數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：兒童數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的原點(diǎn)式突圍
——以《平面圖形的復(fù)習(xí)》教學(xué)為例

江蘇吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)花港迎春小學(xué) 徐建林

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的研究熱點(diǎn)，經(jīng)常被提及。從廣義而言，每個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段對“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的解讀不盡相同，但其本質(zhì)都指向?qū)W生猜想與驗(yàn)證的科學(xué)發(fā)現(xiàn)路徑。早在20世紀(jì)50年代，蘇聯(lián)教育家凱洛夫在《教育學(xué)》中就提出：“教學(xué)過程中要發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，學(xué)習(xí)應(yīng)從接受性的學(xué)習(xí)變?yōu)閯?chuàng)造性的學(xué)習(xí)，把教師的傳授從再現(xiàn)型的教學(xué)變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)型的教學(xué)?！痹凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》中，首次明確提出了“基本活動經(jīng)驗(yàn)”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅讓發(fā)現(xiàn)式教學(xué)找到了可實(shí)現(xiàn)的支點(diǎn)，并作為兒童構(gòu)建數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的有效手段，讓我們得以再度審視兒童學(xué)習(xí)中的 “間接經(jīng)驗(yàn)”與“直接經(jīng)驗(yàn)”的辯證存在，更據(jù)此進(jìn)一步尋求現(xiàn)有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)下的突圍。

一、引發(fā)經(jīng)驗(yàn)突圍的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課例追思

《平面圖形的復(fù)習(xí)》一課是蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊中的教學(xué)內(nèi)容。在本課中，教材主要針對學(xué)生在小學(xué)階段所有學(xué)過的平面幾何知識進(jìn)行梳理，其內(nèi)容版塊主要是：（1）直線、射線、線段；（2）角；（3）三角形、四邊形、圓。就教材的編排而言，既按照了學(xué)生學(xué)習(xí)知識的時間先后順序，又遵循了由易到難的認(rèn)知規(guī)律，應(yīng)該是非常妥帖的。對此，筆者分別在本區(qū)3所學(xué)校進(jìn)行試教（本校、市屬小學(xué)、農(nóng)村校），在試教的過程中，當(dāng)學(xué)生完成了關(guān)于線的相關(guān)問題后（圖1），便按照教材要求完成書本指定的練習(xí)（圖2）。

圖1

練習(xí)與實(shí)踐

1.要把一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要釘幾枚釘子，為什么？

2.從A地到B地有三條路（如圖2），走哪條路最近？

圖2

在兩個生活實(shí)踐題的反饋上，三所學(xué)校學(xué)生的問題幾乎全部一致，知道結(jié)果卻不知道蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)原理。如第一個問題，在試教中，學(xué)生幾乎第一時間內(nèi)不假思索地回答把木條釘在墻上至少需要兩枚釘子，但詢問原因時，學(xué)生皆面面相覷，雖然在我的再三啟發(fā)下，勉強(qiáng)能和線段的知識結(jié)合起來，理由是線段有兩個端點(diǎn)，所以是兩枚釘子，即便如此，但是離標(biāo)準(zhǔn)答案“兩點(diǎn)之間有且只有一條直線”還相差甚遠(yuǎn)。課后，我進(jìn)行抽樣訪談，很多學(xué)生表示知道“兩點(diǎn)之間有且只有一條直線”這句話，但都很為難地表示“真不知道”或是“真想不到”會用在這個生活事例中。

翻閱歐幾里得的 《幾何原本》，“過兩點(diǎn)能且只能作一條直線”作為一條公設(shè)提出，公設(shè)是幾何學(xué)里不需要證明的基本原理，即現(xiàn)代幾何學(xué)的公理，如此淺顯的一條公設(shè)為什么會難住如此多、已富有諸多生活經(jīng)驗(yàn)（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）的六年級學(xué)生。筆者認(rèn)為原因有二：

1.學(xué)習(xí)經(jīng)歷問題

回顧這一公理的得出，在小學(xué)低年級階段，它是依托學(xué)生不斷在兩點(diǎn)間畫直線得到。對于兒童來說，哪怕最淺顯的道理，我們總會讓學(xué)生有經(jīng)歷操作的過程，所謂：“我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了。”但是總復(fù)習(xí)中知識是點(diǎn)狀式分布的，更多的是概念特質(zhì)的抽象再現(xiàn)，剝離了具體的操作，學(xué)生則無法理解具體生活背后抽象的數(shù)學(xué)原理。

2.認(rèn)識水平問題

小學(xué)階段學(xué)生的思維水平由前運(yùn)算階段發(fā)展到具體運(yùn)算階段，這其中還涉及學(xué)生語言思維水平的發(fā)展。生活是豐富多彩的，但其背后蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和空間形式對學(xué)生而言又是極為抽象的，現(xiàn)有思維尚不能支撐其自如地游走在具體的生活世界與抽象的數(shù)學(xué)世界中，學(xué)生無法抽象生活元素，自然無法用語言表達(dá)。

因此在紛繁的現(xiàn)實(shí)生活與抽象的數(shù)學(xué)世界中，必然需要以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為認(rèn)知橋梁，便于學(xué)生整合碎片化的經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的原點(diǎn)式突圍。

二、實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)突圍的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)實(shí)踐

德國哲學(xué)家康德《純粹理性批判》一書中直指“經(jīng)驗(yàn)”的要害說：“人的認(rèn)知絕非僅僅局限在經(jīng)驗(yàn)這個領(lǐng)域內(nèi)。經(jīng)驗(yàn)會告訴人們是什么，卻不會告訴人們它一定會是什么而不會是其他什么，因此知識不會在經(jīng)驗(yàn)中就能夠得到滿足的?！睆倪@個角度而言，經(jīng)驗(yàn)是會對人造成認(rèn)知局限的，同時基于試教時發(fā)現(xiàn)的有經(jīng)驗(yàn)卻無法連接的問題。筆者嘗試將《平面圖形的復(fù)習(xí)》變成實(shí)驗(yàn)課并取名為《跑動的小“·”》，在教學(xué)實(shí)踐中我發(fā)現(xiàn)這樣的創(chuàng)設(shè)，不僅很好地克服了復(fù)習(xí)只是為了喚醒經(jīng)驗(yàn)，知識點(diǎn)狀式再現(xiàn)的單維現(xiàn)象，更創(chuàng)生出了兒童數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再發(fā)生、再發(fā)展、再創(chuàng)造的多維價(jià)值。

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)架在兒童的具體抽象漸變區(qū)，讓理解再豐富

數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特色之一，為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的無縫鏈接，我首先出示課題《跑動的小“·”》，讓學(xué)生讀題，當(dāng)學(xué)生讀到“·”時紛紛既驚喜又疑惑地問：“這是什么呢？”我順勢引導(dǎo)學(xué)生從平面圖形的角度去想并提問：“同一平面上有點(diǎn)A和點(diǎn)B，你想到了什么？試著把你想到的畫下來?！苯又鴮W(xué)生依據(jù)所畫的圖（如圖3）圍繞其特征進(jìn)行了匯報(bào)。我提問：“假如從長度的角度考慮呢？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)：線段AB最短，接著是曲線AB，最后射線AB、射線BA、直線AB都是無限長，我追問：“為什么線段AB最短呢？”由于學(xué)生剛剛重拾了實(shí)驗(yàn)的過程，很容易得到：兩點(diǎn)之間線段最短。我繼續(xù)問：“你見過這樣的生活事例嗎？”有學(xué)生說，在學(xué)比例尺的時候，題目都會說算某個地方到某個地方的直線距離，事實(shí)上我們走的都不是直線距離，是彎彎曲曲的，所以實(shí)際距離更長。我再次提問：“像這樣的線段AB，射線AB，直線AB，你們在生活中見過這樣的事例嗎？”有學(xué)生說，假如一棵樹看成一個點(diǎn)，另外一棵樹看成另外一個點(diǎn)，兩棵樹之間拉一根繩子就是一條線段；還有的說，晾衣服的時候，一個夾子看成一個點(diǎn)，另外一個夾子看成另外一個點(diǎn)，拉直的袖子就能看成一條線段；有學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)，兩個點(diǎn)之間總能確定一條線段，一端無限延長就是一條射線，兩端無限延長就是一條直線。依據(jù)學(xué)生的述說，再出示書本的生活實(shí)踐題，學(xué)生很容易說明其中的數(shù)學(xué)原理。

圖3

通過一個或者幾個生活實(shí)例，可以抽象得到數(shù)學(xué)原理（知識），通過一個數(shù)學(xué)原理（知識）可以解釋多個生活實(shí)例，這是認(rèn)識上的不對等，再加之假如那些事例未必是學(xué)生生活中常有的，這樣就造成了陌生化。在這個環(huán)節(jié)中，我首先用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提取了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué)生通過自己的生活體驗(yàn)找到生活中的模型并加以說明，最后回到解釋書本上指定的生活模型，這樣一來很好地在具體抽象的漸變區(qū)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建立了緩沖帶，讓學(xué)生得以在“具體—抽象—具體”中自由行走，但此刻的“具體”已不再是最初的“具體”了。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)架在兒童認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)，讓認(rèn)識再發(fā)生

圖4

圖5

哲學(xué)家培根在《新工具》一書中說：“經(jīng)驗(yàn)是認(rèn)識的起點(diǎn)、認(rèn)識的依據(jù)，又是整個認(rèn)識過程的伴隨物?！睆倪@個角度而言，經(jīng)驗(yàn)提供給了我們認(rèn)識新事物的方法。為此，我在教學(xué)“角”的環(huán)節(jié)中，繼續(xù)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式幫助兒童拓展數(shù)學(xué)概念。首先，我出示方格子圖說明：“射線AB外有一點(diǎn)C，連接AC，這樣就形成了一個銳角（圖4）。 想一想：假如C點(diǎn)跑起來，還能形成哪些角？”學(xué)生紛紛動手實(shí)驗(yàn)起來。學(xué)生根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，得到了銳角、直角、鈍角、平角、周角（如圖5）。 突然有學(xué)生問：“在C點(diǎn)跑動中，C點(diǎn)0°角和平角之間中出現(xiàn)了很多角都有名稱，而C點(diǎn)跑到平角和周角的區(qū)域中也有很多角，這些角會有名稱嗎？”一石激起千層浪，班上一個閱讀豐富的同學(xué)補(bǔ)充，當(dāng)角大于180°小于360°是優(yōu)角。于是，我指著優(yōu)角追問：“這個是優(yōu)角，那剩下另外一部分度數(shù)的角，你們推論一下叫什么角？”學(xué)生七嘴八舌地議論起來，有學(xué)生說：“劣角。因?yàn)閮?yōu)的反義詞是劣?！蔽铱隙ê罄^續(xù)問：“回憶下我們的實(shí)驗(yàn)過程，你們覺得劣角應(yīng)該是多少度呢？ ”“0°到180°之間。 ”于是，就得到了新的分類標(biāo)準(zhǔn)（圖6）。

圖6

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為：兒童有兩個水平，第一個是現(xiàn)有的發(fā)展水平，第二個是潛在的發(fā)展水平，同時他還指出教學(xué)不應(yīng)該指望于兒童的昨天，而應(yīng)指望于他的明天。在本環(huán)節(jié)中，我繼續(xù)使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，讓點(diǎn)C在方格紙上“跑”起來，學(xué)生依據(jù)舊經(jīng)驗(yàn)得到了各種學(xué)過的角的同時，還依據(jù)實(shí)驗(yàn)推論得出了未知領(lǐng)域的新發(fā)現(xiàn)，這是學(xué)習(xí)的勇氣和智慧?！拔覀儼呀?jīng)驗(yàn)用作跳板，跳向一個新的發(fā)現(xiàn)，然而，經(jīng)驗(yàn)在擺脫掉舊觀念加諸于它的那些限制后，卻充滿了推論?！边@樣的推論給了知識以新生并賦予經(jīng)驗(yàn)深度和廣度，最大限度地?cái)U(kuò)充了兒童的認(rèn)知視閾。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)架在兒童經(jīng)驗(yàn)密集整合區(qū)，讓經(jīng)驗(yàn)再創(chuàng)變

杜威說：“經(jīng)驗(yàn)的過程也是生命的過程、探究的過程，它內(nèi)含著自主推論、聯(lián)結(jié)等主體內(nèi)容?！痹诂F(xiàn)有知識經(jīng)驗(yàn)下，學(xué)生看事物往往都是割裂的，為了打破經(jīng)驗(yàn)的邊界，實(shí)現(xiàn)知識的聯(lián)結(jié)與創(chuàng)變，我設(shè)計(jì)了讓點(diǎn)C“跑”起來的三角形實(shí)驗(yàn)（圖7）。

我首先讓學(xué)生思考：1.確定一條與線段AB的平行線，點(diǎn)C在平行線上跑，想想能得到哪些三角形？2.點(diǎn)C在一條垂直于線段AB且把線段AB平均分的直線上跑，想想能得到哪些三角形？在匯報(bào)過程中，有的學(xué)生說：“點(diǎn)C在平行線上跑，可以得到銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。”接著有學(xué)生補(bǔ)充發(fā)現(xiàn)：“運(yùn)氣好的話，也能得到等腰三角形或者等邊三角形，主要看平行線和線段AB的距離?！苯又钟袑W(xué)生說：“點(diǎn)C在中間的線上跑得到的都是等腰三角形，運(yùn)氣好的話能得到等邊三角形?！蔽易穯枺骸澳阌X得是可能得到還是一定會得到？為什么？”學(xué)生說：“既然能出現(xiàn)等腰三角形，必然有等邊三角形，因?yàn)榈妊切伟ǖ冗吶切?。”還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)說：“銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形不是截然分開的，只是看的角度不同。例如：等邊三角形肯定是銳角三角形，圖中（如圖7）點(diǎn)C在中間的線上跑所有的都是等腰三角形，也能出現(xiàn)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形?！庇谑牵械膶W(xué)生發(fā)現(xiàn)了：等腰直角三角形，等腰銳角三角形，等腰鈍角三角形。

圖7

鄭毓信教授說：“數(shù)學(xué)知識，不在于求全，在于求聯(lián)?！比切蔚姆诸愔行枰罅康娜切蔚募?xì)分概念參與，但是學(xué)生很少能整合起來看三角形的屬性問題，對其辨識都是“不是……就是……”的二元對立，而不是“既是……又是……”的多維視角，通過跑動的點(diǎn)C數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅再一次經(jīng)歷了幾何意義上的三角形的形成，在發(fā)展空間觀念、深化概念的同時，更讓沉寂已久的經(jīng)驗(yàn)如同一個個活躍的小分子相互撞擊、相互作用，形成了新的產(chǎn)物。正如杜威而言，那種“充滿活力”的經(jīng)驗(yàn)是實(shí)驗(yàn)性的并力圖達(dá)到未知事物的特征。

4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)架在兒童思維量變質(zhì)變區(qū)，讓思維再深刻

圖8

圖9

學(xué)生在六年的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。為了經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)發(fā)酵突變，我繼續(xù)以跑動的“·”為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，只不過這次出現(xiàn)C、D兩點(diǎn)。我提問：“線段AB外有C、D兩點(diǎn)，連接A、B、C、D，可以得到哪些我們學(xué)過的平面圖形？”學(xué)生實(shí)驗(yàn)后得到如圖8。他們發(fā)現(xiàn)：梯形最容易得到，只要CD與AB平行就好；平行四邊形在梯形的基礎(chǔ)上讓上底與下底變得一樣長；長方形在平行四邊形的基礎(chǔ)上加鄰邊垂直；正方形最麻煩，在長方形的基礎(chǔ)上加鄰邊長度相等，條件最多。由此，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)便得到各圖形的概念特征，為了繼續(xù)深入，我接著先出示第一個梯形ABCD（圖9），緊接著出示第二個、第三個，提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生說：“C、D兩點(diǎn)越來越近了?！蔽易穯枺骸安孪胍幌?，CD越來越近了，會變成什么呢？”生：“三角形?！蔽易穯枺骸斑@個過程你發(fā)現(xiàn)了什么？”有學(xué)生說，三角形來源于梯形。有學(xué)生說，三角形和梯形有聯(lián)系。我暗示：“聯(lián)系以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你覺得有什么更深的聯(lián)系呢？”在我的啟發(fā)下，有學(xué)生從面積計(jì)算公式角度進(jìn)行了思考，得出了梯形面積計(jì)算公式和三角形面積計(jì)算公式的相通處。緊接著我提問：“D點(diǎn)不動，C點(diǎn)往右跑，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？”學(xué)生順勢馬上得出了平行四邊形面積計(jì)算公式和梯形面積計(jì)算公式的相通之處，實(shí)現(xiàn)了面積計(jì)算公式的化歸。

圖10

香港大學(xué)教育心理學(xué)教授比格斯首創(chuàng)的“SOLO”分類評價(jià)理論認(rèn)為，某個問題的學(xué)習(xí)結(jié)果可以由低到高劃分為五個層次：前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象拓展結(jié)構(gòu)，其中前三個層次是基礎(chǔ)知識的積累，后兩個層次是理論思維的飛躍?；仡櫼酝膹?fù)習(xí)，更多的是集中在前三個層次的原點(diǎn)式復(fù)習(xí)，經(jīng)驗(yàn)的原點(diǎn)式打轉(zhuǎn)，為此讓學(xué)生通過四邊形的實(shí)驗(yàn)操作，不僅找到了平面圖形之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了對面積計(jì)算公式的突破性理解，更猶如一根導(dǎo)火索點(diǎn)燃了思維的火焰，讓經(jīng)驗(yàn)在推理的作用下走向了思維的質(zhì)變，獲得了更為豐富的、擴(kuò)大的意義。

馬克思說，實(shí)踐意味著對實(shí)踐本身的突破。從這個意義上說，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在被看作是幫助兒童構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的有效手段的同時，更應(yīng)看到其在已有經(jīng)驗(yàn)拘囿下突圍的積極意義，這不只是一種從無到有的建構(gòu)，更是一個由舊到新的發(fā)展創(chuàng)變歷程。正如杜威所言：“教育是經(jīng)驗(yàn)的改造與改組，是由于經(jīng)驗(yàn)和為著經(jīng)驗(yàn)的一種發(fā)展過程?！本妥屛覀冄刂鴥和瘮?shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的每一個關(guān)鍵區(qū)，建設(shè)一座座數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的橋梁，看著他們“自由地從一道瀑布迅速地跳到另一道瀑布?！?

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