第二十四講 混料組合均勻設(shè)計(jì)

徐靜安 段敏偉

2014年的8月19日是地球超載日。楊維成、段敏偉來我辦公室討論甲醇柴油微乳化混料試驗(yàn)方案，涉及DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，我的電腦中存有蛇年（2013年）張玉梅給我下載的電子版。兩位青年同仁得知我眼睛老花加散光閱讀電子版較累，提出把紙質(zhì)版的書送給我，因他們更需要學(xué)習(xí)而被我婉拒。8月25日，段敏偉來我辦公室談及開發(fā)中心已訂購正版DPS軟件，附贈紙質(zhì)版的新版《DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)——實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、統(tǒng)計(jì)分析及數(shù)據(jù)挖掘》（唐啟義著），所以代表羅勇、楊維成把現(xiàn)有第2版的專著送給我，不會影響學(xué)習(xí)。喜得此書后，再一次瀏覽全書（1 138頁）。

序二同行評價(jià)DPS分析軟件“開發(fā)了具有全球領(lǐng)先地位的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)、混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)、動態(tài)聚類分析幾個(gè)功能模塊的獨(dú)創(chuàng)算法”。對此相應(yīng)章節(jié)結(jié)合院內(nèi)項(xiàng)目案例進(jìn)行了精讀。

筆者在1987年12月6日于北京王府井購買的《試驗(yàn)優(yōu)化技術(shù)》一書中初次接觸“均勻設(shè)計(jì)”、“混料回歸設(shè)計(jì)”等。陳濤是上海化工研究院較早在阻燃劑技術(shù)開發(fā)中應(yīng)用混料回歸設(shè)計(jì)中的“極端頂點(diǎn)設(shè)計(jì)”的，我還在他那兒借閱過《六西格瑪管理統(tǒng)計(jì)指南——MINITAB使用指導(dǎo)》，閱后于2008年我去上海書城購得，再讀，此后建議院部購買一批在科技人員中發(fā)放。

自2014年10月份以來，段敏偉平均十天半月討論一次混料試驗(yàn)方案，期間閱讀了上述幾本書，并學(xué)習(xí)了其中的典型案例，對混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)方法、經(jīng)典方法、混料均勻設(shè)計(jì)方法有所了解，有了和筆者合作、開發(fā)應(yīng)用混料組合均勻設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)。

一、有過程參數(shù)的混料均勻設(shè)計(jì)

在工程混料試驗(yàn)中，往往涉及到混料配方反應(yīng)的溫度、壓力、時(shí)間以及配方在基料中的添加量等這些過程參數(shù)（變量）。在不得已的情況下，過去采用固定這些過程參數(shù)來對混料配方試驗(yàn)作出評價(jià)，實(shí)際上默認(rèn)這些過程參數(shù)對混料配方的交互作用不作考慮，并認(rèn)為考察范圍是單峰函數(shù)。如對一些重要的混料配方試驗(yàn)，必須考察其交互作用，就采用優(yōu)化試驗(yàn)中的“轉(zhuǎn)軸法”思想，分段輪換考察：初定過程參數(shù)，考察混料配方——選定混料配方，考察完善過程參數(shù)——固定完善后的過程參數(shù)，優(yōu)化混料配方。顯然實(shí)驗(yàn)工作量是很大的，尤其是在多目標(biāo)響應(yīng)Y有多個(gè)技術(shù)指標(biāo)約束時(shí)，數(shù)據(jù)的分析處理會帶來困難。所以實(shí)際研究工作往往是滿足于獲得“可用的配方”，不得已而為之。

把過程參數(shù)變量和混料配方組分組合在一起的均勻設(shè)計(jì)，就構(gòu)筑成混料組合均勻設(shè)計(jì)。

現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)方法叢書7之《正交與均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)》（方開泰、馬長興著，科學(xué)出版社2001年出版），在“均勻設(shè)計(jì)應(yīng)用的廣泛性”、“混合類型因素的試驗(yàn)”中，提出基于均勻設(shè)計(jì)Un（nl）表構(gòu)筑混料組合均勻設(shè)計(jì)的思想。

《DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)——實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、統(tǒng)計(jì)分析及數(shù)據(jù)挖掘》（唐啟義著，科學(xué)出版社2010年出版）在“偏最小二乘回歸分析”混料試驗(yàn)數(shù)據(jù)建模的案例中，展示了含過程變量的混料試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理。

對于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家，混料組合均勻設(shè)計(jì)在學(xué)術(shù)上似乎已經(jīng)解決，沒有進(jìn)一步展開討論，但在工程界應(yīng)用、構(gòu)筑試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案時(shí)還存在一些不夠方便的“坎”，所以應(yīng)用不夠廣泛。

二、混料組合均勻設(shè)計(jì)方案構(gòu)筑

對于混料組合均勻設(shè)計(jì)，過程變量是獨(dú)立的，混料配方存在∑Xi=1的約束。所以如本刊2018年第二期刊登的第二十二講“混料均勻設(shè)計(jì)簡介”中敘述，需對均勻表中混料配方所占列進(jìn)行逆變換。

現(xiàn)以1個(gè)過程變量，P=3可轉(zhuǎn)換成正單形的混料試驗(yàn)為例，構(gòu)筑設(shè)計(jì)方案。

本例考察的過程變量數(shù)C=1，配方變量數(shù)P-1=3-1=2，所以首先要選擇一個(gè)均勻設(shè)計(jì)表Un（n3）。

均勻設(shè)計(jì)一般要求試驗(yàn)次數(shù)n≥2～2.5倍考察變量數(shù)，而經(jīng)典的混料回歸設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)n≥3～5倍考察變量數(shù)。本案例取n=7，選用U7*（74）表，根據(jù)使用表，過程變量安排在第2列，將混料配方P-1=2分別安排在3，4列。具體見表1～2。

表1 U7*（74）

表2 U7*（74）的使用表

用{qji}表示所選均勻表第j列中的第i（i=1，2，…，n）個(gè)元素進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

將｛Cji｝轉(zhuǎn)換成｛Xji｝

式中：Π為連乘符是Cji的次方數(shù)。

計(jì)算詳見本刊2018年第二期刊登的第二十二講“混料均勻設(shè)計(jì)簡介”。筆者為了加深對此變換的理解，本著“眼過千遍，不如手過一遍”的古訓(xùn)，用手機(jī)上的計(jì)算器模塊作了逐項(xiàng)計(jì)算，構(gòu)筑成表3。

表3 用計(jì)算器模塊作逐項(xiàng)計(jì)算結(jié)果

在單純混料均勻設(shè)計(jì)中，介紹均勻設(shè)計(jì)U7*（74）表變換成UM7*（73）混料均勻表的過程。U表示均勻設(shè)計(jì)，M 為混料試驗(yàn)，n=7（實(shí)驗(yàn)次數(shù)），np=73，為P=3的三組分配方試驗(yàn)。專著中沒有對混料組合均勻設(shè)計(jì)明確命名，筆者按此思路建議：

均勻設(shè)計(jì)U7*（74）表變換成混料組合均勻設(shè)計(jì)UCM7*（71+3）表，其中：C表示組合過程變量；nc+p=71+3，上角碼C表示組合的過程變量數(shù)，P表示配方的組分?jǐn)?shù)。

在上表中，為了和UMn*（np）表對應(yīng)，C1，C2變換成（x1）、（x2）、（x3），由于有過程變量，在UCM7*（71+3）中應(yīng)為 X2，X3，X4。而統(tǒng)計(jì)建模時(shí)，通用方法僅 X1，X2，X3進(jìn)入模型。

三、常用混料組合均勻設(shè)計(jì)表

為了便于應(yīng)用，段敏偉通過DPS數(shù)據(jù)軟件對U7*（74）變換成UCM7*（71+3）等，詳細(xì)步驟如下：

在變換前，先將需要變換的U7*（74）表第3，4列輸入到DPS軟件的電子表格中，并按照圖1所示定義成數(shù)據(jù)塊。（備注：在DPS V14.50版本中，由于軟件存在缺陷，經(jīng)與唐啟義老師溝通后，數(shù)據(jù)塊需要多選擇一列空列）。然后執(zhí)行DPS“混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)”里面的“混料均勻設(shè)計(jì)”功能模塊即可得到如圖2所示的混料均勻設(shè)計(jì)。上述計(jì)算結(jié)果和筆者按方開泰提出的變換公式用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算得到的結(jié)果一致，僅個(gè)別數(shù)據(jù)末位由于進(jìn)位精度存在0.000 1的差異。常用混料組合均勻設(shè)計(jì)見表4～5。

圖1 通過DPS數(shù)據(jù)軟件定義成數(shù)據(jù)塊

圖2 混料均勻設(shè)計(jì)

1 U10*（108）變換成UCM10*（101+3）

過程變量C=1、配方因素?cái)?shù)P=3，查U10*（108）的使用表，選擇第1，5，6列，過程變量安排在第1列，將混料配方P-1=2分別安排在第5，6列。對第5，6列采用DPS軟件及上述步驟進(jìn)行變換，從而得到了UCM10*（101+3）表（見表6）。

表4 U10*（108）

表5 U10*（108）的使用表

表6 UCM10*（101+3）

2 U10*（108）變換成UCM10*（101+4）

由于配方因素?cái)?shù)P=4，查U10*（108）的使用表，選擇1，3，4，5列，過程變量安排在第1列，將混料配方P-1=3 分別安排在 3，4，5 列。對第 3，4，5 列進(jìn)行變換，得到UCM10*（101+4）表（見表7）。

3 U10*（108）變換成UCM10*（101+5）

由于配方因素?cái)?shù)P=5，查U10*（108）的使用表，選擇 1，3，4，5，7 列，過程變量安排在第 1 列，將混料配方 P-1=4 分別安排在 3，4，5，7 列。對第 3，4，5，7 列進(jìn)行變換，得到UCM10*（101+5）表（見表8）。

表7 UCM10*（101+4）

表8 UCM10*（101+5）

4 U10*（108）變換成UCM10*（102+3）

雖然配方因素?cái)?shù)P=3，但由于過程變量為2，使用表因素應(yīng)為C+P-1=4，查U10*（108）的使用表，選擇1，3，4，5 列，過程變量安排在第 1，3 列，將混料配方P-1=2分別安排在4，5列。對第4，5列進(jìn)行變換，得到UCM10*（102+3）表（見表9）。

5 U10*（108）變換成UCM10*（102+4）

使用表因素應(yīng)為C+P-1=5，查U10*（108）的使用表，選擇 1，3，4，5，7 列，過程變量安排在第 1，3 列，將混料配方P-1=3分別安排在4，5，7列。對第4，5，7列進(jìn)行變換，得到UCM10*（102+4）表（見表10）。

6 U10*（108）變換成UCM10*（102+5）

使用表因素應(yīng)為C+P-1=6，查U10*（108）的使用表，選擇 1，2，3，5，6，8 列，過程變量安排在第 1，2列，將混料配方P-1=3分別安排在3，5，6，8列。對第3，5，6，8列進(jìn)行變換，得到UCM10*（102+5）表（見表11）。

表9 UCM10*（102+3）

表11 UCM10*（102+5）

7 U10*（108）變換成UCM10*（103+3）

使用表因素應(yīng)為C+P-1=5，查U10*（108）的使用表，選擇 1，3，4，5，7 列，過程變量安排在第 1，3，4列，將混料配方P-1=2分別安排在5，7列。對第5，7列進(jìn)行變換，得到UCM10*（103+3）表（見表12）。

表12 UCM10*（103+3）

8 U10*（108）變換成UCM10*（103+4）

使用表因素應(yīng)為C+P-1=6，查U10*（108）的使用表，選擇 1，2，3，5，6，8 列，過程變量安排在第 1，2，3列，將混料配方P-1=3分別安排在5，6，8列。對第5，6，8列進(jìn)行變換，得到UCM10*（103+4）表（見表13）。

表13 UCM10*（103+4）

需要特別強(qiáng)調(diào)的是本文和本刊2018年第二期刊登的第二十二講“混料均勻設(shè)計(jì)簡介”是上下篇，對于混料配方部分適用于無約束、下限約束以及有上下限約束但可調(diào)整為正單形的混料試驗(yàn)。對于不能調(diào)整為正單形的有上下限約束的混料試驗(yàn)，我們還將進(jìn)一步介紹和討論。

本文定稿于2015年元旦，窗外陽光明媚。