廣義S變換與二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波

徐 陽,羅明璋,王 智,曾 磊

(1.長江大學(xué)電子信息學(xué)院,湖北荊州434023;2.長江大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院,湖北荊州434023)

面波是陸上地震勘探中的主要干擾波之一,尤其在我國西部山地地區(qū),復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造使得面波干擾現(xiàn)象尤為突出。面波是一種具有頻散特性的規(guī)則干擾波,在炮集上呈線性分布,其特點是低頻率、強振幅,而且衰減較慢,嚴(yán)重影響中、深層的有效反射,降低了地震資料的信噪比。在疊前地震數(shù)據(jù)處理過程中,必須有效壓制面波干擾,壓制效果直接影響到地震數(shù)據(jù)的后續(xù)處理,乃至偏移成像效果,最終影響地震資料的地質(zhì)解釋結(jié)果。

為了有效壓制面波干擾,研究人員提出了各種解決方案。李文杰等[1]提出了基于頻率衰減特性的面波壓制方法。先在地震記錄上確定面波區(qū)域,然后針對不同的炮檢距選用不同的低截頻率,在選定的面波區(qū)域里進行高通濾波,有效地衰減了面波區(qū)域里的面波能量。但是低截濾波或高通濾波會嚴(yán)重?fù)p失深層的低頻有效反射波信息。岳龍等[2]研究了連續(xù)小波變換在面波壓制中的應(yīng)用,根據(jù)面波和有效波在小波域能量和分布區(qū)域的不同,提出了利用連續(xù)小波變換自動壓制面波的方法;陳文超等[3]提出了基于連續(xù)小波變換的自適應(yīng)面波壓制方法,根據(jù)面波干擾的影響隨炮檢距變化等特點,采用連續(xù)小波變換實現(xiàn)自適應(yīng)面波衰減。基于小波變換實現(xiàn)面波壓制的有效性,很大程度上取決于小波函數(shù),選取不同的小波函數(shù)會取得不同的面波壓制效果。李楊等[4]提出了基于廣義S變換(GST)的面波壓制技術(shù)。采用廣義S變換將時間域地震信號變換到時頻域,在時頻域內(nèi)確定面波干擾區(qū)域,利用時頻濾波方法壓制面波,達到分頻分時衰減面波的目的。由于面波的實際頻率難以精確標(biāo)定,為了徹底去除面波,在時頻域內(nèi)確定面波干擾區(qū)域時往往存在擴大化的現(xiàn)象,導(dǎo)致在衰減面波的同時有效反射波也會受到損害。傳統(tǒng)壓制面波的方法還有F-K濾波切除、τ-p域變換[5-6]等,這些方法壓制面波都有一定的效果,但也都有其局限性[7]。譬如F-K濾波要求有規(guī)則的空間采樣間隔,因而復(fù)雜條件下面波去除效果不佳,而且F-K濾波是將若干道記錄作為一個數(shù)據(jù)整體進行處理,在切除面波的同時,也會將包含在面波記錄中的有效低頻信息一并去除,造成對低頻有效反射波的損害。τ-p域變換是依據(jù)有效波和干擾波視速度符號和大小的不同來壓制干擾,由于面波的速度和頻率從淺到深都會發(fā)生變化,經(jīng)過τ-p域變換后,面波數(shù)據(jù)不會是一個點,因此很難將其完全去除。近年來出現(xiàn)了一些新的采用多種變換聯(lián)合壓制面波的方法。馬見青等[8]提出了采用S變換和TT變換聯(lián)合壓制面波的方法。包乾宗等[9]提出了采用連續(xù)小波變換和脊波變換聯(lián)合壓制面波的方法。孔慶豐[10]提出了基于Hilbert-Huang變換壓制面波的方法。畢云云等[11]提出了基于離散曲波變換字典和二維局部離散余弦變換字典組合的面波壓制方法。這些利用聯(lián)合變換壓制面波的方法取得了較好效果。

廣義S變換具有可變形態(tài)的窗函數(shù),可以獲得比S變換更好的局部頻譜以及更好的時頻聚集性。利用這一優(yōu)勢,對時域內(nèi)含有面波干擾的地震記錄逐道進行廣義S變換,將單道地震記錄的一維時間域信號映射成二維時頻圖。具有低頻特征的面波信號,其能量在時頻圖上沿時間軸聚集,呈長條帶狀分布,反射波能量則沿頻率軸聚集,并朝頻率軸正方向收斂。根據(jù)面波與反射波各自能量聚集特征,對時頻圖進行分析,確定出面波信號的時頻區(qū)域,針對該區(qū)域設(shè)計時頻濾波器,將位于該區(qū)域內(nèi)的信號清零,得到去除面波之后的地震記錄,再與原始地震記錄相減,可將面波從整個地震記錄中分離出來[12-13]。由于面波與有效反射波在低頻范圍內(nèi)可能存在重疊,在用廣義S變換分離面波的過程中,會損害重疊區(qū)內(nèi)低頻有效反射波。為減少這種損害,選擇有利于面波壓制的小波函數(shù),將分離得到的面波記錄再次進行二維離散小波分解,得到4個小波系數(shù)分量,對面波主要集中的低頻高波數(shù)分量進行高通濾波,濾除面波成分,然后再進行小波系數(shù)分量重構(gòu),重構(gòu)結(jié)果中將不再包含面波成分,但有效反射波信號得以保留。最后將重構(gòu)結(jié)果疊加到已實現(xiàn)面波分離的地震記錄中,實現(xiàn)在壓制面波干擾的同時,最大限度地減少對低頻有效反射波的損害。本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出了一種新的廣義S變換與二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波的方法,并通過理論模型測試和實際地震資料處理驗證了本文方法的有效性。

1 基本原理

1.1 廣義S變換

S變換是由STOCKWELL等[14]于1996年提出的一種加時窗傅里葉變換,是介于短時傅里葉變換和連續(xù)小波變換之間的一種非平穩(wěn)信號分析處理方法。傳統(tǒng)S變換采用形態(tài)固定的高斯窗函數(shù),給實際應(yīng)用帶來一些不便。許多學(xué)者對時窗函數(shù)進行改造,提出了廣義S變換[15-17]。MANSINHA等[18]提出了如下可變形態(tài)窗函數(shù):

(1)

式中:t為時間;f為頻率;k為時窗尺度。當(dāng)k取值較大時,時窗變寬,可提高信號的頻率分辨率,當(dāng)k取值較小時,時窗變窄,可提高信號的時間分辨率,從而得到可調(diào)節(jié)時間、頻率分辨率的廣義S變換:

(2)

式中:SGST(τ,f)為時域信號h(t)的廣義S變換結(jié)果;f為頻率參數(shù);k為時窗尺度參數(shù);τ為時窗的時間中點。

時域信號h(t)可通過GST反變換進行重構(gòu),反變換公式為:

(3)

式中:H(f)為h(t)的傅里葉變換。

由于GST與其傅里葉譜保持直接聯(lián)系,在進行正、反變換的過程中,可以實現(xiàn)信號的無損轉(zhuǎn)換,這也為實際應(yīng)用帶來極大方便。GST能夠標(biāo)定信號中不同頻率成分在各個時刻的頻譜,精確表達有效信號和干擾信號在時頻域內(nèi)各自的特征,因而可以利用GST來進行時頻濾波。一般時域信號可表示為有效信號s(t)與干擾信號n(t)之和:

(4)

上式兩邊同時取GST:

(5)

對由(5)式得到的時頻圖進行分析,根據(jù)干擾信號的時間和頻率范圍,確定其時頻區(qū)域D,針對該區(qū)域設(shè)計時頻濾波器:

(6)

用時頻濾波器對(5)式進行濾波處理,使得SGST(n)項為0,保留SGST(s)項,經(jīng)GST反變換就可以得到去除干擾之后的有效時域信號。

1.2 二維離散小波變換

對L2(R)空間滿足允許條件的小波母函數(shù)Ψ(x)進行伸縮或平移,可得一維連續(xù)小波函數(shù):

(7)

式中:a為與頻率相關(guān)的尺度因子;τ為與時間相關(guān)的平移因子。如果取a=2j,τ=2jk,其中j,k∈Z,則可得到一維離散小波函數(shù):

(8)

同理,可定義一維離散尺度函數(shù):

(9)

將一維小波函數(shù)推廣,可定義二維離散小波函數(shù)及二維離散尺度函數(shù)。若h(x)和g(x)分別為與Φj,k(x)和Ψj,k(x)對應(yīng)的鏡像濾波器函數(shù),可得到二維離散小波分解的Mallat算法公式[19]:

(10)

實際地震記錄是二維數(shù)據(jù),水平方向表示偏移距,垂直方向表示時間,利用Mallat公式進行二維離散小波分解,可得到如圖1所示的4個小波系數(shù)分量:低頻低波數(shù)分量LL、低頻高波數(shù)分量LH、高頻低波數(shù)分量HL和高頻高波數(shù)分量HH,LL分量還可以繼續(xù)進行下一層分解。二維離散小波變換對信號采取二倍抽取方式,隨著分解層數(shù)的增加,同一類型分量的頻率和波數(shù)會成倍數(shù)遞減,例如LL3的頻率和波數(shù)是LL2的一半,而LL2的頻率和波數(shù)又是LL1的一半。

圖1 二維離散小波分解示意

1.3 聯(lián)合壓制面波的步驟

利用GST和二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波的具體步驟如下。

1) 從單炮地震記錄中按順序依次抽取每一道信號進行廣義S變換,得到該道信號對應(yīng)的二維時頻圖。

2) 面波和有效反射波在二維時頻圖上的能量聚集和圖像顯示明顯不同,面波能量在低頻范圍內(nèi)沿時間軸聚集,其圖像呈長條帶狀分布,反射波能量則沿頻率軸聚集,其圖像向頻率軸正方向收斂,據(jù)此可在時頻圖上找出面波區(qū)域。

3) 針對面波區(qū)域設(shè)計時頻濾波器,將面波對應(yīng)區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)充0,并進行GST反變換,得到去除面波后的單道時域信號。對整個單炮記錄重復(fù)步驟1)至步驟3),即可得到整個記錄去除面波后的結(jié)果。

4) 用原始記錄與去除面波后的結(jié)果相減,得到分離出來的面波記錄。

5) 對分離出來的面波記錄,進行二維離散小波分解,得到四個小波系數(shù)分量,對面波成分主要集中的低頻高波數(shù)分量LH進行高通濾波,其它分量不變。如果低頻低波數(shù)分量LL中還含有面波成分,則對該分量進行下一層次的二維離散小波分解,同時對其中的低頻高波數(shù)分量LH進行高通濾波,重復(fù)進行,直到低頻低波數(shù)分量LL中不再含有面波成分。

6) 從最后一層開始逐層進行二維離散小波分量重構(gòu),重構(gòu)結(jié)果中將不再包含面波成分。將重構(gòu)結(jié)果疊加到原始記錄去除了面波之后的結(jié)果中,即完成了對面波干擾的聯(lián)合壓制。

上述過程中,在GST環(huán)節(jié)要注意面波區(qū)域的劃分,它關(guān)系到面波分離是否徹底。在二維離散小波變換環(huán)節(jié),要注意選用合適的小波函數(shù),本文通過分析和反復(fù)試驗,結(jié)合面波信號特征和小波函數(shù)的性質(zhì),從理論分析和實際資料處理兩方面考慮,優(yōu)選出了Sym5小波函數(shù),實際應(yīng)用表明,Sym5小波函數(shù)的支撐集、濾波器長度、消失矩等都適合于對面波干擾的壓制[20-21]。

2 理論模型測試

圖2為采用波場模擬方式生成的理論模型合成記錄,單震源中間激發(fā),二維均勻各向同性彈性波介質(zhì),采用變系數(shù)吸收邊界條件。理論模型設(shè)計了2層反射層,上層為水平層,下層為傾斜層,采樣間隔為1ms,共750個采樣點,70道。面波頻率25Hz,反射波頻率30Hz。整個記錄不含隨機噪聲。

圖3為理論模型第6道數(shù)據(jù)進行GST后得到的時頻圖,根據(jù)面波與反射波各自在時頻圖上的能量聚集特點,很容易區(qū)別出來。由于面波頻率與反射波頻率很接近,從圖3a可見它們在時頻圖的低頻范圍內(nèi)內(nèi)存在重疊區(qū)域,因此在進行時頻濾波的時候,對面波區(qū)域充0必然會影響到低頻反射波,如圖3b所示。

圖2 理論模型合成記錄

圖3 理論模型第6道的GST時頻圖a 面波區(qū)充0前; b 面波區(qū)充0后

圖4為對理論模型全部70道數(shù)據(jù)分別進行GST,并進行面波區(qū)域充0,將面波信號分離之后得到的結(jié)果,與圖2對比可以發(fā)現(xiàn),低頻反射波的同相軸形狀發(fā)生了改變,這正是由于面波區(qū)域充0影響了低頻反射波的結(jié)果,換句話說,低頻反射波信號在面波分離過程中受到了損害。圖5為理論模型利用GST分離出來的面波記錄,可以看到,其中除了面波信號被分離了出來之外,還有一部分低頻反射波信號也被分離了出來。

圖4 理論模型面波分離之后的結(jié)果

為了減小對低頻反射波信號的損害,將如圖5所示從理論模型中分離出來的面波記錄再次進行二維離散小波分解,第一層分解得到4個小波系數(shù)分量如圖6所示,可見面波成分主要集中在低頻低波數(shù)分量LL1和低頻高波數(shù)分量LH1中。對于第一層LL1分量中還含有的面波,再進行第二層分解,同理還可進行第三、第四層分解,每一層分解都會得到LL、LH、HL、HH 4個小波系數(shù)分量。對各層的LH分量進行高通濾波,濾除其中的面波成分,然后將最后一層的4個小波系數(shù)分量重構(gòu),作為前一層的LL分量,依次進行,直到第一層為止。重構(gòu)結(jié)果如圖7所示,可見圖上已經(jīng)沒有了面波成分,有效反射波得以保留。將重構(gòu)結(jié)果疊加到理論模型分離面波之后的記錄(圖4)中,得到的最終結(jié)果如圖8所示,可見面波成分得到很好的壓制,同時有效反射波信號的同相軸得到較大改善,更加接近于原始理論模型合成記錄(圖2),說明本文方法在壓制面波干擾的同時起到了保護低頻反射波的作用。

圖5 理論模型被分離出來的面波記錄

圖6 理論模型分離出來的面波記錄進行第一層二維離散小波分解的結(jié)果a LL1分量; b HL1分量; c LH1分量; d HH1分量

圖7 理論模型分離出來的面波記錄經(jīng)二維離散小波變換重構(gòu)結(jié)果

圖8 理論模型經(jīng)過GST與二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波的結(jié)果

3 實際資料處理

圖9為西部某山地原始單炮地震記錄,共184道,每道采樣點數(shù)3500,采樣間隔2ms,圖上可見典型的“掃帚狀”面波發(fā)育,其下面的有效反射波信號被完全遮蓋,降低了整個記錄的信噪比。圖10a為從該地震記錄中抽取第61道信號進行GST得到的二維時頻圖,圖10b為在時頻圖上找出面波區(qū)域,并進行數(shù)據(jù)充0后的結(jié)果。對記錄中每一道都進行如上相同的處理,就完成了整個記錄中的面波分離。圖11為采用GST從原始記錄中分離面波后的結(jié)果,圖12為GST分離出來的面波記錄。在利用GST進行面波分離過程中,為了使面波徹底分離,往往會擴大數(shù)據(jù)充0區(qū)域,從而導(dǎo)致低頻有效反射波受到損害。為了減少這種損害,對GST分離出來的面波記錄進行二維離散小波分解,將二維地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到時間、空間、頻率、波數(shù)四維域中,得到4個小波系數(shù)分量,對包含面波成分的低頻高波數(shù)分量進行高通濾波,濾除面波,保留有效反射波,然后再進行小波系數(shù)分量重構(gòu),最后將重構(gòu)結(jié)果疊加到由GST分離面波之后的記錄中,實現(xiàn)在壓制面波的同時減少對低頻有效反射波的損害。

圖9 原始單炮地震記錄

圖10 原始地震記錄第61道GST變換時頻圖a 面波區(qū)充0前; b 面波區(qū)充0后

地震記錄中面波信號在時間-空間域的分布范圍與有效波不同,主要集中在低頻低波數(shù)分量LL和低頻高波數(shù)分量LH中。對由GST分離出來的面波記錄(圖12)進行二維離散小波分解,得到第一層分量如圖13所示,可見LL1和LH1分量中存在面波成分。對包含面波成分的LL1分量還可以進行第二層分解。將各層分解得到的LH分量進行高通濾波,濾除面波成分,然后從最后一層開始進行小波系數(shù)分量重構(gòu),并作為前一層的LL分量,依次進行,直到第一層為止。重構(gòu)結(jié)果如圖14所示,可見明顯同相軸,它們正是在GST分離面波過程中丟失的低頻反射波。其中一些同相軸的“蚯蚓化”是由于多層小波變換后的邊界效應(yīng)和累積誤差所導(dǎo)致,選擇適當(dāng)?shù)男〔ê瘮?shù)及分解層數(shù)可以降低累積誤差,重構(gòu)結(jié)果與由GST分離面波之后的結(jié)果記錄疊加后“蚯蚓化”現(xiàn)象可以得到改善,但依然存在,這是本文方法聯(lián)合壓制面波的局限性。

圖11 原始記錄GST分離面波后的結(jié)果

圖12 GST分離出來的面波記錄

圖13 對分離出來的面波記錄進行第一層二維離散小波分解的結(jié)果a LL1分量; b HL1分量; c LH1分量; d HH1分量

將重構(gòu)結(jié)果疊加到分離面波之后的記錄(圖11)中,實現(xiàn)聯(lián)合壓制面波的最終結(jié)果如圖15所示,與圖11 對比可以看到,圖15中有效反射波的能量得到加強,說明本文方法在壓制面波干擾的同時能夠保護低頻有效反射波。

作為對比,采用傳統(tǒng)F-K濾波法對圖9所示原始地震記錄進行面波壓制。圖16為原始單炮地震記錄的F-K譜,可見面波與有效反射波在低頻范圍內(nèi)存在重疊區(qū)。圖中淡藍色折線以上部分是面波干擾的壓制范圍,只要將該范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)充0切除,就可以實現(xiàn)面波壓制,但是重疊區(qū)內(nèi)面波干擾與有效信號無法完全分開,在進行F-K濾波切除時必然會損失掉部分有效反射波。圖17為原始地震記錄進行F-K濾波后的結(jié)果,由于重疊區(qū)的存在,切除面波的同時也切除了部分有效反射波,導(dǎo)致原來被面波覆蓋的區(qū)域內(nèi)同相軸不夠清晰。

圖14 分離面波記錄的二維離散小波重構(gòu)結(jié)果

圖15 GST與二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波結(jié)果

為了進一步說明本文方法的優(yōu)越性,分別對傳統(tǒng)F-K濾波、單純GST面波分離以及本文提出的GST與二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波的結(jié)果與原始記錄一起作頻譜分析,如圖18所示。

圖18a為采用傳統(tǒng)F-K濾波壓制面波之后的頻譜,由于面波干擾和有效信號在低頻區(qū)域內(nèi)不可能完全分開,在進行面波壓制時,不可避免會損害重疊部分的有效反射波。

圖18b為采用GST進行面波分離后的頻譜,觀察圖中藍色譜線可見,頻率在10Hz以下的面波被壓制掉了,但是,該范圍內(nèi)有效反射波也一起被壓制掉了,因此單純采用GST分離面波的方法來壓制面波干擾將造成低頻區(qū)內(nèi)有效反射波的損失。

圖16 原始單炮地震記錄的F-K譜

圖17 F-K濾波壓制面波的結(jié)果

圖18c為采用GST+二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波后的頻譜,觀察圖中藍色譜線可見,頻率在10Hz以下的強振幅面波信號被壓制掉了,但該頻率范圍內(nèi)低振幅信號的能量得以保留,說明本方法在壓制面波的同時,可以減少對低頻區(qū)內(nèi)有效反射波的損害。

圖18 采用不同方法壓制面波的頻譜對比a 傳統(tǒng)F-K濾波; b GST面波分離; c GST+二維離散小波變換聯(lián)合壓制面波

4 結(jié)論

利用廣義S變換將地震記錄信號從時間域轉(zhuǎn)換到時頻域,采用時頻濾波可以方便地實現(xiàn)面波分離,但分離過程可能損傷低頻有效反射波。為了避免或減少這種損傷,將GST分離出來的面波記錄進行二維離散小波分解,對面波成分主要集中的低頻高波數(shù)分量進行高通濾波,濾除面波,保留有效反射波,然后再進行小波系數(shù)分量重構(gòu),最后將重構(gòu)結(jié)果疊加到已分離面波的地震記錄中,實現(xiàn)在壓制面波干擾的同時,最大限度地減少對低頻有效反射波的損害,整個操作僅對地震記錄中的面波區(qū)域及面波成分進行分離與壓制,其它域不受影響。通過理論模型測試及實際地震資料處理驗證,本文提出的這種聯(lián)合壓制面波方法切實可行,面波壓制效果明顯,在壓制過程中能較好地保護低頻有效反射波,提高了地震記錄的信噪比。

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