梯度和混合投影算法關(guān)于分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的研究

劉宵 王艷 周小松 陳芳

摘要：在Hilbert空間中利用梯度和混合投影方法構(gòu)造一種新的迭代算法研究一致非擴(kuò)張映射的分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解的收斂性。

關(guān)鍵詞：Hilbert空間；一致非擴(kuò)張映射；分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.問(wèn)題的提出

1994年，Censor和Elfving[1]在有限維Hilbert空間中提出分裂可行性問(wèn)題（Split feasibility problems）。作為分裂可行性問(wèn)題的推廣，Moudafi[2]2010年提出了分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（split common fixed point roblems）：令 和 是Hilbert空間， 和 是兩個(gè)非線性映射且不動(dòng)點(diǎn)集 和 非空， 的一個(gè)有界線性算子，則分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題就是求一點(diǎn) 滿足

，使得 . （1）

2015年，Zhang等人[3]利用混合投影方法研究了漸進(jìn)非擴(kuò)張映射的分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的強(qiáng)收斂性并提出如下算法

（2）

基于以上問(wèn)題的提出和研究，本文將在Hilbert空間中利用梯度和混合投影的方法構(gòu)造新的迭代算法研究分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解，該算法強(qiáng)收斂性也被證明。

2.預(yù)備知識(shí)

設(shè) ， ， 是Hilbert空間， 表示 的不動(dòng)點(diǎn)， 表示問(wèn)題（1）的解集。

定義2.1 令 是Hilbert空間 的非空閉凸子集，若 為 在 上的度量投影，則對(duì)任意的 ，都存在唯一點(diǎn) 滿足

， ， （3）

引理2.2令 是一致非擴(kuò)張映射，則下列性質(zhì)等價(jià)： ， ；（2） 也是一致非擴(kuò)張映射。

引理2.3在Hilbert空間 中，對(duì)任意的 和 ，下列性質(zhì)滿足：

（1） ， ， ；

（2） 。

定義2.4映射 稱為半閉于零，如果對(duì)任意的序列 滿足 弱收斂于 且 ，那么 。

引理2.5設(shè) 是一致非擴(kuò)張映射，且使得 是 到 的一個(gè)凸函數(shù)。令 的有界線性算子且 ， ，則有 ， ；

是 -利普希茨映射，即 ， 。

3.主要結(jié)果

定理3.1設(shè) 和 都是Hilbert空間， 的一個(gè)有界線性算子，

和 是兩個(gè)非線性映射且不動(dòng)點(diǎn)集 和 非空，且使得 是 到 一個(gè)凸函數(shù)，對(duì)任意初始點(diǎn) ，序列 通過(guò)下列迭代算法產(chǎn)生：

（4）

其中 ， ， 。

如果 ， ，則序列 強(qiáng)收斂于分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解 。

證明 首先說(shuō)明 是閉凸的，顯然 是閉凸的。假設(shè) 是閉凸的，對(duì)任意的 ，都有 即 。所以說(shuō)明 是閉凸的。對(duì)任意 ，我們有 ， 。 是一致非擴(kuò)張映射，則 是一致非擴(kuò)張映射，由引理2.2有

（5）

然后根據(jù)（5）式和定理?xiàng)l件可得

又利用上式、引理2.3以及 ， ，可得

因此，說(shuō)明分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解集 ， 。

接下來(lái)證明 是柯西序列。因?yàn)?且 ，由度量投影定義有 和 ，因此 是有界收斂序列。對(duì)任意正整數(shù) 且 ，根據(jù) 和引理2.3有 ，結(jié)合 是有界收斂序列就有 。因此，證得序列 是柯西序列。

于是，假設(shè)序列 強(qiáng)收斂于 ，只需證明 。因?yàn)?，由算法（4）可有 ，所以我們有 也是強(qiáng)收斂于 。再根據(jù)（6）式變形可得

又由條件 ， ，我們可得極限 和 。根據(jù)引理2.6可得 ，所以 是有界的。因此 ， 。利用定義2.4可得 。

又由前面的證明過(guò)程和引理2.2、引理2.3，我們有

于是，將上式變形我們可有

根據(jù)極限 、 和序列 是有界可得到 。又根據(jù)定義2.4可得 。從而證明序列 強(qiáng)收斂于分裂公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解。證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]Y.Censor，T.Elfving. A multi-projection algorithm using Bregman projections in a product space. Numer. Algorithms 8， 221-239（1994）.

[2]A.Moudafi.The split common fixed point problem for demi-contractive mappings. Inverse problem， 26（2010）， 055007.

[3]X.F.Zhang，L.Wang，Z.L.Ma，L.J.Qin.The strong convergence theorems for split common fixed point problem of asymptotically nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Journal of Inequalities and Applications， Vol. 2015， No. 1， 2015.