基于負(fù)載分布空間的網(wǎng)絡(luò)相繼故障模型*

楊宇騏，陳帥年

（中國人民解放軍92146部隊，廣東 湛江 524002）

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)相繼故障研究最早始于Albert[1]，通過對無標(biāo)度模型進行仿真發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對于隨機攻擊具有很強的魯棒性，但對大度節(jié)點的蓄意攻擊較為脆弱。通過利用滲流理論研究了因特網(wǎng)對于隨機攻擊和蓄意攻擊的健壯性，得出了同樣的結(jié)論[2]。為了加深對網(wǎng)絡(luò)故障的理解，研究人員對網(wǎng)絡(luò)故障這一演化問題進行了建模分析。Motter開創(chuàng)性地提出了容量負(fù)載ML模型[3]，之后Crucitti等考慮到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與邊的相繼故障過程中的動態(tài)變化，提出了邊上傳輸效率隨網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)動態(tài)更新的模型（CML）[4]。在此基礎(chǔ)上，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的相繼故障模型、沙堆模型和耦合映像格子模型等紛紛被提出，并被用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中故障傳播的研究[5-10]。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為研究一直是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的重點。馮·諾依曼說過，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的本質(zhì)就是研究網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為。它的主要研究內(nèi)容包括網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)演化動力學(xué)、網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)和異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)演化博弈等。在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化動力學(xué)方面，Tanizawa基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，對隨機故障和蓄意攻擊提出了一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化規(guī)則，演化出了一種有較強魯棒性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[11-12]。王光增從電力網(wǎng)絡(luò)本身的演化機理入手，提出一種模擬電力網(wǎng)絡(luò)演化規(guī)律的演化模型，同時證實電力網(wǎng)絡(luò)既不是BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)也不是完全的隨機網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性[13]。在網(wǎng)絡(luò)演化博弈上，朱建明等人基于非合作演化博弈理論，提出了在攻防雙方信息不對稱情況下具有學(xué)習(xí)機制的攻防演化博弈模型[14]。Mehrdad、Farajtabar等人基于聯(lián)合動力學(xué)提出了一個時間點過程模型——共同進化[15]。在網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)方面，經(jīng)典的模型SIS[16]和SIR[17]的提出，使得流行病在生物社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程可以被清晰呈現(xiàn)，在弱化網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的情況下，表現(xiàn)出了網(wǎng)絡(luò)中個體狀態(tài)的改變和患病人數(shù)規(guī)模的動態(tài)變化。這兩種模型被視為經(jīng)典一直沿用至今，并且得到了更大發(fā)展?；谶@兩種模型的疾病爆發(fā)初期模型（SI模型），具有免疫期的SIRS模型等都更加貼近實際病毒的傳播[18-21]。

1 網(wǎng)絡(luò)負(fù)載分布的研究

在明確網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的演化過程和規(guī)律后，需要將各個節(jié)點的演化過程反映到網(wǎng)絡(luò)整體的演化過程中，這樣才能更清楚地反映網(wǎng)絡(luò)故障傳播的規(guī)模情況。在描述網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的耦合關(guān)系時，通常使用的是網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣。將網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的狀態(tài)設(shè)為向量X(t)，其元素xi(t)反映的是網(wǎng)絡(luò)中i個節(jié)點的狀態(tài)。簡單的動力學(xué)方程可以表示為[15]：

其中A表示的是鄰接矩陣。但是，在網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)演化過程中，僅僅將節(jié)點的狀態(tài)進行迭代是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。首先，網(wǎng)絡(luò)上傳播的是數(shù)據(jù)包、病毒或能量等具體的屬性，而不是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)是通過這些因素屬性相互作用演化產(chǎn)生的結(jié)果，且網(wǎng)絡(luò)中傳播的信息具有一定的方向性。其次，網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣也會隨著網(wǎng)絡(luò)演化的推移而改變。根據(jù)這兩點問題，如果能像所述構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點的關(guān)于攻擊或者故障的全局關(guān)系方程，則可以較為精確地推演整個演化過程。然而，這在現(xiàn)實中是不可行的。假設(shè)一個網(wǎng)絡(luò)有n個節(jié)點，每個節(jié)點可以拆分出m個屬性，則關(guān)系微分方程的規(guī)模將是nm維。這樣的方程不僅在求解上不可實現(xiàn)，而且在分析上也極其困難。

考慮到使用微分方程模型描述整個網(wǎng)絡(luò)過程的不可行性，考慮引入一種演化周期的概念，即節(jié)點每經(jīng)過一次信息交換便進行一次周期時間為Tp的演化，演化結(jié)束后再進行一次信息交換。在節(jié)點演化結(jié)束時，根據(jù)節(jié)點的狀態(tài)函數(shù)對節(jié)點狀態(tài)進行描述，若節(jié)點處于完全失效的情況下，則將其從網(wǎng)絡(luò)中剔除，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將發(fā)生變化。

2 網(wǎng)絡(luò)負(fù)載空間描述

為了使網(wǎng)絡(luò)負(fù)載模型的建立更加符合實際情況中信息傳播具有的方向性特點，本文在已有的故障傳播模型基礎(chǔ)上，引入網(wǎng)絡(luò)傳播轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣的概念，并給出了通過轉(zhuǎn)移概率矩陣將推演出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性的實驗，證明了傳播轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣提出的合理性。

2.1 網(wǎng)絡(luò)傳播轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣

圖論中，網(wǎng)絡(luò)被描述為一個由節(jié)點和邊組成的集合，鄰邊表示的是網(wǎng)絡(luò)中兩個節(jié)點之間的某種關(guān)系。將圖論中的網(wǎng)絡(luò)抽象至代數(shù)，網(wǎng)絡(luò)被抽象為一個矩陣。由鄰邊關(guān)系組成的矩陣為鄰接矩陣，由節(jié)點的度組成的矩陣稱為度分布矩陣。這些矩陣在代數(shù)學(xué)中的一些性質(zhì)可以很好地對應(yīng)到圖論中，從而能夠很好地描述網(wǎng)絡(luò)中的某些性能。

現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中，在網(wǎng)絡(luò)中傳播的信息特別是消息有一定的方向性。消息的傳播都是按照一個路由的路徑去轉(zhuǎn)發(fā)，如計算機網(wǎng)絡(luò)中的路由表，信息數(shù)據(jù)包是按照路由表達的形式轉(zhuǎn)發(fā)。通過依據(jù)鄰接矩陣A建立其等效的加權(quán)矩陣，體現(xiàn)出消息傳播中的路由情況?？紤]到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的處理信息，即節(jié)點要對信息進行相應(yīng)處理。因此，矩陣A的等效形式應(yīng)該能體現(xiàn)兩個方面的耦合情況，即信息在節(jié)點自身中所需要處理的情況和節(jié)點之間的相互作用情況。設(shè)A～CI，其中矩陣I為對角矩陣，表示的是節(jié)點自身對消息的一個處理情況，矩陣C表示的是節(jié)點之間相互作用的情況。若G=(V,E)表示的是一個圖，其中V表示的是網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點集合，E=V×V表示的是網(wǎng)絡(luò)的連邊集合。設(shè)'GG?為一個連通子圖，則 ∨ a∈G, a ?G'，到達∨b∈G'的路徑為r(a,b)=r(a,c)+r(c,b)，其中c∈G'。若r(a,b)為最短路徑，那么r(c,b)為從c到b的最短路徑。

對于矩陣C可以做如下說明。記R(i, j)為節(jié)點i到節(jié)點j的所有最短路徑的總數(shù)。由于本文討論的是無向圖網(wǎng)絡(luò)，因此R(i, j)=R( j,i)?！苆R(i, j)表示的是從節(jié)點i出發(fā)的所有路徑的總數(shù)。用R(i, j)[∑jR(i, j)]-1表示在節(jié)點i的信息是傳遞給節(jié)點j的概率。由于兩個節(jié)點之間不一定都有邊相連接，因此最短路線的選擇在實際網(wǎng)絡(luò)中是通過路由表來確定的。在路由表中，有關(guān)于目標(biāo)節(jié)點對應(yīng)的下一跳端口號。結(jié)合各個節(jié)點的路由表信息和兩個節(jié)點之間通信的概率，矩陣C被定義為轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣。

cij為矩陣C中的元素，表示i中的信息下一步轉(zhuǎn)移到j(luò)中的比例。因此，cij≠0的一個充要條件是節(jié)點i和節(jié)點j之間存在一條邊。

其中adij表示所有從i節(jié)點出發(fā)的路徑下一跳是j的點的集合。

圖1（a）為一個網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，圖1（b）表示的是以節(jié)點1為根節(jié)點的最小生成樹，圖1（c）表示的是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖1（（a）的鄰接矩陣，圖1（d）表示的是以R(i, j)[∑jR(i, j)]-1為元素的矩陣，圖1（e）表示的是轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣。圖1表示了一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)傳播轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣的過程。注意，轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣不再是對稱的。

圖1 轉(zhuǎn)移概率鄰接矩陣構(gòu)造

2.2 基于信息分布空間的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)過程分解

在網(wǎng)絡(luò)信息傳播研究中，假設(shè)各個節(jié)點在t時刻下的信息量分布用向量X(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))，xi(t)∈N,i∈{1,2,…,n}表示，并按照 X(t+1)=CX(t)T的規(guī)律進行演化。當(dāng)C=diag(c1,c2,…,cn),ci∈R,i∈{1,2,…,n}，描述的過程是節(jié)點僅進行信息的處理，而不進行信息的交互。網(wǎng)絡(luò)的演化變成各個部分自己的演化，將大大降低網(wǎng)絡(luò)演化問題的難度?；谶@個原理，提出將網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)過程分解為若干子部分，通過每個子部分的自演化疊加來反映網(wǎng)絡(luò)的全局情況。

X(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))表示的是網(wǎng)絡(luò)中的信息分布情況，則Bi=(0,…1,…0)是信息分布空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基向量。節(jié)點i在t時刻下的信息量可以表示為

信息傳播過程的動力學(xué)研究的主要目的在于研究信息傳播的分布狀態(tài)是不是穩(wěn)態(tài)。由于Bi是向量空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，矩陣C可以看作是一個各個基之間的耦合關(guān)系。若矩陣C為一個對角矩陣，那么對于X(t+1)T=CX(t)T來說，X(t)的各個分量的演化只和自己有關(guān)，沒有其他節(jié)點的耦合作用的影響。然而，對于一個網(wǎng)絡(luò)來說，矩陣C幾乎不可能為一個對角陣，但如果可以將矩陣進行對角化處理，則可以達到同樣的效果。

設(shè) λ1,λ2…λn是矩陣 C 的特征值，且若 i＜ j，則 |λ|i≥ |λj|。v1,v2,…vn為對應(yīng)的特征列向量，根據(jù)矩陣的特征值分解，矩陣C可以寫為：

令X(t)T=VY(t)，則X(t+1)T=CIX(t)T可寫為：

矩 陣 I是 對 角 矩 陣 I=diag(e1,…,en)， 則，易知VI=⊙V，其中⊙為矩陣的hadamard積。通過矩陣可以將IV和VI之間的關(guān)系表示為

中的元素逐項求倒數(shù)，可以寫為：

由于矩陣D和I都是對角矩陣，記= DI ⊙ ()#-1⊙=diag( d ,… ,d )1n，也是對角矩陣。根據(jù)表明的迭代關(guān)系，可以將式（6）拆分為：

這里可以看出，若周期t取得足夠大，在|di|＜1的情況下，Y(t)與yi(0)就沒有太大關(guān)系，可以忽略不計。由于D的對角元素是按照矩陣特征值絕對值大小的降序排列，故 j N+? ∈ ，當(dāng)i＞j時，有|di|＜1。因此，對于Y(t)的動力學(xué)演化分析，只需要分析。因為初始的狀態(tài)分布X(t)和Y(t)存在關(guān)系X(t)T=VY(t)，所以可通過求解信息量的分布。當(dāng)t=1時，表示只通過一次傳播后各個節(jié)點中的信息量分布。

3 基于負(fù)載空間分布的網(wǎng)絡(luò)故障傳播模型

3.1 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點因素屬性

實際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點演化是一個復(fù)雜的過程。例如，在生物病毒在人體中傳播的研究中，對于普通的感冒病毒，生物體免疫能力的差異會導(dǎo)致個體染病機率的不同。在此條件下，因病毒致病能力和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的特性的不同會導(dǎo)致病毒傳播的情況不同。同樣，在計算機網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間數(shù)據(jù)包的傳輸就像是在生物群體中傳播的病毒一樣。當(dāng)數(shù)據(jù)包到達的數(shù)量超過節(jié)點處理能力或存儲能力時，數(shù)據(jù)包會被丟棄。數(shù)據(jù)包被丟棄會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的某些指令或者服務(wù)無法及時傳達或者及時響應(yīng)，使得節(jié)點的某些性能下降，進而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點的某些性能下降，認(rèn)為該節(jié)點發(fā)生了故障?？梢钥闯觯W(wǎng)絡(luò)節(jié)點演化是由節(jié)點中的某些屬性和外界施加的某些因素之間的相互作用導(dǎo)致的。本文中將這類屬性和因素定義為針對某種特定網(wǎng)絡(luò)研究的因素屬性。和生物病毒相比，計算機的節(jié)點由于沒有太多的智能策略可以選擇，因此在計算機因素屬性的選取上需要通過數(shù)據(jù)的處理和分析。在計算機網(wǎng)絡(luò)中，各個節(jié)點在不同階段可以統(tǒng)計出實時吞吐量、計算機接收數(shù)據(jù)以及計算機因為提供服務(wù)而產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量。將計算機網(wǎng)絡(luò)的吞吐量、發(fā)包數(shù)和產(chǎn)生數(shù)據(jù)包數(shù)表示為隨時間變化的變量，分別用T(t)、S(t)和P(t)來表示。

同樣，需要通過一個函數(shù)將這類因素屬性歸結(jié)為節(jié)點的狀態(tài)，以此來判斷節(jié)點是否發(fā)生了相關(guān)的故障。令s(t)=(T(t),S(t),P(t))，則有：

在計算機模型中，本文考慮使用類似容量負(fù)載的原理來描述節(jié)點的狀態(tài)情況。當(dāng)節(jié)點的負(fù)載超過容量時，將節(jié)點視為故障。計算機內(nèi)所能提供的用于發(fā)送數(shù)據(jù)、存儲數(shù)據(jù)以及產(chǎn)生數(shù)據(jù)的資源是有限的，計算機在提供服務(wù)時會占用相應(yīng)的資源。將計算機提供的資源總數(shù)當(dāng)作容量，將需要滿足提供的服務(wù)的資源需求視為負(fù)載，當(dāng)計算機資源無法分配到當(dāng)前服務(wù)的需求量時，就認(rèn)為節(jié)點在某些功能上發(fā)生了故障。設(shè)計算機所提供的資源為o，接下來定義Fc1(T(t),S(t),P(t))。

網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點所能提供的資源是有限的，節(jié)點中的各項服務(wù)均占用著資源，故各個應(yīng)用之間關(guān)于資源存在著競爭關(guān)系。設(shè)函數(shù)OT(T(t))、OS(S(t))和OP(P(t))分別表示為保證節(jié)點具有當(dāng)前T(t)、S(t)和P(t)的性能所需要的資源量。設(shè)點(OT∞,OS∞,OP∞)表示現(xiàn)有條件下經(jīng)過相當(dāng)長的一個演化時間后，所有各項服務(wù)對計算機資源的需求。若當(dāng)其滿足 OT∞∈ [0,o]、OS∞∈ [0,o]、OP∞∈ [0,o]且OT∞+OS∞+OP∞≤0時，證明各種因素屬性的相互調(diào)整可以使得計算機在當(dāng)前狀態(tài)下到達穩(wěn)定關(guān)系，這樣的條件下認(rèn)為節(jié)點沒有發(fā)生故障。采用同樣的向量法，設(shè)狀態(tài)基準(zhǔn)向量為Fc1(T(t),S(t),P(t))定義如下：

各個屬性占用資源的演化情況可以表示為：

其 中 Ri( OT(T ( t) ), OS(S ( t) ), OP(P ( t) )), i ∈ { T , S, P}表示的是演化的關(guān)系函數(shù)。

3.2 基于競爭模型的因素屬性關(guān)系模型

由于發(fā)送數(shù)據(jù)、處理接收數(shù)據(jù)以及產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)都需要使用計算機運行資源，因此這三個因素之間具有競爭關(guān)系。同時，發(fā)送數(shù)據(jù)占用運行資源外，還會釋放更多的存儲資源，而接收處理數(shù)據(jù)會占用更多的存儲資源。這個過程將通過一個隊列模型進行描述。將資源分為兩個隊列，一個用于處理相關(guān)服務(wù)，一個用于存儲接收到的數(shù)據(jù)。為了簡化模型，本文主要考慮存儲資源的關(guān)系。

在計算機網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的運行中，為了保證各項業(yè)務(wù)能夠順利進行，各項業(yè)務(wù)都要占用不同的資源。各個業(yè)務(wù)之間占有資源的總量在不超過總資源o的條件下，屬于競爭和合作關(guān)系，具體可以表示為微分方程形式：

考慮到，方程可以寫為：

設(shè)外部數(shù)據(jù)平均到達量為λ，平均發(fā)送數(shù)據(jù)量為μ，平均產(chǎn)生數(shù)據(jù)量為κ，則可以表示為：

3.3 模型參數(shù)的確定

從模型來看，同樣可以將系數(shù)集合分為兩個集合，即一個自身內(nèi)部關(guān)系參數(shù)集合β和一個外部關(guān)系參數(shù)集合α。方程中，只有λ和外部有關(guān)。下面給出λ的確定方法。設(shè)L(t)為當(dāng)時的單個節(jié)點負(fù)載，有：

令 λi(t)=E[Li(t)+μ-Li(t-1)]，λi(t)表 示 t時 刻 第 i個節(jié)點外部數(shù)據(jù)的平均到達速率。根據(jù)給出的單點負(fù)載模型表達式，參數(shù)λi(t)可以通過迭代式得到，

根據(jù)吞吐量、發(fā)包量和產(chǎn)生數(shù)據(jù)包量之間的關(guān)系，現(xiàn)假設(shè)Li(t)≈Ti(t)+Pi(t)-Si(t)，見式（15）。

可以看出，當(dāng)節(jié)點的規(guī)模很大時，方程的規(guī)模會很大，無法對方程進行求解。因此，希望可以近似地表示λ值。由文獻[22]中提出的算法可以得到一個近似的迭代公式，見式（16）。

λi(t)收斂后，取取值記為 λi。將 λ=E[λi]帶入方程組，得到式（17）。

3.4 計算機網(wǎng)絡(luò)故障傳播的網(wǎng)絡(luò)演化模型

計算機網(wǎng)絡(luò)具有冪率分布的特性?？紤]由于節(jié)點資源不能有效分配導(dǎo)致的故障在網(wǎng)絡(luò)中傳播的情況，建立網(wǎng)絡(luò)故障的傳播模型。

如果直接對網(wǎng)絡(luò)的所有因素屬性進行微分方程建模研究，可以最精確地表示網(wǎng)絡(luò)的演化過程。但是，即使只有100個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，也會產(chǎn)生一個包括300個微分方程的微分方程組。無論求解或者分析都是困難的。X(t+1)T=CIX(t)T，I是對稱矩陣，表示的是節(jié)點自己處理信息的過程。在描述節(jié)點中的三個屬性中，只有發(fā)送數(shù)據(jù)包量S(t)是在網(wǎng)絡(luò)上傳播的量。設(shè)節(jié)點i的三個屬性為(Ti(t),Si(t),Pi(t))，節(jié)點的演化周期為Tp，則可將演化過程表示為：

假定I為單位矩陣，V是由矩陣C的特征向量組成的矩陣，S'(nTp)=V-1S(nTp)，通過將式（18）中的矩陣進行特征值分解，得到：

通過帶入數(shù)據(jù)將計算結(jié)果作為下一個演化周期初值帶入方程，取時間區(qū)間[0,Tp]進行演化，得到計算機整體的變化狀態(tài)為s((n+1)Tp)=T((n+1)Tp),S((n+1)Tp),P((n+1)Tp)。其中，s((n+1)Tp)為吞吐量、發(fā)包量和產(chǎn)生數(shù)據(jù)包量3個變量在演化周期內(nèi)組成的向量，用于表示個體狀態(tài)變化。

對于演化周期的確定，由于節(jié)點的初始資源分布情況和節(jié)點通過度反映在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度不同，周期也將不同。例如，對于服務(wù)器，由于服務(wù)器主要的工作是接收指令并做出響應(yīng)，在網(wǎng)絡(luò)中屬于度大的節(jié)點，而這類節(jié)點的演化時間區(qū)間就需要盡可能短暫。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的這個情況，假設(shè)周期函數(shù)以Tp(di)=(di)-1表示。

4 數(shù)值實驗

網(wǎng)絡(luò)各點按照模型所描述的規(guī)律進行演化。系數(shù)不同，體現(xiàn)的是節(jié)點內(nèi)部的性能不同；初值的不同，體現(xiàn)出節(jié)點初始狀態(tài)的不同。在假定μ=1的情況下，根據(jù)第3節(jié)所述，有λ=0.578。當(dāng)發(fā)送一個數(shù)據(jù)包時，會釋放一個存儲空間以用于存儲自身產(chǎn)生數(shù)據(jù)包或外部到達數(shù)據(jù)包。設(shè)此時節(jié)點產(chǎn)生一個數(shù)據(jù)包和接收一個數(shù)據(jù)包的概率相同，由此當(dāng)向外發(fā)送了m個數(shù)據(jù)包時，可以增加接收個外部到達的數(shù)據(jù)包和增加接收個自身產(chǎn)生數(shù)據(jù)包。據(jù)此，有系數(shù)矩陣為：

對于不同的節(jié)點，產(chǎn)生數(shù)據(jù)量的平均速率不同。因此，對于不同的節(jié)點，κ是不同的。分別取隨機數(shù)κ的上界為0、0.5和1進行模擬實驗，對于隨機故障和蓄意攻擊傳播過程通過演化過程圖來表示。

在節(jié)點的資源總數(shù)設(shè)定為500的條件下，隨機對1/5的節(jié)點發(fā)送數(shù)據(jù)量施加一個大于50的隨機沖擊，經(jīng)過100次實驗后，隨機故障的平均效果如圖2所示。

在節(jié)點的資源總數(shù)設(shè)定為500的條件下，對前1/5的高度節(jié)點發(fā)送數(shù)據(jù)量施加一個大于50的隨機沖擊，經(jīng)過100次實驗后，隨機故障的平均效果如圖3所示。

從圖2和圖3可以看出，不同的 su p(κ)對故障傳播的過程影響并不明顯。特別是對于蓄意攻擊，節(jié)點自身產(chǎn)生數(shù)據(jù)的平均速率對故障傳播的過程幾乎沒有影響。

在 s up(κ) =1的條件下，模擬對網(wǎng)絡(luò)正常運行和施加不同攻擊時的傳播過程，施加相同規(guī)模的隨機故障和蓄意攻擊后故障傳播的演化過程如圖4所示。

圖2 隨機故障下不同的sup()κ的故障傳播過程

圖3 蓄意攻擊下不同的 s up(κ)的故障傳播過程

圖4 針對不同的初始情況的故障傳播規(guī)模

圖4中的曲線分別表示初始網(wǎng)絡(luò)中被蓄意攻擊的節(jié)點占總數(shù)的1/5、初始隨機選擇1/5的節(jié)點發(fā)生故障和初始所有節(jié)點均正常的情況下的故障節(jié)點規(guī)模的演化過程。從圖4可以看出，對于計算機網(wǎng)絡(luò)施加同等規(guī)模的隨機故障和蓄意攻擊時，網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊的靈敏度更高。這與計算機網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有無標(biāo)度性質(zhì)有關(guān)。無標(biāo)的網(wǎng)絡(luò)對于隨機故障有較好的魯棒性，而對蓄意攻擊仍有較差的抵御能力，這與ML模型反映的情況相一致。

當(dāng)施加的攻擊力度不同時，故障傳播的情況也將不同。提高一倍的初始隨機故障規(guī)模，故障傳播的演化過程如圖5所示。

圖5 針對不同的初始情況的故障傳播規(guī)模

圖5 中的曲線分別表示初始網(wǎng)絡(luò)遭受蓄意攻擊發(fā)生隨機故障的節(jié)點分別占總節(jié)點數(shù)的1/5和2/5的情況下的故障傳播規(guī)模情況。可以看出，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對于同時發(fā)生的大規(guī)模隨機故障也比較脆弱。

5 結(jié) 語

通過使用負(fù)載空間的概念將網(wǎng)絡(luò)的傳播過程進行脫耦合，使得網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對傳播動力學(xué)的影響大大降低。依據(jù)競爭關(guān)系，對計算機網(wǎng)絡(luò)中各個屬性之間的關(guān)系進行建模。在節(jié)點演化規(guī)律建模的基礎(chǔ)上，將節(jié)點的演化行為經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)耦合關(guān)系拓展到網(wǎng)絡(luò)整體的演化行為。通過周期迭代的近似求解和網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的特征值分解，降低對模型分析的難度，并證明方法的有效性和可行性。對于計算機網(wǎng)絡(luò)的故障分析也表明，節(jié)點的行為有助于弱化攻擊和故障產(chǎn)生的效果。同時，節(jié)點的弱化作用對降低網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊的敏感度有很好的效果。

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