增量理論下J積分路徑無關性的數(shù)值檢驗

曾天奇

重慶交通大學 重慶 400074

正文：

在增量理論下J積分與積分路徑是否相關是一個很有意義且困難的問題：首先在于數(shù)學上的高度非線性性質，一方面，在裂紋頂端的高應力塑性區(qū)中，應變的數(shù)量具有1的量級，不能再當作微量，因而使問題變?yōu)閹缀畏蔷€性的有限變形問題。另一方面，在裂紋失穩(wěn)擴展前，常常存在著一個穩(wěn)定擴展階段，裂紋穩(wěn)定擴展的尺寸可與起裂前的塑性區(qū)尺寸相比擬。在斷裂的這一階段中，裂紋頂端地區(qū)不斷撕裂，造成該地區(qū)應力、應變場的強烈擾動，一部分塑性區(qū)發(fā)生卸載，以后又重新加載。因而常變量強烈地依賴于應力歷史，全量理論已不適用，而必須采用增量形式的本構方程來描述材料。將這樣的增量方程與原有的基本微分方程相耦合，構成一組非線性方程。在很難求出解析解的情況下，采用增量有限元數(shù)值法作出這一問題的一些數(shù)值試驗。

1 基本的增量方程和本構關系

考慮直交坐標系，且設ai、xi分別為參考態(tài)和現(xiàn)實態(tài)中的質點

坐標，vi為速度分量，又變形速度張量為

旋轉速度張量為

其中“ ”表示物質時間導數(shù)。一般有

采用如下的速率平衡方程，即

下面構作Euler格式的有限元法基本方程。首先，在現(xiàn)時態(tài)構形上劃分元素，設為節(jié)點速度，各表示元素中一點的速度分量和變形速率。一般有

可得下列的增量有限元法方程

其中

節(jié)點荷載速率為

或寫為

在具體計算中，僅考慮與應變速率無關的各向同性硬化Prandtl-Reuss材料，此時速率本構矩陣僅與材料特性及應力狀態(tài)有關。適用于有限變形的由下面的式子決定：對于塑性加載有：

對于彈性加載或塑性卸載，則為

應力狀態(tài)的判定要計及應力歷程的影響，且依據(jù)Von-Mises屈服準則

2 計算模型和數(shù)值結果

圖1

在計算中，采用初應力迭代法，必要時輔以加速收斂的方法。為了考核計算方法和程序，計算如圖1所示的中心裂紋薄板。因結構對稱，故只需要計算其結構。考慮到使用的是等應力三角形元素，在裂紋頂端附近，元素的線性尺寸取得較小，約為初始裂紋長度的。材料參數(shù)選取為

表1 最大等效應力隨外荷載的變化

表1 最大等效應力隨外荷載的變化

首先進行J進發(fā)，裂紋嘴張開唯一COD及線彈性下裂紋擴展力的計算，以便比較驗證。計算時采用下列公式，即

計算結果見表2

表2 J ，COD和G1的計算值（n=10）

接著對不同的n，選取三條完全任選的路徑，有的完全在塑性區(qū)，有的部分在塑性區(qū)，有的在彈性區(qū)中，記為Γ1、Γ2、Γ3。計算后得到表3、表4、表5。其中Ji是對應于Γi的值。

表3 J的計算值，n=10

表3 J的計算值，n=10

?

表4 J的計算值 ，n=2

表5 J的計算值 ，n=3

從以上表格可以看見，直到大范圍屈服，J關于各種不同的路徑具有非常接近的計算值。

3 結論

關于靜裂紋的情況所做上述數(shù)值試驗的結果表明J積分值對路徑的相關性是難以察覺的。可以得出，在增量理論下J積分與積分路徑無關。