圓弧檢測結(jié)果的優(yōu)化

鄧水平 陳 昶 何國頌

(1.國家重大技術(shù)裝備幾何量計量站，四川610199；2.二重(德陽)重型裝備有限公司檢測中心，四川618013)

1 概述

圓弧的主要參數(shù)半徑和圓心位置，在加工時是存在的，并且唯一。當(dāng)工件從機床上取下后。再重新找其圓心位置是非常困難的，只能采用間接測量的方法，來推斷圓弧半徑及圓心位置，并且工件在檢測前，要進行去“毛刺”等處理，以去除粗大誤差對測量結(jié)果的影響。這就使得測量結(jié)果與預(yù)期要求相差較大。常用的測量方法有：

(1)連續(xù)測量，如用PK630極坐標(biāo)測量儀及圓度儀進行連續(xù)測量；

(2)非連續(xù)測量，如用三坐標(biāo)測量機采集坐標(biāo)點；

(3)比較測量，如與CAD模型或標(biāo)準(zhǔn)圓進行比較，可以獲得非連續(xù)的測量點。

上述測量方法中，都是利用圓弧上的點通過計算來推斷圓弧中心得到。連續(xù)測量，因測得點較多，能反應(yīng)出輪廓度的真實情況。因此，測量具有較高的準(zhǔn)確性，但受儀器測量范圍的限制(小于630 mm×1200 mm)。非連續(xù)測量，因測量點有限，不能發(fā)現(xiàn)圓弧的異常區(qū)域，準(zhǔn)確性不如連續(xù)測量好，但具有較大的測量范圍。

根據(jù)圓弧檢測數(shù)據(jù)計算圓弧半徑及圓心位置常用的判定準(zhǔn)則是最小二乘法，大多數(shù)三坐標(biāo)測量機都采用此方法，對于圓心角大于60°的圓弧，經(jīng)處理后的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性能達到預(yù)期要求，對于圓心角小于10°的圓弧，經(jīng)常規(guī)方法處理后的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性較低，往往不能達到預(yù)期要求。

2 數(shù)據(jù)處理方法

用極差函數(shù)理論[1]對圓弧檢測結(jié)果的優(yōu)化：

(1)以圓弧中心點為回轉(zhuǎn)中心，測量點連線后展開成平面，圓弧測量點連線的輪廓度轉(zhuǎn)化為求直線度，圓心位置調(diào)整前、后輪廓的變化，如圖1所示，通過調(diào)整圓心坐標(biāo)使評定包容線最小，如圖1(b)。

(2)圓弧的作用半徑和圓心是在測量點連線的輪廓度符合最小條件的情況下取得的，即測量點連線的輪廓度或直線度的判定應(yīng)符合最小條件，即稱之為作用圓弧半徑和作用圓弧圓心(與最小二乘法得到的半徑及圓心有區(qū)別)。此時的圓弧與另一標(biāo)準(zhǔn)圓弧接觸時，面積最大，磨損速度最慢。

3 極差函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

圖1 圓心位置調(diào)整前、后輪廓的變化Figure 1 The change of outline of the position of circle center before and after the adjustment

在數(shù)學(xué)中，三點可以確定一個圓弧的中心位置及半徑。在圓弧上采集N個平面坐標(biāo)點，將其進行合理分組。按照排列法可形成圓心點集Sn，如圖2所示，每一圓心點集Sn至圓弧上每一測量點Ni的最大距離S(u)-，最小距離S(u)-，則有：

S(u)-=sup[R(x，y，u)：x，y∈Sn]

(1)

S(u)-=inf[R(x，y，u)：x，y∈Sn]

(2)

E(u)=S(u)--S(u)-

(3)

△E(u)=min[E(u)]

(4)

式中，S(u)-極大值；S(u)-極小值；E(u)極差函數(shù)；△E(u)為E(u)的極小值。

4 圓弧檢測數(shù)據(jù)的優(yōu)化處理

常規(guī)方法得到的圓心位置點集Sn及圓弧半徑集R，在點集Sn內(nèi)，所有點都是離散的，經(jīng)過優(yōu)化處理，能在最優(yōu)點附近求得K點，K(u1，u2)即為所求的最佳點，此點圓心坐標(biāo)的調(diào)整量u1、u2也可用MATLAB語言工具進行函數(shù)優(yōu)化求解，如圖3所示。

圖2 測量點集及圓心點集Figure 2 Point-group of measurement and the point-group of circle center

4.1 圓心位置變化與輪廓度的關(guān)系

圓心位置改變可引起輪廓度的變化。其近似關(guān)系為：

S(u)=△ii=△i+u1cosθi+u2sinθi

(5)

式中，u1、u2分別為x，y方向的調(diào)整位移量；θi為第i點與第一點的夾角；△i為第i點修正前的數(shù)值；△ii為第i點修正后的數(shù)值。

圖3 圓心坐標(biāo)調(diào)整圖Figure 3 The adjustment diagram of the circle center coordinates

4.2 最小條件判定

根據(jù)△ii及θi，判定△E(u)是否已取得最優(yōu)值。

CONV[S(u)-]∩CONV[S(u)-]≠Φ

(6)

即公式(4)△E(u)=min[E(u)]有最優(yōu)解。公式(6)中Φ為空集。

單純形解具有明顯的幾何特征，且可用幾何判定，再判定點(N+2=4)最大值、次大值、最小值、次小值按角度呈現(xiàn)相間排列或求解可行集。即滿足最小條件解，且公式(4)有解。

5 應(yīng)用實例

為檢驗此處理方法的準(zhǔn)確性，用同一組數(shù)據(jù)對處理前、后進行比較。

5.1 圓度計算

將?3000 mm×7000 mm的工件安裝在機床上進行測量，讀數(shù)用分辨率為0.1 μm的電感儀，角度用分辨率為0.001°的測量裝置進行測量(計算時取整數(shù))，用極差函數(shù)法對測量數(shù)據(jù)記錄如表1所示。

用常規(guī)處理方法得到的輪廓度為：

△=14.8-0.1=14.7 μm

圖4中高點的連線與低點的連線不相交，沒有解。用MATLAB編程語言對公式(1)～(5)編程后，對表1中的數(shù)據(jù)優(yōu)化處理后，在輪廓最小時圓心位置偏移調(diào)整量為：

u1=x≈6.3 μm

u2=y≈-3.8 μm

表1 測量數(shù)據(jù)表Table 1 Data table of measurement

表2 優(yōu)化處理后的測量數(shù)據(jù)Table 2 Measurement data after optimization treatment

表3 理論坐標(biāo)值(單位：mm)Table 3 Theoretical coordinate value (unit:mm)

數(shù)據(jù)如表2。輪廓度按公式(4)計算，結(jié)果為：

△E(u)=△max-△min=7.91-4.94=2.97 μm

圓形判定形式。測量極值、角度排列如圖5所示。

○最高點 141° 14.8μm ●次高點 110° 12.4 μm □最低點 3° 0.1μm ■次低點 339° 0.4 μm

○最高點 291° 7.91 μm ●次高點 141° 7.91 μm □最低點 75° 4.94 μm ■次低點 262° 4.94 μm

圖5中高點的連線與低點的連線相交，因此有解。通過圖4和圖5，均可判定測量數(shù)據(jù)經(jīng)處理后，有最優(yōu)解，即符合最小條件。

5.2 圓心位置及圓度計算

?100 mm的圓，以(0，0)為圓心，圓周上均勻分20點計算坐標(biāo)，按理論數(shù)據(jù)計算值如表3。

經(jīng)MATLAB編程運行：

x0=[0，0]

[x，feval]=fminunc(@myfun2a，x0)

得到圓心坐標(biāo)最優(yōu)解為：

u1=x0≈0，u2=y0≈0

半徑R=50.0000

計算處理圓度或輪廓度：1.0302e-08。

理論半徑、圓心位置與計算得到的半徑、圓心位置基本一致。通過上述實例，極差函數(shù)法處理圓弧檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性滿足預(yù)期要求。

6 結(jié)果分析與結(jié)論

上述方法是我們在輪廓度△f為最小時，獲得圓弧的半徑偏差△R及圓心位置。他們之間的關(guān)系見圖6[2]。

圖6 半徑R、半徑差△R與輪廓度△f的關(guān)系Figure 6 The relationship between the radius R, the radius difference △R and the profile tolerance △f

∠2=sin-1[sinβ×△R/(R-△R)]

∠1=180°-∠β-∠2

R'=(△R×sin∠1)/sin∠2

設(shè)∠β=3°21'，△R=1 mm，R=300 mm

計算得：∠2=0.01119763°

∠1=176.63880237°

輪廓度△f為：△f=R-R'=1.7 μm

通過以上分析，我們可以看出，小圓心角圓弧輪廓度的變化對半徑的影響非常大(約600倍)。并得出以下的結(jié)論：

(1)不能用半徑誤差代替輪廓度。

(2)測量結(jié)果應(yīng)注明測量方法，為保證測量準(zhǔn)確性，應(yīng)首選連續(xù)測量，其次是非連續(xù)測量或比較測量。

(3)小圓心角是圓弧測量誤差大的根源，盡量避免制造小圓心角。

(4)圓弧半徑公差的選擇應(yīng)合理，應(yīng)根據(jù)半徑公差選擇符合要求的測量設(shè)備。

(5)應(yīng)避免大半徑小圓心角的圓弧，如R41 581.249±0.03 mm等。

(6)測量結(jié)果應(yīng)給出測量不確定度。

[1] 熊有倫. 精密測量的數(shù)學(xué)方法[M]. 中國計量出版社, 1989.

[2] 譚德培. 大半徑圓弧樣板的半徑誤差與輪廓度誤差——對《大半徑圓弧樣板的旋轉(zhuǎn)測量方法》一文的商榷[J]. 計量技術(shù), 1988(5):49.