多輸入多輸出隨機振動試驗雅克比控制算法

張步云 陳懷海 汪若塵 曾發(fā)林

摘要： 研究了多輸入多輸出（MIMO，Multiple Input Multiple Output）隨機振動試驗閉環(huán)控制系統(tǒng)中不同元素超標(biāo)現(xiàn)象，通過分析多輸入多輸出線性時不變振動系統(tǒng)輸入與輸出的頻域關(guān)系，將多路信號的功率譜矩陣分解為自功率譜、相干系數(shù)和相位差等元素，推導(dǎo)出能表示輸入輸出元素微分關(guān)系的雅克比控制矩陣，提出了一種全新的MIMO隨機振動試驗雅克比控制算法。該算法對功率譜矩陣中元素超標(biāo)現(xiàn)象進(jìn)行有針對性地控制，其控制收斂速度快、精度高。在多軸振動臺上進(jìn)行兩輸入兩輸出振動控制實驗，分別設(shè)定參考譜的各元素，設(shè)置容差帶，然后進(jìn)行頻響函數(shù)估計，利用新算法對X軸和Y軸的振動進(jìn)行控制，結(jié)果表明利用雅克比控制算法可將自譜、相干系數(shù)與相位等均控制在工程標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，控制效果良好。關(guān)鍵詞： 隨機振動； 功率譜密度； 雅克比矩陣； 振動控制； 環(huán)境試驗

中圖分類號：O324； TN911.72文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 10044523（2017）04054907

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.004

引言

MIMO隨機振動環(huán)境試驗作為耐久性和可靠性的最佳試驗方法，已被人們廣泛應(yīng)用在產(chǎn)品設(shè)計階段與生產(chǎn)階段，具有重要的工程應(yīng)用價值。試驗以多點功率譜作為控制目標(biāo)，在識別系統(tǒng)的振動特性（頻響函數(shù)）基礎(chǔ)上，通過不斷修正激勵信號使得實際響應(yīng)譜滿足目標(biāo)譜的容差要求[1]。作為MIMO隨機振動環(huán)境試驗的核心，具有快速收斂且精度高的控制算法一直是該領(lǐng)域研究的前沿與熱點，國內(nèi)外研究者們在此問題上做出了巨大的努力。

在國外，Smallwood研究團隊[27]在考慮控制點完全耦合的情況下進(jìn)行了四振動臺的隨機環(huán)境試驗，提出了差分閉環(huán)反饋控制算法，該算法的提出完善了MIMO隨機振動系統(tǒng)的理論體系。但該方法在修正的過程中容易使對角元變成負(fù)值，從而導(dǎo)致控制系統(tǒng)發(fā)散。Underwood課題小組[812]也對MIMO振動試驗系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究，討論了控制點數(shù)目與激勵點數(shù)目不等的情況下多臺控制問題。國內(nèi)方面，吳家駒[13]提出了多臺并激隨機振動試驗的微機控制算法，但該算法并未應(yīng)用于閉環(huán)控制系統(tǒng)。韓軍[14]針對多點隨機振動控制中補償矩陣的計算，提出了一種遺傳算法的優(yōu)化方法，解決了大范圍極值求解與非線性的問題。賀旭東[15]提出了比例均方根控制算法，并提出采用最優(yōu)條件數(shù)選取主控矩陣的方法解決多點加權(quán)綜合控制的問題。雖然取得了良好的控制精度，但該算法并未考慮互譜矩陣，這在應(yīng)用中有一定的局限性。崔旭利[16]指出控制點之間的耦合是控制譜線超標(biāo)的主要因素之一，針對此問題提出了交叉比例控制算法。后又在新坐標(biāo)的體系下提出了PID（比例積分微分）控制算法[17]，能減小功率譜與參考譜之間的相對誤差，提高控制精度。在這些傳統(tǒng)的控制方法之外，不少研究者開始瞄準(zhǔn)現(xiàn)代控制理論，將其應(yīng)用到MIMO隨機振動控制中。田玉虎[18]將H∞控制理論引入到雙振動臺解耦控制中，克服了傳統(tǒng)系統(tǒng)的魯棒性較差的缺點。游偉倩[19]基于H∞范數(shù)的計算方法，提出了一種新的優(yōu)化算法，并通過仿真驗證了算法的正確性。這些已經(jīng)發(fā)表或已應(yīng)用的算法大多是針對目標(biāo)頻帶的超標(biāo)譜線進(jìn)行整個頻帶的信號修正，且有些控制算法不考慮多點控制中目標(biāo)譜的互譜關(guān)系，其算法應(yīng)用具有一定的局限性。

本文基于線性時不變（LTI）系統(tǒng)理論，從MIMO振動系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系出發(fā)，將目標(biāo)譜表示為自譜、相位和相干函數(shù)等元素的組合形式，推導(dǎo)出激勵譜元素與響應(yīng)譜元素的函數(shù)關(guān)系，得出雅克比控制矩陣，從而提出針對目標(biāo)譜特定元素進(jìn)行修正的控制算法。并在三軸向振動臺上進(jìn)行了X和Y方向的MIMO隨機振動試驗，試驗結(jié)果表明該控制算法的控制精度與收斂速度均能滿足工程需求。

1MIMO隨機振動試驗系統(tǒng)

第4期張步云，等：多輸入多輸出隨機振動試驗雅克比控制算法振 動 工 程 學(xué) 報第30卷MIMO隨機振動試驗閉環(huán)反饋系統(tǒng)（如圖1所示）是在頻域中再現(xiàn)產(chǎn)品實際工作所經(jīng)歷的隨機振動環(huán)境，根據(jù)不同類型的振動設(shè)定不同的參考譜Sr。對于多維隨機振動試驗來說，一般Sr是功率譜密度矩陣，同時包含控制點自譜與互譜的信息。在設(shè)定好參考譜后進(jìn)行測試件的頻響函數(shù)測試，再根據(jù)線性振動理論在頻域中得到理論上的激勵譜Sd。采用時域隨機化的方法將激勵譜轉(zhuǎn)化為時域隨機信號，輸入到數(shù)采系統(tǒng)通過DC/AC轉(zhuǎn)換為激勵信號加載到測試試件上。在目標(biāo)控制點采集信號并作功率譜估計得到響應(yīng)譜Sy，與參考譜Sr進(jìn)行比較，若滿足容差要求（一般要使得響應(yīng)譜控制在參考譜的±3 dB之內(nèi)）則可進(jìn)一步進(jìn)行振動試驗。若不滿足則需對激勵信號進(jìn)行控制修正，直到滿足要求。上述即為MIMO隨機振動試驗閉環(huán)反饋系統(tǒng)的工作原理與流程。圖1MIMO隨機振動閉環(huán)反饋系統(tǒng)流程

Fig.1Flow diagram of MIMO random vibration closeloop feedback system2MIMO隨機控制算法〖2〗2.1雅克比控制矩陣MIMO隨機振動試驗控制是基于線性振動理論，以矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，在較短的時間內(nèi)“同時”激發(fā)給定功率譜譜形的寬帶隨機振動。本文以兩輸入兩輸出振動系統(tǒng)為例，系統(tǒng)地闡述控制過程，進(jìn)而提出新的控制算法。

根據(jù)振動理論可知，多路具有相干特性的隨機信號可用功率譜密度矩陣來表示，信號之間的相干特性與相位特性均可通過互功率譜的形式表現(xiàn)出來。圖2是典型的兩輸入兩輸出振動系統(tǒng)模型，假定兩路信號具有一定的相關(guān)特性。

圖2兩輸入兩輸出振動系統(tǒng)模型

Fig.2Two input two output vibration system model

記激勵信號d1的自功率譜密度為Sd，11，d2的自功率譜密度為Sd，22，兩者之間的互功率譜密度為Sd，12。d1和d2的相干系數(shù)為|γd|2，相位差為θd，hij表示頻響函數(shù)中的元素。則激勵信號的功率譜密度矩陣可表示為如下形式Sd=Sd，11Sd，12

Sd，21Sd，22（1）考慮兩路信號的相關(guān)特性，共可用4個獨立的元素來表達(dá)，即兩路信號的自譜、相干系數(shù)與相位差。故采用四元素法表示激勵信號為Sd=Sd，11|γd|Sd，11Sd，22ejθd

|γd|Sd，11Sd，22e-jθdSd，22（2）式（2）意味著兩路時域信號可用4個獨立的元素在頻域表示，并可通過時頻轉(zhuǎn)換的方法將頻域信號轉(zhuǎn)換為時域中的兩路真隨機信號。在振動試驗控制中，修改驅(qū)動信號也就是修改這些獨立的元素，故振動試驗控制時域信號的修正便轉(zhuǎn)化為對自譜、相干系數(shù)與相位的修正。

同樣地，記響應(yīng)功率譜密度矩陣為Sy=Sy，11Sy，12

Sy，21Sy，22（3）根據(jù)線性振動理論，有Sy =HSdHH=h11h12

h21h22·

Sd，11|γd|Sd，11Sd，22ejθd

|γd|Sd，11Sd，22e-jθdSd，22·

h*11h*21

h*12h*22（4）式中上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置，將該式展開得Sy，11=|h11|2Sd，11+|h12|2Sd，22+

2|h11h*12||γd|Sd，11Sd，22

Sy，22=|h21|2Sd，11+|h22|2Sd，22+

2|h21h*22||γd|Sd，11Sd，22

Sy，12=h11h*21Sd，11+h*22h12Sd，22+ （h*22h11ejθd+

h*21h12e-jθd）|γd|Sd，11Sd，22

Sy，21=h*11h21Sd，11+h22h*12Sd，22+ （h22h*11e-jθd+

h21h*12ejθd）|γd|Sd，11Sd，22 （5）由此式可知，在頻響函數(shù)矩陣H已測的情況下，響應(yīng)功率譜密度矩陣由激勵唯一確定，記Sy=Sy，11Sy，22Sy，12Sy，21T

Sd=Sd，11Sd，22|γd|θdT（6）有Sy=fSd（7）其中f=[f1 f2 f3 f4]T，則有Sy1=f1Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy2=f2Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy3=f3Sd，11，Sd，22，|γd|，θd

Sy4=f4Sd，11，Sd，22，|γd|，θd（8） 對式（8）取微分得dSy1=f1Sd，11dSd，11+f1Sd，22dSd，22+

f1|γd|d|γd|+f1θddθd

dSy2=f2Sd，11dSd，11+f2Sd，22dSd，22+

f2|γd|d|γd|+f2θddθd

dSy3=f3Sd，11dSd，11+ f3Sd，22dSd，22+

f3|γd|d|γd|+f3θddθd

dSy4=f4Sd，11dSd，11+f4Sd，22dSd，22+

f4|γd|d|γd|+f4θddθd （9）用向量矩陣表示為dSy1

dSy2

dSy3

dSy4=

f1Sd，11f1Sd，22f1|γd|f1θd

f2Sd，11f2Sd，22f2|γd|f2θd

f3Sd，11f3Sd，22f3|γd|f3θd

f4Sd，11f4Sd，22f4|γd|f4θddSd，11

dSd，22

d|γd|

dθd（10）記為dSy=JcdSd（11）式中Jc稱為雅克比控制矩陣，為Jc=f1Sd，11f1Sd，22f1|γd|f1θd

f2Sd，11f2Sd，22f2|γd|f2θd

f3Sd，11f3Sd，22f3|γd|f3θd

f4Sd，11f4Sd，22f4|γd|f4θd（12）控制矩陣中元素的具體表達(dá)式見附錄。

2.2算法公式

設(shè)試驗中參考譜為Sr，令驅(qū)動譜密度矩陣初始值為Sd，0= ASrAH，A=H-1稱為補償矩陣。第k次響應(yīng)譜為Sy，k，其與參考譜之間的誤差為ΔEr，k=Sr-Sy，k（13）第k+1次的驅(qū)動譜為Sd，k+1=Sd，k+ΔSd，k（14）聯(lián)立式（11），（13）和（14），可得第k+1次修正譜為Sd，k+1=Sd，k+J-1c（Sd，k）ΔEr，k式（15）即為多輸入多輸出隨機振動試驗的雅克比控制算法的表達(dá)式。事實上，振動試驗難免受到噪聲的影響。而該算法以實際測得的響應(yīng)信號作為控制算法系統(tǒng)的輸入，考慮了振動系統(tǒng)的響應(yīng)噪聲；又以驅(qū)動信號作為系統(tǒng)的輸出，這部分信號直接加載于振動臺作為振動系統(tǒng)的激勵，無需考慮噪聲。

3試驗驗證〖2〗3.1參考譜設(shè)置與頻響函數(shù)測試為驗證本文算法，在三軸電動振動臺上進(jìn)行MIMO隨機振動試驗驗證，控制目標(biāo)為互相垂直的X軸和Y軸方向的振動，兩個方向的解耦由振動臺本身機械實現(xiàn)。試驗現(xiàn)場如圖3所示，傳感器放置于振動臺面200 mm×200 mm的中間。圖3振動試驗現(xiàn)場

Fig.3Vibration test site

首先需設(shè)定參考譜，由于本算法是針對隨機信號的振動控制，并不適用于正弦、沖擊等其他信號，故參考譜的設(shè)置應(yīng)采用寬頻功率譜，至于譜形如何對于控制來說并無關(guān)系。本試驗兩個方向的參考自譜相同，頻率20～2000 Hz，平譜的譜值為1.0×10-3 g2/Hz。相位差設(shè)定為60°，相干系數(shù)在對數(shù)坐標(biāo)下從0.3變換到0.6，如圖4所示。圖4參考譜設(shè)置

Fig.4Reference PSDs

利用MATLAB生成兩路互相獨立的隨機信號，通過數(shù)據(jù)采集與發(fā)送設(shè)備VXI系統(tǒng)加載到振動臺，該激勵信號是低量級的力信號。在振動臺面拾取PCB 333B32加速度傳感器采集的加速度響應(yīng)信號，采用H1估計法進(jìn)行頻響函數(shù)估計，其結(jié)果如圖5所示。

3.2控制結(jié)果

控制算法由MATLAB自主編程，首先測試在未進(jìn)行控制情況下的系統(tǒng)響應(yīng)，如圖6所示。圖中綠色實線表示參考譜±3 dB，紅色線為±6 dB，黑色實線為響應(yīng)信號的譜線。圖5頻響函數(shù)測試幅頻圖

Fig.5Frequency response function estimationamplitude/frequency

圖6未進(jìn)行控制時系統(tǒng)響應(yīng)

Fig.6System response before control

從圖6可以看出，在X軸的高頻段和Y軸的低頻段的響應(yīng)譜與參考譜有一定的差距。在37.5和80 Hz處，相位分別為-58.59°和-33.85°，與參考值60°相差較大。相干系數(shù)在72.5 Hz處的值為0.7125，超過了參考值0.3839近一倍。這些頻率處的誤差必須通過修正驅(qū)動譜來消除或降低，根據(jù)本文提出的修正算法進(jìn)行振動控制，控制結(jié)果如圖7所示。圖7控制后系統(tǒng)響應(yīng)

Fig.7System response after control

在振動控制中，振動量級是衡量控制結(jié)果的一個重要的指標(biāo)，因為試件在不同的振動量級下的破壞及疲勞損傷截然不同。衡量振動量級的參數(shù)是總均方根值，本試驗中每一個軸向的參考總均方根值為1.724g，控制結(jié)果中X軸的總均方根值為1.7727g，Y軸的總均方根值為1.7514g，與參考值之間的誤差分別為2.8%與1.6%。符合工程中技術(shù)指標(biāo)要求，也說明本文的控制方法是真實有效的。

4結(jié)論

控制算法是MIMO隨機振動閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的核心內(nèi)容，本文從LTI振動理論入手，深入分析了振動系統(tǒng)多維激勵與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系，將功率譜密度矩陣分解成自譜、相干系數(shù)和相位等多個獨立的元素，從而推導(dǎo)出響應(yīng)譜元素與激勵譜元素的函數(shù)關(guān)系，得到雅克比控制矩陣，進(jìn)而提出具有針對性修正的雅克比控制算法。該算法能快速將超標(biāo)譜線修正，將其收斂到參考譜的容差帶之內(nèi)。

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Jacobi control algorithm for MIMO random vibration test

ZHANG Buyun1， CHEN Huaihai 2， WANG Ruochen1， ZENG Falin1

（1. Automotive Engineering Research Institute， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， China；

2. Institute of Vibration Engineering Research， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The question of exceeding or going below the certain limits on closeloop feedback control system of MIMO（Multiple Input Multiple Output） random vibration test is studied， and in the paper the relationship between inputs and outputs of MIMO LTI（Linear Time Invariable） vibration system is deeply analyzed. The PSD（Power Spectral Density） matrix of multiple signals could be expressed by autospectral density， coherence and phase which are independent elements， thus the Jacobi control matrix is deduced to express the differential relationship between the input and output signals. In the final a new method called Jacobi control algorithm is proposed to be applied in MIMO random vibration test. The method controls the element values of PSD which exceed or go below certain limits， so the convergence speed is faster and the control precision is higher. A twoinput twooutput test is conducted on a threeaxis electrical vibration table. In the first the reference PSD including autospectral density， coherence， and phase should be set， then the tolerance should be set by ±3 dB. The FRF（Frequency Response Function） would be estimated by H1method， and the new algorithm is to be applied to control the Xaxis and Yaxis vibration. The results show that the algorithm can update the autospectral density， coherence， and phase into the tolerance of reference PSD.Key words： random vibration； power spectral density； Jacobi matrix； vibration control； environmental test作者簡介：張步云（1987—），男，講師。電話：13914560131；Email：zhangby@ujs.edu.cn

附錄：雅克比控制矩陣的元素表達(dá)式

f1Sd，11 = |h11|2+|h11h*12||γd|Sd，22Sd，11

f1Sd，22 = |h12|2+|h11h*12||γd|Sd，11Sd，22

f1|γd| =2|h11h*12|Sd，11Sd，22

f1θd =0 ， f2Sd，11= |h21|2+|h21h*22||γd|Sd，22Sd，11

f2Sd，22= |h22|2+|h21h*22||γd|Sd，11Sd，22

f2|γd|=2|h21h*22|Sd，11Sd，22

f2θd=0，

f3Sd，11 =h11h*21+（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）|γd|2Sd，22Sd，11

f3Sd，22 =h*22h12+（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）|γd|2Sd，11Sd，22

f3|γd| =（h*22h11ejθd+h*21h12e-jθd）Sd，11Sd，22

f3θd =j（h*22h11ejθd-h*21h12e-jθd）|γd|Sd，11Sd，22 ，

f4Sd，11 =h*11h21+（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）|γd|2Sd，22Sd，11

f4Sd，22 =h22h*12+（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）|γd|2Sd，11Sd，22

f4|γd| =（h22h*11e-jθd+h21h*12ejθd）Sd，11Sd，22

f4θd =-j（h22h*11e-jθd-h21h*12ejθd）|γd|Sd，11Sd，22