聰明人的三門問題

小五

三門問題又被稱為蒙提霍爾問題，出自美國一個(gè)電視益智游戲節(jié)目，這個(gè)問題一被提出就引起了相當(dāng)大的爭(zhēng)議。

三扇門的誘惑

在一次有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中，參賽者需要面對(duì)三扇門的誘惑。參賽者會(huì)看見三扇關(guān)著的門，其中一扇門的后面藏有一輛汽車，選中這扇門就可以獲得汽車，而另外兩扇門后面則各藏有一頭山羊。雖然山羊和汽車一樣都可以充當(dāng)交通工具，但和汽車相比起來，山羊還是便宜了一些，所以參賽者的目標(biāo)是——選中汽車。

當(dāng)參賽者選定了一扇門但還未打開它的時(shí)候，知道門后情況的節(jié)目主持人打開另外兩扇門中的一扇，出現(xiàn)了一頭山羊。然后，主持人會(huì)問參賽者要不要改變主意選擇另一扇關(guān)著的門。這時(shí)，參賽者就有這樣的疑問了：換另一扇門是否會(huì)增加獲得汽車的概率？

假設(shè)參賽者最初選擇的是1號(hào)門，現(xiàn)在主持人打開了3號(hào)門，后面是一頭山羊。如果你是參賽者，你會(huì)改變主意選擇2號(hào)門嗎？

對(duì)于這個(gè)問題，一位高智商女性瑪麗蓮·莎凡特給出了她的答案，她認(rèn)為參賽者應(yīng)該改變主意選擇2號(hào)門，因?yàn)檫@個(gè)選擇將會(huì)使他獲得汽車的概率增加一倍。這個(gè)答案引起了軒然大波，因?yàn)樗缓虾醮蠖鄶?shù)人的直覺。

大部分人的直覺都錯(cuò)了

事實(shí)上，大多數(shù)人的回答都是“不改變主意，堅(jiān)持選擇1號(hào)門”。他們認(rèn)為不應(yīng)該更換選擇，因?yàn)槠囋谀纳乳T的后面是不能改變的，無論改不改變選擇，參賽者選中汽車的概率都是50%。所以，順從自己最初的直覺會(huì)比較好。

瑪麗蓮給出自己的答案后，數(shù)千封投訴信紛至沓來。但很快，她漂亮地解釋了自己的答案，讓大家心服口服。她是怎么解釋的呢？

參賽者選中一扇門時(shí)，有三種可能情況，它們的概率相等，都是1/3：

我們對(duì)比一下會(huì)發(fā)現(xiàn)，在后兩種情況下，參賽者都可以通過更換選擇而獲得汽車。第一種情況是唯一一種參賽者更換選擇會(huì)吃虧的情況，所以改變主意而獲得汽車的概率是2/3。

我們還可以用逆向思維來理解：

無論參賽者開始的選擇是什么，在被主持人問到是否更換時(shí)都選擇更換。如果參賽者先選中山羊，那么更換后會(huì)獲得汽車；如果參賽者先選中汽車，那么更換后會(huì)失去汽車。而選中山羊的概率是2/3，選中汽車的概率是1/3。所以選擇更換是明智的，相對(duì)最初獲得汽車僅為1/3的概率來說，改變選擇可以增加獲得汽車的可能性。

三門問題是一個(gè)老問題了，不過它在任何時(shí)候都能引起激烈的爭(zhēng)論。總結(jié)一下，正確答案應(yīng)該是：如果主持人事先知道哪扇門后面有山羊，并且她特意選擇把有山羊的那扇門打開，那么參賽者應(yīng)該更換選擇另一扇門，這可以使獲得汽車的概率從1/3 升到2/3。

升級(jí)！一百扇門的誘惑

換還是不換？大部分人之所以會(huì)左右為難，是因?yàn)樗麄兂３０炎约鹤畛蹙瓦x中汽車的概率想得太高。如果我們將三門問題升級(jí)一下，或許就好理解了。

現(xiàn)在，我們?cè)囋嚵硪粋€(gè)挑戰(zhàn)，我們將它稱作“百門問題”。一百扇門中只有一扇后面藏有汽車，其余藏的都是山羊。請(qǐng)你先隨心所欲選中一扇門。

選好了嗎？假設(shè)你選了1號(hào)門。不過，你應(yīng)該對(duì)這個(gè)選擇不抱什么希望——能一次就選中汽車的概率太低了，只有1%的可能。這時(shí)，主持人將剩下99扇門中的98扇打開，它們的后面全是山羊。也就是說，汽車在沒有被打開的1號(hào)門或37號(hào)門后面。

現(xiàn)在，給你一個(gè)機(jī)會(huì)，你會(huì)堅(jiān)持選擇1號(hào)門，還是改變主意選擇那扇未被打開的37號(hào)門？

也許你認(rèn)為這兩扇門的中獎(jiǎng)概率相同，那么我們可以從頭開始計(jì)算一下。對(duì)于汽車被藏在哪里，有100種可能，并且它們的概率都是1%。

第1種可能：汽車在1號(hào)門后。你選擇了1號(hào)門，選中汽車的概率就是1%。

第2種可能：汽車在2號(hào)門后。你選擇了1號(hào)門，主持人會(huì)將3號(hào)～100號(hào)門打開，問你要不要改變主意。

第3種可能：汽車在3號(hào)門后。你選擇了1號(hào)門，主持人會(huì)將2號(hào)、4號(hào)～100號(hào)門打開，問你要不要改變主意。

……

第100種可能：汽車在100號(hào)門后。你選擇了1號(hào)門，主持人會(huì)將2號(hào)～99號(hào)門打開，問你要不要改變主意。

在這100種可能中，堅(jiān)持選擇1號(hào)門而獲得汽車的概率只有第1種可能，在第2種～第100種可能中，只要改變主意，你就能獲得汽車。主持人打開98扇門的做法，實(shí)際上是在告訴你：假如2號(hào)～100號(hào)門后面藏有汽車，那么它一定是在37號(hào)門的后面。如果你改變主意選擇37號(hào)門，實(shí)際上是等同于直接選擇了2號(hào)～100號(hào)門。也就是說，只要改變主意，獲得汽車的概率就是99%。