設(shè)計(jì)輔助齒抑制永磁同步直線電機(jī)端部效應(yīng)

□ 張 弛 □ 湯廷孝 □ 鄧益民

寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院 浙江寧波315211

1 概述

直線電機(jī)可以直接將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能并輸出直線運(yùn)動(dòng)。直線電機(jī)的使用，簡(jiǎn)化了機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，由于其可靠性好、系統(tǒng)維護(hù)簡(jiǎn)單，故在交通運(yùn)輸、數(shù)控加工、物流傳送等領(lǐng)域都有應(yīng)用［1］。永磁同步直線電機(jī)具有推力密度大、效率高、控制精度高、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)，在超精度加工領(lǐng)域前景廣闊。

然而，永磁同步直線電機(jī)也具有一定的局限性，由于直線電機(jī)鐵心前后端部和永磁體磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生磁阻力，磁阻力帶來(lái)端部推力和端部法向力，統(tǒng)稱為端部效應(yīng)力。直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，變化的端部效應(yīng)力造成直線電機(jī)的機(jī)械振動(dòng)，影響電機(jī)的工作精度和使用壽命。

針對(duì)這種情況，沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)的彭斌等［2-3］提出采用端部V型結(jié)構(gòu)的方法，減少磁阻力波動(dòng)，并取得了較好的效果。一些學(xué)者［4-6］提出增加輔助極的方法，減少端部法向力波動(dòng)，采用有限元法討論了不同尺寸端部輔助齒的影響，但沒有定量的分析。通過(guò)計(jì)算，推導(dǎo)出端部定位力最小值時(shí)，輔助極相關(guān)尺寸表達(dá)式。漢諾威大學(xué)的Jastrzembski等［7］提到在直線電機(jī)端齒部制造倒角的方法抑制推力波動(dòng)。Kim等［8］提出電機(jī)端部采用弧形齒的方案，并且通過(guò)田口方法進(jìn)行優(yōu)化。然而，若此結(jié)構(gòu)應(yīng)用在初級(jí)鐵心上，過(guò)長(zhǎng)的端部弧形齒顯然增加了電機(jī)的尺寸。朝鮮大學(xué)的Kim等［9］分析了階梯狀分布的端部輔助齒結(jié)構(gòu)對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)的影響。Jang等［10］從減少直線電機(jī)循環(huán)電流的角度出發(fā)，對(duì)電機(jī)端部進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者通過(guò)圖解和公式計(jì)算對(duì)端部力進(jìn)行了詳細(xì)的分析，得出端部推力波動(dòng)可以分解為多個(gè)正弦或余弦波，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證［11-13］。Wu Xiaoyan等［14］通過(guò)計(jì)算，對(duì)電機(jī)的整體尺寸進(jìn)行優(yōu)化，以減小推力波動(dòng)、增加電機(jī)推力密度為目標(biāo)，提出一種新型永磁同步電機(jī)。

目前，大多數(shù)關(guān)于直線電機(jī)端部效應(yīng)力波動(dòng)抑制的研究將端部力產(chǎn)生的波動(dòng)簡(jiǎn)化為正弦或余弦波，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行初級(jí)諧波或多級(jí)諧波的削弱［6，12］。但是，這樣的方法只能消除端部力波動(dòng)中所占比例較大的波動(dòng)，簡(jiǎn)化的本身也會(huì)帶來(lái)誤差。

筆者提出的端部效應(yīng)力削弱方案，考慮到在永磁同步直線電機(jī)實(shí)際工作時(shí)，由于永磁材料的非線性、鐵心磁導(dǎo)的變化等原因［15］，端部效應(yīng)力表現(xiàn)為類正弦（余弦）形式［13，16-17］，提出端部添加多齒結(jié)構(gòu)輔助齒來(lái)抑制力的波動(dòng)。該方案具有很強(qiáng)的實(shí)用性，適用于多種永磁同步直線電機(jī)，且避免了大量的理論計(jì)算，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于加工。

2 端部效應(yīng)力的數(shù)學(xué)建模

2.1 端部推力的分析

永磁同步直線電機(jī)的永磁體按照一定規(guī)律排列，在不同位置磁場(chǎng)分布存在差異，磁感線以極距τ為直徑或長(zhǎng)軸，在平面上圍成圓或橢圓，如圖1所示，永磁體上的箭頭表示永磁體的充磁方向，動(dòng)子鐵心在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其端部所受磁阻力呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，且鐵心前后端推力的周期、振幅相同，方向相反。按照動(dòng)子鐵心的移動(dòng)方向，鐵心前端受力為正方向，后端為負(fù)方向，鐵心后端的推力總是阻礙電機(jī)的移動(dòng)。

▲圖1 直線電機(jī)磁通示意圖

沿著電機(jī)移動(dòng)方向，直線電機(jī)前端所受端部推力可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示為［11］：

式中：F0為基準(zhǔn)力；Fsn為sin函數(shù)表達(dá)的曲線波動(dòng)力；Fcn為cos函數(shù)表達(dá)的曲線波動(dòng)力；x為位移；Ft+為前端端部推力；Ft-為后端端部推力。

Δ=L-kτ，L為永磁同步直線電機(jī)的軸向長(zhǎng)度，即動(dòng)子鐵心的長(zhǎng)度，k為整數(shù)，τ為極距。

將式（1）代入式（2），得直線電機(jī)后端端部推力：

從以上分析可知，永磁同步直線電機(jī)的前、后端端部推力波動(dòng)均以極距τ為周期，波形為類正弦（余弦）波。通過(guò)改變直線電機(jī)軸向長(zhǎng)度L，控制Δ的大小，使前后端部力在一定程度上相互抵消，達(dá)到抑制推力波動(dòng)的目的。但是，為了確定Δ的值，需要進(jìn)行大量的計(jì)算。

2.2 端部法向力的分析

直線電機(jī)端部法向力的波動(dòng)不僅會(huì)給直線電機(jī)帶來(lái)振動(dòng)和噪聲，還會(huì)在電機(jī)上產(chǎn)生力矩，給電機(jī)帶來(lái)俯仰運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，在電機(jī)導(dǎo)軌產(chǎn)生附加的非線性摩擦力，影響電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行。因此，對(duì)于端部法向力的研究非常重要，下面通過(guò)對(duì)電機(jī)永磁體磁通的研究建立端部法向力相關(guān)力學(xué)公式。

由于永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空間中按照一定規(guī)律分布，動(dòng)子鐵心在變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生變化的端部力。假設(shè)空氣和永磁體的磁導(dǎo)率相同，排列的永磁體產(chǎn)生穩(wěn)定的磁場(chǎng)，磁感線以τ為周期呈圓形分布，如圖1所示。動(dòng)子鐵心移動(dòng)時(shí)，穿過(guò)法向端面的磁通可由磁通曲線 Φ（x）近似表示，將其傅里葉展開［13］：

式中：Φm為經(jīng)過(guò)動(dòng)子鐵心邊緣磁通量的最大值。

在空間里，單位體積的磁場(chǎng)儲(chǔ)能wm可以表示為：

式中：B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度；μ0為真空條件下的磁導(dǎo)率；Φ為經(jīng)過(guò)動(dòng)子鐵心縱向邊緣的磁通；S為磁感線在鐵心縱向表面所圍面積。

當(dāng)動(dòng)子鐵心經(jīng)過(guò)一個(gè)極距長(zhǎng)度τ時(shí)，氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能發(fā)生了變化，儲(chǔ)能變化量為Wm：

式中：le為動(dòng)子鐵心疊壓厚度；δ′為氣隙長(zhǎng)度；V為氣隙體積；l1為經(jīng)過(guò)鐵心縱向邊緣又返回永磁體的那部分磁感線在永磁體橫向所占的長(zhǎng)度，l1=K1τ，K1為磁通壓縮系數(shù)。

聯(lián)立式（4）和式（6），氣隙儲(chǔ)能變化量Wm可表示為：

沿著動(dòng)子鐵心運(yùn)動(dòng)的方向，動(dòng)子鐵心前端所受端部法向力Ff+可表示為：

動(dòng)子鐵心后端面的受力Ff-與之類似，可表示為：

通過(guò)分析可知，永磁同步直線電機(jī)前后端法向力波動(dòng)僅初相位不同，波動(dòng)同樣以極距τ為周期。對(duì)端部法向力和推力波動(dòng)進(jìn)行抑制時(shí)，若使Δ=τ/2，直線電機(jī)的前后端法向力大小相等、方向相反，可在最大程度上相互抵消；然而，方向相反的法向力位于電機(jī)前后端，產(chǎn)生力矩，會(huì)給電機(jī)運(yùn)行帶來(lái)了新的問(wèn)題。若使Δ=τ，則Ff+（x）=Ff-（x），直線電機(jī)前后端端部法向力同向，不會(huì)為電機(jī)帶來(lái)額外力矩，但同向端部力相互疊加后，合力的大小達(dá)到單邊力的兩倍，波動(dòng)增加。

可見，通過(guò)調(diào)整電機(jī)橫向尺寸L來(lái)削弱端部法向力，存在著一定的局限性。

3 新型輔助齒抑制端部效應(yīng)力

對(duì)于不同的永磁同步直線電機(jī)，在電機(jī)空載運(yùn)行時(shí)，其力的波動(dòng)波形不盡相同，但其端部法向力和端部推力都以極距τ作為周期，且波形規(guī)則。通過(guò)實(shí)際測(cè)試和仿真，永磁同步直線電機(jī)單端的端部推力和端部法向力波形圖近似如圖2和圖3所示［13］。

▲圖2 單端端部推力波動(dòng)圖

▲圖3 單端端部法向力波動(dòng)圖

永磁同步直線電機(jī)動(dòng)子鐵心在移動(dòng)時(shí)，在永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)中受到磁阻力，這是端部力產(chǎn)生的根本原因。根據(jù)以上分析，可以確定端部推力和法向力的波動(dòng)都遵循以極距τ為周期的規(guī)律，根據(jù)這一規(guī)律，結(jié)合端部效應(yīng)力類似正弦（余弦）波的形式，如果永磁同步直線電機(jī)在移動(dòng)過(guò)程中能產(chǎn)生多個(gè)僅初相位不同的波動(dòng)力，且將這些波動(dòng)力按照一定規(guī)律相互疊加，則可以相互抵消，從而有效抑制力的波動(dòng)。

以圖2和圖3所示電機(jī)單端的端部推力和端部法向力波動(dòng)為例，分析在一個(gè)極距τ內(nèi)，初相位不同的力相互疊加對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)的影響。

端部力波動(dòng)疊加效應(yīng)情況如表1所示。其中，n1條力的波動(dòng)相互疊加時(shí)，相鄰波動(dòng)之間的初相位差為τ/n1。為了更好地研究波動(dòng)相互疊加后的情況，以波動(dòng)因子KF為衡量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究：

式中：Fmax為波動(dòng)力的最大值；Fmin為波動(dòng)力的最小值；ΔF為n1=1時(shí)波動(dòng)力的最大值與最小值差的絕對(duì)值。

表1 端部力波動(dòng)疊加表

由表1可知，將端部波動(dòng)力按照一定的方式進(jìn)行疊加，可以有效抑制端部推力和端部法向力的波動(dòng)，且在一個(gè)極距內(nèi)，隨著端部力疊加的越多，力的波動(dòng)越小。理論上，當(dāng)端部效應(yīng)力波動(dòng)疊加到一定數(shù)量時(shí)，力的波動(dòng)可以完全忽略不計(jì)。

對(duì)于端部推力波動(dòng)，由于左右端的推力方向相反，電機(jī)前后端推力波動(dòng)相互疊加后可以在一定程度上相互抵消。對(duì)于端部法向力波動(dòng)，經(jīng)過(guò)疊加后左右端部法向力波動(dòng)減少，由于左右端力的方向相同，產(chǎn)生的力矩可忽略不計(jì)。經(jīng)過(guò)疊加，力的恒定分量增大，端部法向力的恒定分量和電機(jī)導(dǎo)軌的支撐力能夠相互抵消。

基于以上分析，為了得到初相位不同的波動(dòng)力，采用端部多齒結(jié)構(gòu)，在直線電機(jī)端部制造多個(gè)平面，如圖4所示。為了避免齒與齒、齒與初級(jí)鐵心內(nèi)部磁場(chǎng)相互耦合，齒與齒之間采用非鐵磁性材料連接。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)輔助齒上產(chǎn)生的波動(dòng)相互抵消，達(dá)到削弱端部力波動(dòng)的效果。

▲圖4 端部輔助齒示意圖

4 有限元驗(yàn)證與分析

選擇12槽10極永磁同步直線電機(jī)進(jìn)行有限元分析，為了研究直線電機(jī)端部效應(yīng)力，并探究輔助齒的齒數(shù)和齒寬對(duì)端部力波動(dòng)的影響，采用Maxwell仿真軟件。圖5為不帶輔助齒的直線電機(jī)，其相關(guān)參數(shù)見表2。

4.1 輔助齒數(shù)對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)影響的仿真分析

▲圖5 永磁同步直線電機(jī)筒化結(jié)構(gòu)

表2 不帶輔助齒的直線電機(jī)參數(shù)mm

利用有限元法，對(duì)輔助齒齒數(shù)由一到兩齒的永磁同步直線電機(jī)進(jìn)行仿真，不帶輔助齒的直線電機(jī)作為對(duì)照。當(dāng)齒數(shù)為N時(shí)，輔助齒和電機(jī)端部共產(chǎn)生N+1（n1=N+1）個(gè)端部平面，N+1個(gè)端部平面分布在長(zhǎng)度為一個(gè)極距τ的范圍內(nèi)，相鄰齒平面相距τ/（2+N），本次仿真中，輔助齒厚hf為6 mm。輔助齒材料與動(dòng)子鐵心相同。

在永磁同步直線電機(jī)的瞬態(tài)仿真中，電機(jī)運(yùn)行距離為2τ，端部效應(yīng)力仿真結(jié)果如圖6和圖7所示（對(duì)于端部法向力波動(dòng)，為了研究方便，仿真結(jié)果減去了一個(gè)恒定分量，每個(gè)波動(dòng)中，最小值點(diǎn)相同）。

從圖6和圖7中可以看出，在無(wú)輔助齒時(shí)，端部推力和端部法向力波動(dòng)均呈周期性變化，在兩個(gè)極距內(nèi)波動(dòng)了兩次，說(shuō)明電機(jī)的推力波動(dòng)的確以極距τ為周期。

當(dāng)輔助齒齒數(shù)由零增加至二時(shí)，電機(jī)波動(dòng)幅值隨著齒數(shù)的增加，即端部平面的增加而下降，一齒和兩齒時(shí)永磁同步直線電機(jī)的端部推力波動(dòng)因子KF1分別為59.3%和22.4%，和上文波動(dòng)力疊加后波動(dòng)因子變化結(jié)果基本相同。此外，在端部一齒時(shí)，端部推力波動(dòng)的波峰和波谷下凹和上凸，表現(xiàn)出疊加的特征。在端部?jī)升X時(shí)，周期由τ變?yōu)榻频摩?3，符合力的波動(dòng)相互疊加后的結(jié)果?？梢?，通過(guò)使用多齒結(jié)構(gòu)制造端部平面的方法，可以使多組波動(dòng)力相互疊加并相互抵消，有效抑制永磁同步直線電機(jī)的端部推力波動(dòng)。

然而，值得注意的是，一齒和兩齒時(shí)永磁同步直線電機(jī)的端部法向力波動(dòng)因子KF2分別為82.46%和73.6%，且端部法向力的周期基本不變。采用端部多齒結(jié)構(gòu)，可以在一定程度上抑制端部法向力，但端部輔助齒齒數(shù)的變化，不改變法向力的周期。

▲圖6 直線電機(jī)端部推力波動(dòng)圖

▲圖7 直線電機(jī)端部法向力波動(dòng)圖

本次仿真中僅僅考慮一齒、兩齒時(shí)電機(jī)的端部效應(yīng)力，因?yàn)樵谝粋€(gè)極距范圍內(nèi)，隨著齒數(shù)的增加，齒與齒之間的距離減少，彼此之間磁場(chǎng)相互干擾，導(dǎo)致輔助齒磁場(chǎng)的分布發(fā)生變化。圖8為輔助齒厚為4 mm時(shí)，不同輔助齒的磁通密度分布圖，當(dāng)電機(jī)在如圖所示的位置時(shí)，相比于端部輔助齒齒數(shù)為一和二，在齒數(shù)為三的情況下，最內(nèi)側(cè)輔助齒周圍磁場(chǎng)幾乎被隔絕，導(dǎo)致其無(wú)法產(chǎn)生產(chǎn)生足夠的磁阻力，影響輔助齒對(duì)波動(dòng)力的抑制。

▲圖8 端部輔助齒磁通密度分布圖

在本例中，為了防止輔助齒之間相互干擾，當(dāng)端部輔助齒齒數(shù)為二時(shí)，對(duì)永磁同步直線電機(jī)端部效應(yīng)力波動(dòng)的抑制最佳。

4.2 輔助齒厚度對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)影響的仿真分析

探究輔助齒厚hf對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)的影響，在端部輔助齒齒數(shù)為二的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化分析。圖9和圖10為輔助齒齒厚hf由3 mm變化到7 mm時(shí)，永磁同步直線電機(jī)的端部推力和端部法向力波動(dòng)情況。

由圖9和圖10可知，當(dāng)電機(jī)輔助齒厚度改變時(shí)，端部推力波動(dòng)周期和振幅變化，端部法向力波動(dòng)的周期基本不變，振幅改變，這說(shuō)明輔助齒的厚度對(duì)推力波動(dòng)的周期和振幅影響較大，但僅對(duì)法向力波動(dòng)的振幅產(chǎn)生影響。

由圖9和圖10還可以看出，從輔助齒齒厚4 mm開始，隨著齒厚的增加，端部推力波動(dòng)和端部法向力波動(dòng)的幅值逐漸減??；當(dāng)輔助齒厚度在5～6 mm時(shí)，端部效應(yīng)力波動(dòng)最小。其中，當(dāng)齒厚為6 mm時(shí)，端部推力波動(dòng)正反向峰值最??；當(dāng)齒厚為5 mm時(shí)，端部法向力波動(dòng)正反向峰值最小，之后，隨著齒厚的增加，力的波動(dòng)增加。

對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，當(dāng)齒厚較小時(shí)，端部輔助齒極易發(fā)生磁飽和，其對(duì)端部力的抑制作用較弱。當(dāng)齒厚較大時(shí)，由于齒與齒之間的間隔太小，彼此之間磁場(chǎng)相互影響，如圖11所示。隨著輔助齒齒厚的增大，相鄰齒之間的磁力線明顯增加。輔助齒周圍磁場(chǎng)分布發(fā)生較大的變化，導(dǎo)致端部力波動(dòng)增加。

根據(jù)以上分析，在本例中，當(dāng)輔助齒厚度在5～6 mm，對(duì)永磁同步直線電機(jī)端部法向力波動(dòng)的抑制達(dá)到最佳。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)理論分析和有限元仿真，提出了一種抑制永磁同步直線電機(jī)端部效應(yīng)力波動(dòng)的方法，并得到了如下的結(jié)論。

（1）通過(guò)理論分析，建立端部推力和端部法向力的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步得出永磁同步直線電機(jī)端部力的波動(dòng)均以極距τ為周期。結(jié)合分析計(jì)算，提出采用端部多齒結(jié)構(gòu)，制造多個(gè)端部平面，產(chǎn)生多組波動(dòng)力，其相互疊加能夠有效抑制力的波動(dòng)。

（2）通過(guò)有限元仿真分析，證明了多齒結(jié)構(gòu)對(duì)端部效應(yīng)力波動(dòng)的抑制能力。得出輔助齒厚度影響端部推力波動(dòng)幅值和周期，僅影響端部法向力波動(dòng)幅值的結(jié)論，并對(duì)輔助齒厚進(jìn)行優(yōu)化。

▲圖9 不同齒厚端部推力波動(dòng)比較圖

▲圖10 不同齒厚端部法向力波動(dòng)比較圖

▲圖11 端部輔助齒磁力線分布圖