例談平面向量在三角函數(shù)中的應用

摘要：平面向量是整個中學數(shù)學中特別重要的一部分，特別是在高中階段，很多方面的知識點都需要用向量來輔助解題。同時，向量也是高考中的一個重要階段。三角函數(shù)作為高中階段的一個重要模塊，在高考中占據(jù)著重要地位，是每年高考中不可或缺的題目。本文主要討論了怎樣借助向量方法來解答三角函數(shù)的問題。

關鍵詞：平面向量；三角函數(shù)；解題

1、問題的提出

數(shù)學是思維的科學，其重要性不只體現(xiàn)在數(shù)學知識的應用，更重要的是體現(xiàn)在數(shù)學的思維方式。理性思維能力包括：直覺猜想、運算求解、演繹證明、邏輯推理、歸納抽象等。高考“注重對數(shù)學內(nèi)涵的理解，多角度、多層次地考查數(shù)學理性思維及數(shù)學素養(yǎng)和潛能”，在高考復習的各個階段都要重視理性思維的培養(yǎng)和發(fā)展。尤其是在知識點交匯處命題備受命題專家的青睞。

三角函數(shù)與平面向量是高中數(shù)學重點內(nèi)容，也是高考重點考查內(nèi)容之一，在歷年高考中客觀題與主觀題并存出現(xiàn)，對“四基”進行了全面的考查，在命題上，主要以中檔偏下題目為主。而本文以一道簡單的例題和兩道高考題為案例，以淺現(xiàn)深，以點帶面來分析幾道平面向量與三角函數(shù)交匯的題目，進而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展其理性思維能力。

2、用一個簡單的例題說明平面向量在三角函數(shù)中的應用

例1已知函數(shù) ，求其函數(shù)圖像按向量 平移后所得到的圖象的解析式。

解析：因為 ，經(jīng)平移后的解析式為

點評：在中學階段，向量方法可以用來解決很多不同類型的題目，該題就是典型的運用平面向量來解決三角函數(shù)的問題，主要運用了平面向量的平移來解決三角函數(shù)的解析式問題。向量是整個中學數(shù)學中比較特殊的一部分，它不屬于代數(shù)的范疇，也不完全屬于幾何的一部分，同時又都與他們有著一定的聯(lián)系，代數(shù)和幾何的很多知識都可以和平面向量結合在一起出題。在高中階段，涉及到的很多三角函數(shù)問題都是可以用平面向量的方法來解決的，而且學生思路會更加清晰明了。因此，在高考中，經(jīng)常出現(xiàn)平面向量和三角函數(shù)想結合的問題，下面就以兩道高考題為例來具體說明。

3、從兩道高考題來看平面向量和三角函數(shù)的結合在高考中的應用

例2 已知向量 .

若 求 的值；記 求 的最大值和最小值以及對應的 值.

解析：（1）因為 ，所以

若 ，則 ，與 矛盾，故 .于是 .

（2）

因為 ，所以 ，從而 .于是，當 ，即 時， 取到最小值3；當 ，即 取到最小值 .又 ，所以 .

點評：這道題主要考察了平面向量的線性運算來展示平面向量在三角函數(shù)解

題中的應用。在本題的第一問中利用線性運算來求解，由 可得 ，

然后就可以根據(jù) 的范圍來確定 的值；第二問是根據(jù)平面向量的數(shù)量積，再結合三角函數(shù)的性質來求解 的最值。例3 設向量

解析：（1）由

，及 ，可得 .因為

當 時， 取最大值1，所以 的最大值為 .

點評：在第一問中運用了平面向量的關于模長的運算來求 的值，第二問主要是將數(shù)量積的運算和三角函數(shù)的恒等變形相結合來求解函數(shù)的最大值，使解題思路更加清晰明了。

由上可知，這方面的題目比較靈活，學生即使記住了公式，卻不能靈活的使用，而且思維固定，不能在短時間內(nèi)想到正確的解題思路，因此錯誤率比較高。為了解決這一問題，經(jīng)過探討、研究，發(fā)現(xiàn)可以將平面向量融入到三角函數(shù)中，能夠更好地解決平面向量和三角函數(shù)中的難題。

參考文獻：

[1]楊亮.高中數(shù)學解題中向量方法的應用研究[J].高中數(shù)理化，2015（18）：10.

[2]石小勝.向量與三角函數(shù)的綜合應用[J].高中數(shù)學教與學，2011（02）：38-40.

作者簡介：鄭茜鑫，女，河南周口人，河南師范大學數(shù)學與信息科學學院2017級學科教學（數(shù)學）專業(yè)教育碩士。