100組參數(shù),每組含2 250個樣本值.圖3(a)、(b)為參數(shù)在采樣過程中均值與方差的迭代跡線.當(dāng)取樣20組(樣本個數(shù)達(dá)到45 000個以上)時,參數(shù)的均值和方差趨于平穩(wěn).圖3(c)、(d)分別為45 000個參數(shù)樣本的采樣過程中樣本值遍歷參數(shù)的可能取值范圍,通過自適應(yīng)更新,樣本值取樣波動逐步減弱,采樣過程基本穩(wěn)定.綜合考慮均值、方差迭代跡線和樣本采樣過程,調(diào)整接受條件后的A-M采樣方法并沒有對參數(shù)后驗分布的遍歷性及收斂性產(chǎn)生影響,更直接的接受條件可修正樣本取樣空間,提高樣本采集效率.

2.3.2多模型分析

多模型的構(gòu)建旨在分析參數(shù)不確定性與模型不確定性對模擬結(jié)果的影響.在剔除不符合接受條件的模型后,2組不同的概念模型分別在其中選取100個計算模型.并依據(jù)AICc準(zhǔn)則多模型分析方法計算得到各模型的AICc值、Delta值及模型的后驗概率ωi.

運(yùn)用AICc準(zhǔn)則分析參數(shù)不確定性對模擬預(yù)測結(jié)果的影響時,Burnham和Anderson建議如果模型的后驗概率超過0.9時,可視其為最佳模型用于預(yù)測.而在地下水模擬不確定性研究中,是不易輸出如此高概率模型從而獲取單個的最優(yōu)解,輸出的是一系列擬合程度相近的模型,即分析所得的是參數(shù)樣本的最優(yōu)取值區(qū)間而非唯一解.多模型分析方法可通過對預(yù)測平均值或預(yù)測值置信區(qū)間的分析來反映預(yù)測值的范圍及其與參數(shù)的不確定性關(guān)系.運(yùn)用AICc分析認(rèn)為Delta值小于2的模型是較好的模型,Delta值介于4～7的模型為經(jīng)驗推薦模型,而Delta值大于10的模型可以舍去[17].甄選1#模型中Delta值小于10的計算模型,對輸出觀測孔地下水位序列值進(jìn)行統(tǒng)計分析,可計算各觀測孔的眾數(shù)和置信區(qū)間.觀測孔水位眾數(shù)、95%置信區(qū)間和實際觀測值的序列如圖4表示,再進(jìn)一步剔除Delta值大于10的模型后,剩余計算模型的水位眾數(shù)與觀測值幾乎重合.

(a) 參數(shù)對數(shù)均值(b) 方差(c) 隨機(jī)樣本(d) 相對頻率圖3 采樣過程Fig.3 Sampling process

根據(jù)1#模型與2#模型的輸出結(jié)果排序,排名前三的參數(shù)樣本相同,排名前十的計算模型中有6組相同,表明在本文設(shè)定的不確定性條件下,較之概念模型的不確定性,參數(shù)的不確定性的敏感性更高,對模型輸出結(jié)果的精度更具控制性.雖地下水流場模擬過程中不僅會出現(xiàn)“異參同效”,甚至存在“異參、異構(gòu)同效”,但仍能從高精度模型出現(xiàn)頻次及最優(yōu)解區(qū)間區(qū)間范圍等方面分析,考慮地形實際變化的1#模型優(yōu)于2#,反映模型的不確定性仍對模擬結(jié)果有著明顯的影響.根據(jù)輸出結(jié)果統(tǒng)計分析:(1) 高精度模型出現(xiàn)頻次的不同,1#、2#概念模型分別有65%、46%方差值介于1～2之間;(2) 最優(yōu)解區(qū)間取值范圍及概率的不同,剔除Delta值大于10的計算模型后,1#模型中僅保留前10個模型,累計后驗概率為0.996;2#模型保留前21個模型,而其前10個模型的累計后驗概率僅為 0.884(圖5).

圖4 1#模型計算模型地下水位眾數(shù)、95%置信區(qū)間(陰影區(qū)域)與觀測值Fig.4 95% confidence intervals (shadow areas), observations and mean values

圖5 不同精度模型比例Fig.5 Comparative precision of the different models

3 結(jié) 論

地下水模擬不確定性與模型的輸入?yún)?shù)、模型結(jié)構(gòu)等因素有關(guān).研究表明:

(1) 由于影響因素間的相互補(bǔ)償致使模型的輸出存在“異參同效”甚至“異參、異構(gòu)同效”,因此,綜合考慮參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)因素而獲取的取值區(qū)間應(yīng)是更合理的.

(2) 在充實的先驗數(shù)據(jù)及參數(shù)分布特征既定的條件下,將A-M采樣算法中的接受條件調(diào)整為模型輸出值與實際值方差的接受值域,不會對參數(shù)樣本的遍歷性及收斂性產(chǎn)生影響.

(3) 文中構(gòu)建的多模型分析方法可識別不同影響因素的敏感性,經(jīng)過參數(shù)樣本接受條件及基于AICc準(zhǔn)則的多模型分析的雙重篩選,能較為高效及準(zhǔn)確地獲得參數(shù)最優(yōu)區(qū)間,同時,亦可完成較優(yōu)概念模型的甄選識別.

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