“平方差公式”的教學設計與分析

梁貽勤

【摘要】教師在教學“平方差公式”時要利用大量的素材，讓學生通過探究學習，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解公式的現(xiàn)實意義；注重公式的本質(zhì)教學，加強拓展訓練，以“提升學生思維，培養(yǎng)應用能力”為教學目標。

【關鍵詞】平方差公式 素材 本質(zhì) 訓練

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03A-0125-02

“平方差公式”的學習建立在有理數(shù)運算、整式分式運算、一次方程及乘法等知識的基礎之上，是從一般到特殊的認知規(guī)律的范例。學習平方差公式，不僅可以簡化整式的乘法運算，還可以為后續(xù)的公式學習提供借鑒。

對于平方差公式的教學，教師需要遵從學生的認知規(guī)律，首先利用豐富的教學素材，激發(fā)學生的興趣，使學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后把握公式的核心，幫助學生從本質(zhì)上理解公式，最后開展深化練習，使學生充分掌握公式。

一、利用素材，探究學習規(guī)律

數(shù)學從某種意義上來說是一門特殊的學科，數(shù)學知識是從具體的情境中總結(jié)出來的，是從眾多對象中發(fā)現(xiàn)的共性規(guī)律。教師在教學中要做好引導工作，給學生提供充足的素材，幫助學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學生產(chǎn)生歸納意識，實現(xiàn)從自發(fā)思考到自覺思考的過渡。

例如，在教學“平方差”時，可以進行如下設計：

（1）一位狡猾的地主將一塊邊長為a的正方形土地租借給李老漢耕種。第二年，地主提出把土地縱向增加5米，橫向減少5米，土地租金不變。你認為李老漢是否吃虧？可以用怎樣的數(shù)學式子來表示？

（2）計算（p+q）（p-q）和（2x-1）（2x+1），你從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

將生活中的情景作為課堂引入可以充分激發(fā)學生的學習興趣，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程并從中總結(jié)出數(shù)學規(guī)律。

接下來教師可以增設滿足平方差公式的形象素材，讓學生運用總結(jié)的規(guī)律進行填空，進一步認識數(shù)學規(guī)律，增加教學意義。筆者給學生出示了如下例題。

運用上述式子的規(guī)律進行填空：

（△+☆）（△-☆）=_________________；

（月+亮）（月-亮）=_________________；

（X+Y）（X-Y）=_________________；

（□+○）（□-○）=_________________。

學生借助算式總結(jié)規(guī)律，教師引導學生運用規(guī)律進行形象化的圖形填空，使得學生進一步了解平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，學生體驗從發(fā)現(xiàn)規(guī)律到使用規(guī)律的過程，也可以充分認識到平方差的實際意義。

新知的學習需要教師引入大量的教學素材，為學生的學習搭建平臺。教師在引入素材后要基于知識生成的邏輯規(guī)律來排列組合，通過引導設問，幫助學生建立對平方差的認識。

二、數(shù)形結(jié)合，揭示規(guī)律本質(zhì)

數(shù)學知識的學習要透過表象深入本質(zhì)，課堂教學也應該以揭示數(shù)學規(guī)律的本質(zhì)為出發(fā)點，引導學生探究知識的本源。在教學平方差公式時，教師要從公式的本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，將自身對知識的體驗與認識采用合理的方式傳達給學生，幫助學生深刻體會知識的核心思想。

平方差公式是學生在學習了“單項式乘以單項式”“單項式乘以多項式”以及“多項式乘以多項式”之后學習的乘法公式，它是“多項式乘以多項式”的一種特殊情形。筆者認為，將平方差公式作為一個特定的公式加以學習的原因如下：它符合公式的便利特征，可簡化運算；學習平方差公式的過程可為后續(xù)的學習提供知識基礎，如之后將要學習的“公式法分解因式”“分式的化簡”等；可以借鑒平方差公式的探究過程及方法學習“完全平方公式”。

（一）內(nèi)容形式

內(nèi)容形式是掌握公式的基礎，課堂教學要注重平方差公式的內(nèi)容表達。平方差公式指“兩數(shù)之和與這兩個數(shù)之差的乘積等于這兩個數(shù)的平方差”，用數(shù)學符號可以概括為（a+b）（a-b）=a2-b2，教師在實際教學中可以借助形象的圖形來幫助學生理解（如圖1），圖形可以清晰地揭示平方差公式的合理性。學生對于抽象數(shù)學公式的認識還較為模糊，教師在教學中通過“文字描述”“符號概況”“圖形表達”三種方式來揭示公式的本質(zhì)，對于學生理解及掌握知識有極大幫助。

（二）數(shù)學思想

在探究數(shù)學問題時需要對問題的某些特例進行深入研究，即數(shù)學中的“特殊化”思想。教師在教學“平方差公式”時要注意向?qū)W生傳達該公式是建立在“多項式乘以多項式”的基礎之上的，它不僅是數(shù)學公式，同時還體現(xiàn)了從“一般”到“特殊”的研究方法。如教師在教學中將平方差公式進行拆分，（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，讓學生分析左右兩邊的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，即左邊為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積（多項式乘以多項式），右邊為兩數(shù)的平方差。這樣的教學方式，不僅可以使學生充分理解并掌握平方差公式，還可以幫助學生理解公式的特殊化思想。

與此同時，教師在教學中還應向?qū)W生傳達歸納思想，平方差公式是在觀察一系列具有相同結(jié)構(gòu)特征的“多項式乘以多項式”后，通過歸納該“結(jié)構(gòu)特征”，總結(jié)出來的相同的規(guī)律。教師在教學中可以設置圖2所示的多項式，讓學生通過計算，發(fā)現(xiàn)算式的結(jié)構(gòu)特征并總結(jié)規(guī)律，從而深刻理解歸納思想。

三、拓展運用，深化規(guī)律訓練

“先學后做”的教學理念要求課堂教學應該是“知識學習”與“訓練鞏固”相結(jié)合的完整過程，必要的拓展訓練可以使學生改變原有的“程序性”記憶陋習，知識的講授不應該培養(yǎng)機械思維，技能的形成要通過多次的拓展訓練。在教學“平方差公式”時也需要進行針對性訓練，幫助學生掌握公式，形成靈活變通的思維方式，學以致用。

例如，教師為進一步培養(yǎng)學生解題思路設計如下兩道題：①98×（-102）；②（x+2）（x-2）-（x-1）（x+5）。教師首先引導學生對算式進行整體觀察，確認是否可以采用平方差公式進行簡便計算，可進行變形轉(zhuǎn)化的題目則將其變形，不能采用公式的題目要嚴格按照多項式乘法進行求解。第一題可以使學生形成“兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積的形式，然后運用平方差公式計算”的解題思路，該題目的設置可以幫助學生深化轉(zhuǎn)化思想，理解數(shù)式的通性。第二題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合題，對于培養(yǎng)學生的綜合解題能力極為有利。教學平方差公式還應該注意提升學生的逆向思維，教師可以設置這樣的填空題：①（5x+2y）（ ）=25x2-4y2；②（ ）（ ）=81-a2。通過訓練，學生從正反兩方面靈活運用平方差公式，從而深刻理解了公式的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)散了思維。在拓展應用的練習階段，教師則有必要結(jié)合生活實際設計問題，例如：小紅家有一塊呈“L”形的菜地（如圖3），現(xiàn)要將該菜地分成面積、形狀相同的兩部分并種上不同的蔬菜，請你來幫忙設計，并計算該菜地的總面積。該題目的設計與平方差公式的幾何意義相一致，學生通過求解可以體會到運用平方差公式解決實際問題的便利，體會“數(shù)學源于生活又服務于生活”的思想。

學生在學習過程中過度模仿容易造成思維定式，缺乏針對性或者簡單的重復訓練則會讓學生陷入機械訓練。教師要針對學生的思維開展針對性訓練，使學生進一步理解平方差公式，拓展思維，提升學生的解題能力；同時需結(jié)合生活實例，培養(yǎng)學生的應用思想，為學生之后的學習打下基礎。

總之，平方差公式是多項式乘法運算中特殊形式的多項式乘法公式，它對于簡便運算具有極大的幫助；“平方差公式”的教學可以為之后的公式學習提供教學參考，教師在教學時應加以重視。教師在教學中應有效利用素材，開展探究學習，幫助學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感知平方差公式；揭示公式本質(zhì)，讓學生從內(nèi)容和思想上理解公式的核心；開展拓展練習，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，提升學生的應用能力。

【參考文獻】

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[2]涂愛玲，梁艷云.代數(shù)類新知課“平方差公式”四環(huán)節(jié)教學模式例析[J].廣西教育，2016（48）

（責編 劉小瑗）