基于波利亞的《怎樣解題》淺析中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)

摘要：波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題?！比魏螖?shù)學(xué)教師離不開解題教學(xué)，解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。其實(shí)，很多數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)沒有一個(gè)有結(jié)構(gòu)的程序方法，在幫助學(xué)生解出題后，沒有幫助學(xué)生進(jìn)一步的反思，為什么這樣解題？為了解題而解題，學(xué)生的解題能力不僅沒能提高，并且等到下次學(xué)生再碰到類似的問題，學(xué)生還是在不會(huì)這個(gè)問題，陷入就提論題、重復(fù)做題的消極循環(huán)中去，看不到問題背后的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；方法；問題

針對(duì)眾多的解題教學(xué)方法，教師怎樣選擇解題教學(xué)方法來講課？波利亞的《怎樣解題》中有一張解題表，筆者認(rèn)為有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教師的解題教學(xué)，該表有四個(gè)步驟，具體如下：

下面以例題出發(fā)用波利亞的方法來探索中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)。

例題1.已知橢圓 的焦點(diǎn)為 ，離心率為 ，點(diǎn) 為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形的面積最大值為 ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）求橢圓 的方程；

若點(diǎn) 為 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù) ，使 時(shí)，點(diǎn) 到直線 的距離為定值，求這個(gè)定值。

分析（1）：首先，弄清楚問題是什么？問題是求橢圓 的方程，也就是求出 的值。其次，找條件，條件中的信息如何理解？題中有兩個(gè)未隱含條件：其一，給出離心率的比值，得出 的比值；其二， 的最大值 ，當(dāng)點(diǎn) 在與 軸上時(shí)，面積最大，得出 。條件二給的不直接，需要教師教學(xué)的時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生們思考條件二的實(shí)質(zhì)是什么？與 有什么關(guān)系？他利用了三角形的哪些理論？還有一個(gè)隱含條件，有橢圓的定義可以知道 。只要明白了這三個(gè)條件的真實(shí)意義，就能求出 的值。最后，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。

分析（2）：首先，弄清楚問題是什么？求點(diǎn) 到直線 的距離。其次，找條件，條件中的信息如何理解？題中只有一個(gè)條件： ，橢圓與向量結(jié)合，并且以向量積的形式出現(xiàn)，一般向量積有兩種方法：一種是利用平面向量的數(shù)量積 ，即兩個(gè)向量的模的積與其夾角的余弦值的積；另一種是平面向量的空間坐標(biāo)運(yùn)算，首先設(shè) ，則 ，那么選擇第二種方法更利于本題的解答。因?yàn)榈谝环N方法三個(gè)未知量都無(wú)法得知，并且與本題相關(guān)性低，而第二種方法設(shè)坐標(biāo)，不僅能求出 的直線方程，更利于用距離公式。

但是問題到這里還沒有解決，前面有四個(gè)未知數(shù)，那么直線 的方程應(yīng)該如何若直線 斜率不存在， ，則 ，很容易求出直線方程，最后直接求出距離。

若直線 斜率存在，我們?cè)谝本€ 方程為 。

下一步我們來看點(diǎn) 、直線 、橢圓 之間究竟有什么樣關(guān)系？由題知，直線 與橢圓 相交于點(diǎn) 。那么我們可以設(shè)

一個(gè)方程組 ，消去 ，得

（ ）由于 ，得到 ，則 這樣一來得出了前面的未知數(shù)有關(guān)，我們就可以直接得到

，整理

又因 為常數(shù)，因此 ， ，因此得出結(jié)果。最后，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。一般圓錐曲線的題目，我們無(wú)法直接利用，需要設(shè)一些未知數(shù)，如何設(shè)置這些未知數(shù)？學(xué)生難度在這里，通常教師在課堂上解圓錐曲線的題都會(huì)直接用設(shè)而不求法，但是作為教師，都需要反思，為什么這樣做？如何讓學(xué)生明白這樣做的好處？能不能用別的方法？如何讓解題教學(xué)的效率提高？教師需要在解題教學(xué)中多探討其價(jià)值，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

作者簡(jiǎn)介：苗興巧，女，河南新鄉(xiāng)人，河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2017級(jí)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教育碩士。