斜齒輪齒面接觸線計(jì)算及齒根彎曲強(qiáng)度有限元分析

孫智金，喬穎敏

（陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，陜西 西安 710119）

引言

齒輪傳動(dòng)過程中同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)在不斷變化，在輪齒交替嚙合時(shí)，輪齒彈性變形引起的剛度改變使齒輪產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲。而齒輪的嚙合剛度也是隨著齒輪嚙合而變化，齒輪接觸載荷線的位置和長度的改變直接影響齒輪的嚙合剛度，進(jìn)而對(duì)輪齒的接觸強(qiáng)度產(chǎn)生影響。

接觸線的位置隨著齒輪的重合度而變化，馮守衛(wèi)等人改進(jìn)了斜齒輪接觸線長度的計(jì)算公式，并總結(jié)了接觸線長度隨εα和εβ的變化規(guī)律及嚙合過程的動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。張國鋒對(duì)直齒輪的接觸分析及嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算，并采用有限元法建立直齒輪副接觸模型進(jìn)行防治分析，計(jì)算了齒輪副接觸應(yīng)力，但沒有研究接觸線對(duì)齒輪彎曲應(yīng)力的影響。張亮等人對(duì)斜齒輪嚙合線位置及長度進(jìn)行了數(shù)值仿真，計(jì)算了嚙合線長度總和，并討論了螺旋角對(duì)斜齒輪的嚙合線長度總和的影響。

基于國內(nèi)學(xué)者們目前對(duì)斜齒輪嚙合線的分析，本文將另辟蹊徑，利用有限元仿真方法和ISO 6336齒輪標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)驗(yàn)公式兩種方法對(duì)斜齒輪齒根彎曲強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算，兩種計(jì)算方法互相驗(yàn)證，能夠得到更令人信服的齒根彎曲應(yīng)力值，給齒輪的斷齒分析和齒輪強(qiáng)度分析提供有力的理論依據(jù)。

1 斜齒輪嚙合線計(jì)算

1.1 齒輪參數(shù)及重合度計(jì)算

根據(jù)端面嚙合線的幾何關(guān)系，記R0為齒頂圓半徑，Rb為基圓半徑，Cr為中心距，可以得到如下關(guān)系式：

pb為徑節(jié)，其值為：

n1為小齒輪齒數(shù)。

則齒輪副的端面重合度為：

軸向重合度為：

其中：齒寬b為50.7mm，螺旋角為25度，法向模數(shù)3.86.

則齒輪嚙合總重合度為3.4437。

根據(jù)嚙合總重合度，可以得知齒輪嚙合過程中嚙合線的變化情況，齒輪嚙合總重合度介于3和4之間，則在一個(gè)輪齒嚙合周期內(nèi)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)有3齒和4齒兩種情況。

圖1 端面嚙合線

1.2 主動(dòng)輪齒面載荷線

對(duì)于主動(dòng)輪，嚙合線從齒根向齒頂方向移動(dòng)，對(duì)于被動(dòng)輪，則嚙合線從齒頂向齒根方向移動(dòng)。

根據(jù)公式

可以得出。

可以得出

從而可以畫出齒輪的載荷線如下圖所示。

對(duì)主動(dòng)輪單個(gè)齒面的嚙合線進(jìn)行分析，從左下角M處進(jìn)入嚙合，隨著齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合線逐漸往右上方移動(dòng)，處于 4齒同時(shí)嚙合狀態(tài)，當(dāng)嚙合線移動(dòng)到a線處，由4齒嚙合進(jìn)入3齒嚙合，然后4齒，3齒，4齒，3齒，最后接近齒頂位置時(shí)是4齒嚙合狀態(tài)，然后從N點(diǎn)退出嚙合。

從整體來看，從4齒進(jìn)入3齒嚙合狀態(tài)的分界線為a,c,e，從3齒進(jìn)入4齒嚙合狀態(tài)的分界線是b,d,f。

為了校核齒輪強(qiáng)度，選擇齒輪嚙合最惡劣的工況，齒輪載荷線臂長越長，則齒根處承受的彎矩越大，應(yīng)力也越大。因此選擇齒輪嚙合退出3齒即將進(jìn)入4齒嚙合的時(shí)刻，即嚙合載荷線為b,d,f。最先進(jìn)入嚙合的齒面載荷線位于f處，中間齒面的載荷線位于d處，第3齒面的載荷線位于b處。

圖2 主動(dòng)輪嚙合區(qū)載荷線

根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出各載荷線的位置,各載荷線與齒輪軸線的夾角為βb。

b線：

齒面前端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

d線：

齒面后端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

f線：

齒面后端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

1.3 被動(dòng)輪齒面載荷線

對(duì)被動(dòng)輪單個(gè)齒面的嚙合線進(jìn)行分析，從左上角N處進(jìn)入嚙合，隨著齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合線逐漸往右下方移動(dòng)，處于 4齒同時(shí)嚙合狀態(tài)，當(dāng)嚙合線移動(dòng)到f線處，由4齒嚙合進(jìn)入3齒嚙合，然后4齒，3齒，4齒，3齒，最后接近齒根位置時(shí)是4齒嚙合狀態(tài)，然后從齒根M點(diǎn)退出嚙合。

從整體來看，從4齒進(jìn)入3齒嚙合 狀態(tài)的分界線為f,d,b，從3齒進(jìn)入4齒嚙合狀態(tài)的分界線是e,c,a。

圖3 被動(dòng)輪嚙合區(qū)載荷線

為了校核齒輪強(qiáng)度，選擇齒輪嚙合最惡劣的工況，齒輪載荷線臂長越長，則齒根處承受的彎矩越大，應(yīng)力也越大。因此選擇齒輪嚙合退出4齒剛剛進(jìn)入3齒嚙合的時(shí)刻，即嚙合載荷線為f,d,b。最先進(jìn)入嚙合的齒面載荷線位于b處，中間齒面的載荷線位于d處，第3齒面的載荷線位于f處。

b線：

齒面后端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

d線：

齒面前端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

f線：

齒面前端面與載荷線交點(diǎn)處半徑為：

齒寬位置：

2 有限元分析

2.1 有限元模型

齒輪所用材料抗拉強(qiáng)度為 766MPa，使用第四強(qiáng)度理論的MISES應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。

使用ANSA進(jìn)行有限元前處理，完成網(wǎng)格模型和分析模型的建立。通過 ABAQUS求解進(jìn)行分析計(jì)算和后處理，計(jì)算中物理量采用T-mm-s單位制。

對(duì)齒輪的嚙合力進(jìn)行計(jì)算。變速器額定輸入扭矩為2400Nm，采用三倍靜扭扭矩，則一軸分速齒輪扭矩為：

從而可以計(jì)算出齒輪嚙合力（分度圓處）：

主動(dòng)輪有限元模型：

1）將齒輪花鍵表面約束所有自由度，以消除剛體位移。

2）將齒輪內(nèi)孔耦合于中心處，保留軸向扭轉(zhuǎn)自由度，約束其他自由度。

3）將齒面載荷線處施加齒輪嚙合力，以模擬被動(dòng)輪對(duì)其齒面的嚙合力。

被動(dòng)輪有限元模型：

1）將齒輪內(nèi)孔耦合于中心處，約束其所有自由度以消除剛體位移。

2）將齒面載荷線處施加齒輪嚙合力，以模擬主動(dòng)輪對(duì)其齒面的嚙合力。

有限元模型如下圖所示：

圖4 齒輪有限元模型

完成有限元模型后，提交ABAQUS進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)有限元分析結(jié)果，主動(dòng)輪齒根處最大應(yīng)力出現(xiàn)在中間嚙合齒面的齒根處，最大應(yīng)力值 650MPa。被動(dòng)輪齒根最大應(yīng)力出現(xiàn)在中間嚙合齒面的齒根處，最大應(yīng)力 560MPa，均低于材料抗拉強(qiáng)度766MPa，安全系數(shù)分別為1.18和1.37。

圖5 主動(dòng)輪及被動(dòng)輪齒根應(yīng)力云圖

2.2 計(jì)算結(jié)果分析

齒根受脈沖循環(huán)載荷，為彎曲變形，根據(jù)ISO 6336標(biāo)準(zhǔn)，

齒根彎曲應(yīng)力基本值計(jì)算公式為：

其中，F(xiàn)t：端面內(nèi)分度圓上的名義切向力，N；b：工作齒寬，mm；

mn：法向模數(shù)，mm；

YF：齒形系數(shù)，由式確定；

YS：應(yīng)力修正系數(shù)，由確定；

Yβ：螺旋角系數(shù)。

YB：齒圈厚度系數(shù)；

YDT：深齒系數(shù)，對(duì)于齒輪精度大于4的齒輪，此系數(shù)為1。

上面公式未考慮齒輪副重合度的影響，引入重合度系數(shù)。

則本文中所計(jì)算的齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的計(jì)算式為：

將具體數(shù)值帶入公式可得到主動(dòng)輪的齒根應(yīng)力計(jì)算值為：

被動(dòng)輪的齒根應(yīng)力計(jì)算值為：

與前面有限元計(jì)算結(jié)果相比，主動(dòng)輪的有限元計(jì)算齒根應(yīng)力最大值為 650MPa，與根據(jù)公式計(jì)算出的 640MPa誤差為1.56%。被動(dòng)輪的有限元計(jì)算齒根應(yīng)力最大值為560MPa，與根據(jù)公式計(jì)算出的558MPa誤差為0.36%。

3 結(jié)論

本文主要探討斜齒輪齒面接觸線的復(fù)雜情況，以某型號(hào)變速器的某對(duì)齒輪為例，計(jì)算了該齒輪副一個(gè)輪齒嚙合周期內(nèi)的接觸線分布情況，該齒輪副重合度介于3和4之間，因此在一個(gè)嚙合周期內(nèi)同時(shí)參與嚙合輪齒有3齒和4齒兩種情況。

為了計(jì)算出有限元仿真分析時(shí)齒面加載線的位置，將斜齒輪嚙合接觸線發(fā)生面上的接觸線向齒面投影，得到最惡劣嚙合時(shí)刻時(shí)接觸線在齒面上的位置，然后進(jìn)行了有限元分析。同時(shí)用 ISO 6336齒輪標(biāo)準(zhǔn)中齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算了主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的齒根彎曲應(yīng)力。兩種方法得到的齒根彎曲應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)數(shù)值基本接近，驗(yàn)證了本文計(jì)算的正確性，為以后進(jìn)行斜齒輪接觸線的分布對(duì)齒輪副嚙合剛度的影響及傳動(dòng)平穩(wěn)性分析提供了有力的理論支持。

[1] 馮守衛(wèi),張申林等.齒輪接觸線長度和重合度系數(shù)[J],長安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,24(3)：101-103.

[2] 張國鋒.直齒輪副接觸分析及嚙合剛度計(jì)算[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2014,28(11)：44-56.

[3] 張亮,李欣.斜齒輪嚙合線位置及長度的數(shù)值仿真[J].現(xiàn)代制造工程(Modem Manufacturing Engineerging),2015,11：71-143.

[4] AGMA 908-B89 Geometry Factors for Determining the Pitting Resis-tance and Bending Strength of Spur, Helical and Herringbone Gear Teeth.

[5] 莊茁.ABAQUS非線性有限元分析與實(shí)例.科學(xué)出版社,2005.

[6] BS ISO 6336-3：2006 Calculation of load capacity of spur and helical gears-Part 3：Calculation of tooth bending strength.

[7] 鄧楊,魏金營.簡明機(jī)械傳動(dòng)實(shí)用技術(shù).湖南科學(xué)技術(shù)出版社, 2013.6.