不確定陀螺儀混沌系統(tǒng)的H∞滑?？刂?/h1>
2018-06-01 00:57:48張秀蘭
泰山學(xué)院學(xué)報 2018年3期
李 媛，張秀蘭
(1.山西傳媒學(xué)院 傳媒工程系，山西 晉中 030619；2.淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院，安徽 淮南 232038)
過去的幾十年中，由于在太空航空、航海航行以及光電科學(xué)中有很多應(yīng)用，陀螺儀系統(tǒng)的控制問題引起了很多學(xué)者的關(guān)注[1-2]. 同時, 陀螺儀系統(tǒng)也展現(xiàn)出了豐富的動態(tài)性質(zhì)，如極限環(huán)和混沌等.這些性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)對陀螺儀的實際應(yīng)用也起到很好的促進(jìn)作用.帶有線性或者非線性阻尼的不同類型的陀螺儀系統(tǒng)的控制問題現(xiàn)在已經(jīng)成為一個熱門的研究方向.相關(guān)的研究成果主要可以分為如下三類：陀螺儀動力學(xué)及分線性分析[3-4], 混沌及其控制[2]以及同步[1, 5, 6].眾所周知，H∞控制具有很好的控制效果和應(yīng)用價值.目前，很少有文獻(xiàn)研究陀螺儀系統(tǒng)的H∞控制問題.
滑?？刂圃谔幚聿淮_定非線性系統(tǒng)的控制問題中有著廣泛的應(yīng)用.這種控制方法具有很好的魯棒性以及控制效率[7-8].這種控制方法最重要的是實際合適的滑模面.滑模面的設(shè)計對最后的控制效果起到關(guān)鍵作用.滑?？刂茟?yīng)用范圍廣泛，在陀螺儀系統(tǒng)的控制中也有一些具體應(yīng)用[1,4,5].同時,H∞控制具有一些較好的控制特點.這些特點與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，對控制系統(tǒng)的魯棒性及控制效果的提升有一定的幫助[9-10].這也是本文研究的出發(fā)點.本文主要考慮對含有未知外界擾動的陀螺儀混沌系統(tǒng)設(shè)計滑?？刂婆cH∞控制相結(jié)合的綜合控制器.該控制器可以結(jié)合滑?？刂坪虷∞控制的優(yōu)點，提升整體的控制效果和系統(tǒng)的魯棒性.
1 問題的描述與預(yù)備知識
本文考慮的對稱陀螺儀的幾何圖形如圖1所示.在線性阻尼的影響下，角度θ的動態(tài)方程可以描述為[2]:
(1)
圖1 對稱陀螺儀工作示意圖
(2)
其中d(t)為未知的外界擾動，u(t)為控制輸入.
當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選為f=35，α=10，β=1，c1=0.5，c3=0.05，ω=2時，系統(tǒng)(1)或其等價形式(2)具有混沌吸引子.設(shè)系統(tǒng)初值為x1(0)=1.6，x2(0)=0.其混沌示意圖見圖2.
圖2 陀螺儀系統(tǒng)混沌吸引子
(3)
本文假設(shè)系統(tǒng)輸出滿足如下的形式：
y(t)=Cx(t)+Dd(t)
(4)
其中C和D為適當(dāng)維數(shù)的矩陣.
本文的主要目的是設(shè)計適當(dāng)?shù)幕∞控制器, 使得陀螺儀混沌系統(tǒng)(3)的狀態(tài)向量滿足如下條件：
(i) 在0初值的條件下，在滑模面上，閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的.存在大于零的常數(shù)r滿足如下的H∞控制條件：
‖y(t)‖≤r‖d(t)‖
(5)
(ii) 設(shè)計合適的控制器，使系統(tǒng)狀態(tài)向量在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，并在此時間以后停留在滑模面上.
為了完成控制目標(biāo)和便于控制器的設(shè)計，我們給出如下假設(shè)：
假設(shè)1H∞性質(zhì)參數(shù)r滿足
DTD≤r2I.
(6)
假設(shè)2[10]系統(tǒng)未知的外界擾動d(t)滿足d(t)∈L2[0+∞)，即存在大于零0的常數(shù)Md使得
(7)
注需要指出的是假設(shè)1和2是合理的.對于假設(shè)1，本文要求未知矩陣D滿足條件DTD≤r2I.事實上，很多未知的外界不確定項都滿足此條件.常用的函數(shù)如sin(x(t))，cos(x(t))等都滿足此條件.對于陀螺儀的系統(tǒng)模型是在理想情況下得到，對其實際工作狀態(tài)我們增加考慮系統(tǒng)不確定項，這也是為了說明本文控制方法有較好的魯棒性.對于假設(shè)2，我們假設(shè)外界擾動的能力是逐步衰減的，這是符合實際情況的.這個條件也是H∞控制實施的必要條件.
2 控制器的設(shè)計及穩(wěn)定性分析
可以構(gòu)造如下的滑模面：
(8)
其中G∈R1×2為常數(shù)矩陣且GB非奇異;K∈R1×2為滿足一定條件的待選矩陣.于是可得系統(tǒng)等效控制器為
ueq=Kx-(GB)-1G[f(x)+d(t)]
(9)
等效控制器(9)可以使系統(tǒng)狀態(tài)的動態(tài)方程滿足
(10)
其中F=[I-B(GB)-1G].
于是可以給出本文的主要結(jié)果.
定理1 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 如果外界擾動d(t)=0, 對于給定的r，μ>0，如果存在正定矩陣P和實矩陣K滿足
(11)
其中
∧=PA+ATP+PBK+KTBTP
(12)
則滑模面動態(tài)方程(10)為漸近穩(wěn)定的.
證明由于d(t)=0, (10)式可以改寫為
(13)
定義Lyapunov函數(shù)為
V1=xTPx.
(14)
于是
(15)
注意到如果選取μ足夠大，可以使
μ2xTx≥fT(x)f(x).
(16)
進(jìn)一步，有
(17)
其中α=[xT，fT(x)]T.
定理2 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 對給定的r,μ>0, 如果存在一正定矩陣P和一實矩陣K滿足
(18)
則可以保證控制系統(tǒng)的H∞性能.
證明設(shè)Lyapunov函數(shù)為(14).在考慮外界擾動的情況下有
(19)
定義β(t)=[xT，fT(x)，dT(t)]T, (19) 可以改寫為
(20)
其中
再根據(jù)(18)可知
(21)
對(21)式兩邊取積分可得
(22)
于是可以保證系統(tǒng)的H∞性能.證畢.
注根據(jù)Schur補(bǔ)定理, (11) 和 (18)可以寫為
(23)
根據(jù)上面的討論，我們可以構(gòu)造如下的控制器：
(24)
其中
η(x)=μ‖GF‖‖x‖+‖GF‖‖d(t)‖+δ
(25)
這里δ>0為設(shè)計參數(shù).
定理3 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 如果滑模面設(shè)計為(8),K為LMI(23)的解, 控制器設(shè)計為(24) 和(25), 于是可以保證滑模面s(t)=0的可達(dá)性.
證明定義Lyapunov函數(shù)為
(26)
根據(jù)(8), (10), (24) 和(25)有
(27)
于是有
(28)
根據(jù)(28) 可知s(t)=0為可達(dá)的.證畢.
3 仿真研究
設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為r=0.1，μ=0.5，δ=0.2.矩陣G為G=[1，1，2]T.于是根據(jù)(23), 可得K=
[-0.5474，0.1673，2.1456]T.外界擾動為
(29)
仿真結(jié)果見圖3-5.從仿真結(jié)果看，被控對象x1和x2兩個狀態(tài)向量趨向原點，控制效果較好，得到了系統(tǒng)的H∞性能.
圖3 控制輸入
圖4 狀態(tài)向量x1控制效果
圖5 狀態(tài)向量x2控制效果
[1]Pechev A N. Feedback-based steering law for control moment gyros[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2015,30(3):848-855.
[2]Zarei M, Vali A, Behnamgol V. Sliding mode control with self-tuning law for synchonization of two uncertain chaotic gyros[C].International Conference on Control, Instrumentation, and Automation. Qazvin Iran：IEEE，2016.
[3]Kim Y W,Yoo H H. Design of a vibrating MEMS gyroscope considering design variable uncertainties[J].Journal of Mechanical Science and Technology, 2010, 24(11): 2175-2180.
[4]Tsai N, Wu B. Nonlinear dynamics and control for single-axis gyroscope systems[J].Nonlinear Dynamics,2008(51): 355-364.
[5]Zheng S, Li H, Han B, Yang J. Power consumption reduction for magnetic bearing systems during torque output of control moment gyros[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2017,32(7): 5752-5759.
[6]Yau H T. Chaos synchronization of two uncertain chaotic nonlinear gyros using fuzzy sliding mode control[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2008(22): 408-418.
[7]Dong Q, Zong Q, Tian B, Wang F. Adaptive‐gain multivariable super‐twisting sliding mode control for reentry RLV with torque perturbation[J].International Journal of Robust & Nonlinear Control, 2017, 27(4), in press.
[8]Zhang B, Ma L, Han Q. Sliding modeH∞control for offshore steel jacket platforms subject to nonlinear self-excited wave force and external disturbance[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2013,14(1): 163-178.
[9]Luo Y, Wang Z, Liang J, Alsaadi F E.H∞Control for 2-D fuzzy systems with interval time-varying eelays and missing measurements [J].IEEE Transactions on Cybernetics,2016,47(2): 365-377.
[10]Cheng J, Park J H, Wang H. Event-triggered H∞control for T-S fuzzy nonlinear systems and its application to truck-trailer system [J].ISA Transactions, 2016(65): 62-71.
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(1)
圖1 對稱陀螺儀工作示意圖
(2)
其中d(t)為未知的外界擾動，u(t)為控制輸入.
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(3)
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(4)
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(5)
(ii) 設(shè)計合適的控制器，使系統(tǒng)狀態(tài)向量在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，并在此時間以后停留在滑模面上.
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假設(shè)1H∞性質(zhì)參數(shù)r滿足
DTD≤r2I.
(6)
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注需要指出的是假設(shè)1和2是合理的.對于假設(shè)1，本文要求未知矩陣D滿足條件DTD≤r2I.事實上，很多未知的外界不確定項都滿足此條件.常用的函數(shù)如sin(x(t))，cos(x(t))等都滿足此條件.對于陀螺儀的系統(tǒng)模型是在理想情況下得到，對其實際工作狀態(tài)我們增加考慮系統(tǒng)不確定項，這也是為了說明本文控制方法有較好的魯棒性.對于假設(shè)2，我們假設(shè)外界擾動的能力是逐步衰減的，這是符合實際情況的.這個條件也是H∞控制實施的必要條件.
2 控制器的設(shè)計及穩(wěn)定性分析
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(9)
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(10)
其中F=[I-B(GB)-1G].
于是可以給出本文的主要結(jié)果.
定理1 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 如果外界擾動d(t)=0, 對于給定的r，μ>0，如果存在正定矩陣P和實矩陣K滿足
(11)
其中
∧=PA+ATP+PBK+KTBTP
(12)
則滑模面動態(tài)方程(10)為漸近穩(wěn)定的.
證明由于d(t)=0, (10)式可以改寫為
(13)
定義Lyapunov函數(shù)為
V1=xTPx.
(14)
于是
(15)
注意到如果選取μ足夠大，可以使
μ2xTx≥fT(x)f(x).
(16)
進(jìn)一步，有
(17)
其中α=[xT，fT(x)]T.
定理2 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 對給定的r,μ>0, 如果存在一正定矩陣P和一實矩陣K滿足
(18)
則可以保證控制系統(tǒng)的H∞性能.
證明設(shè)Lyapunov函數(shù)為(14).在考慮外界擾動的情況下有
(19)
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(20)
其中
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(21)
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注根據(jù)Schur補(bǔ)定理, (11) 和 (18)可以寫為
(23)
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(24)
其中
η(x)=μ‖GF‖‖x‖+‖GF‖‖d(t)‖+δ
(25)
這里δ>0為設(shè)計參數(shù).
定理3 在滿足假設(shè)1和2的條件下, 如果滑模面設(shè)計為(8),K為LMI(23)的解, 控制器設(shè)計為(24) 和(25), 于是可以保證滑模面s(t)=0的可達(dá)性.
證明定義Lyapunov函數(shù)為
(26)
根據(jù)(8), (10), (24) 和(25)有
(27)
于是有
(28)
根據(jù)(28) 可知s(t)=0為可達(dá)的.證畢.
3 仿真研究
設(shè)系統(tǒng)參數(shù)為r=0.1，μ=0.5，δ=0.2.矩陣G為G=[1，1，2]T.于是根據(jù)(23), 可得K=
[-0.5474，0.1673，2.1456]T.外界擾動為
(29)
仿真結(jié)果見圖3-5.從仿真結(jié)果看，被控對象x1和x2兩個狀態(tài)向量趨向原點，控制效果較好，得到了系統(tǒng)的H∞性能.
圖3 控制輸入
圖4 狀態(tài)向量x1控制效果
圖5 狀態(tài)向量x2控制效果
[1]Pechev A N. Feedback-based steering law for control moment gyros[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2015,30(3):848-855.
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[4]Tsai N, Wu B. Nonlinear dynamics and control for single-axis gyroscope systems[J].Nonlinear Dynamics,2008(51): 355-364.
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[6]Yau H T. Chaos synchronization of two uncertain chaotic nonlinear gyros using fuzzy sliding mode control[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2008(22): 408-418.
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