基于廣義互相關(guān)的時延估計(jì)算法研究*

朱 超，屈曉旭，婁景藝

（海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

0 引 言

時延作為用來表征信號特征的一個重要參數(shù)，隨著信號處理技術(shù)的廣泛應(yīng)用，如何快速準(zhǔn)確地獲得信號的時延，成為信號分析與處理領(lǐng)域人們研究的熱點(diǎn)問題。時延估計(jì)要解決的主要問題是對接收目標(biāo)信號進(jìn)行處理，準(zhǔn)確快速地估計(jì)和測量接收信號之間因信號傳播過程中通道的不同而引起的時間延遲[1]。目前，應(yīng)用于時延估計(jì)的技術(shù)有廣義互相關(guān)法、二次相關(guān)法、LMS自適應(yīng)濾波器法、高階累積量法和廣義雙譜法等[2]，盡管以上算法原理有所不同，但是它們之間總存在信號相關(guān)性的成分。所以，研究廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法對需要處理時延的有關(guān)領(lǐng)域具有重要意義。由于廣義相關(guān)時延估計(jì)算法簡單、計(jì)算量小，其應(yīng)用比較廣泛。本文對廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法原理進(jìn)行研究，并利用廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法的不同加權(quán)函數(shù)進(jìn)行仿真比較，分析了其各自的優(yōu)點(diǎn)與不足。

1 基本互相關(guān)的時延估計(jì)算法

互相關(guān)（CC）是用來比較兩個信號或函數(shù)在時域相似程度的基本方法。時延估計(jì)的基本思想是利用兩個接收信號的互相關(guān)函數(shù)來估計(jì)時間延遲[3]。時延估計(jì)算法可以通過以下兩個信號模型來分析：信源發(fā)射信號s(t)經(jīng)兩個傳輸通道傳輸?shù)倪^程中加入了伴有噪聲的信號x1(t)和x2(t)。設(shè)信號x1(t)和x2(t)滿足：

其中，A1和A2是發(fā)射信號的幅度參量，表示s(t)經(jīng)不同通道傳輸后的幅度增益和相位偏移。n1(t)和n2(t)代表未知的加性平穩(wěn)高斯白噪聲，τ1和τ2表示信號傳輸?shù)臅r延，且τ1≤τ2。為表達(dá)方便，以x1(t)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，則式（1）可以重新表示為：

式（2）離散形式為：

其中λ=A2/A1，表示兩個接收信號的幅值比；D=τ2-τ1，表示所求時延值。

x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)表示為：

假設(shè)n1(t)和n2(t)是獨(dú)立于s(t)平穩(wěn)不相關(guān)的高斯白噪聲，則兩個噪聲n1(t)、n2(t)與信號s(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

噪聲n1(t)與n2(t)的互相關(guān)函數(shù)為：

則：

由自相關(guān)函數(shù)|RSS(τ)|≤Rss(0)的性質(zhì)可知，當(dāng)τ=D時，Rss(τ-D)最大，即R12(τ)也達(dá)到最大。因此，求得R12(τ)峰值對應(yīng)的τ，就是兩個接收信號之間的時延。

在以上推導(dǎo)過程中，假設(shè)信源發(fā)射信號與噪聲信號之間、噪聲信號與噪聲信號之間都是不相關(guān)的，式（4）中的信號也被默認(rèn)是無限長的序列。但是，在實(shí)際時延估計(jì)過程中，由于采集到的接收信號序列長度不可能無限長，時延估計(jì)時只能用有限長序列的信號代替推導(dǎo)中的無限長序列信號。此外，受到實(shí)際操作中信號噪聲的相關(guān)性和其他不良因素的影響，式（4）中的計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確，相關(guān)函數(shù)的最大值可能會被弱化，甚至?xí)霈F(xiàn)多個峰值，由此帶來的誤差會影響時延估計(jì)的穩(wěn)定性。

2 廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法

為了克服基本互相關(guān)的時延估計(jì)中的缺陷，提出了廣義互相關(guān)（Generalized Cross Correlation，GCC）時延估計(jì)算法。它利用加權(quán)函數(shù)增強(qiáng)信號中信噪比的作用，從而提高了時延估計(jì)精度[4]。利用兩個接收信號x1(t)和x2(t)進(jìn)行基于加權(quán)函數(shù)的廣義互相關(guān)來估計(jì)時間延遲，是此算法的基本思想。在此基礎(chǔ)之上，通過頻域加權(quán)函數(shù)對信號進(jìn)行前置濾波，盡量抑制噪聲的干擾，然后對加權(quán)后的函數(shù)進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算可獲得其峰值，工作原理如圖1所示。

圖1 廣義互相關(guān)時延估計(jì)工作原理

根據(jù)維納—辛欽定理可知，互相關(guān)函數(shù)與其互功率譜密度互為傅里葉變換對，則x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)又可以表示為：

其中，G12(ω)是x1(t)和x2(t)的互功率譜函數(shù)。當(dāng)x1(t)和x2(t)經(jīng)過濾波后，輸出信號的互功率譜函數(shù)可以寫為：

其中，H1和H2表示濾波函數(shù)，(ω)表示H2(ω)取共軛。所以，信號x1(t)和x2(t)的廣義互相關(guān)函數(shù)可表示為：

其中，ψ12(ω)=H1(ω)H2*(ω)，表示廣義頻域加權(quán)分量。在時延估計(jì)過程中，可以通過選取不同加權(quán)函數(shù)來針對不同類型的干擾噪聲進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波處理，從而有效抑制噪聲干擾的影響[5]，然后會使得R12(τ)有一個峰值相對較大、較尖銳，其對應(yīng)的橫坐標(biāo)即為所求時延，從而提高時延估計(jì)精度。

廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法流程，如圖2所示，圖中( )*表示取共軛運(yùn)算。

圖2 廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法流程

在廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法流程中，先對兩個通道的接收信號分別進(jìn)行快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform），然后計(jì)算它們的互功率譜，在頻域?qū)邮招盘柕幕スβ首VG12(ω)進(jìn)行加權(quán)函數(shù)計(jì)算，將結(jié)果進(jìn)行快速傅里葉逆變換IFFT（Inverse Fast Fourier Transform），最后得到的互相關(guān)函數(shù)的峰值就對應(yīng)了兩個通道的接收信號的時延差τ。為了比較不同加權(quán)函數(shù)對接收信號進(jìn)行濾波的效果，本文采用了加權(quán)函數(shù)，如表1所示。

表1 加權(quán)函數(shù)表達(dá)式及其特性

3 仿真與分析

為了分析研究不同加權(quán)函數(shù)在不同信噪比環(huán)境下廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法對時延估計(jì)性能的影響，下面通過MATLAB構(gòu)造加有平穩(wěn)高斯白噪聲的兩個通道接收信號進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中采用的信號是幅度為5、頻率為10 kHz、長度為1 024的正弦波信號，采用500 kHz的采樣頻率對兩個通道接收到的信號進(jìn)行采樣。假設(shè)兩個信號之間延遲為10個采樣間隔，即延遲時間τ=0.02 ms的正弦波來仿真模擬兩個不同通道的接收信號，其中噪聲是平穩(wěn)高斯白噪聲。假設(shè)信號與噪聲、噪聲與噪聲都是相互獨(dú)立的，在信噪比為10 dB的環(huán)境下，兩個仿真接收信號的波形如圖3所示，基本互相關(guān)時延估計(jì)算法的仿真結(jié)果如圖4所示。采用PHAT加權(quán)函數(shù)算法、Roth加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和HB加權(quán)函數(shù)算法的廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法，仿真結(jié)果分別如圖5（a）、圖5（b）、圖5（c）和圖5（d）所示。

通過對比圖4和圖5可以看出，利用廣義互相關(guān)得到的時延估計(jì)消弱了接收信號中周期性干擾信號的影響，且其互相關(guān)函數(shù)峰值也更尖銳。其中，Roth加權(quán)函數(shù)算法表現(xiàn)出的抗干擾噪聲能力較弱，且時延估計(jì)仿真中出現(xiàn)了次峰波動較大的現(xiàn)象，進(jìn)而其互相關(guān)函數(shù)的主峰值則幾乎淹沒在噪聲干擾中。HB加權(quán)函數(shù)算法相比PHAT加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和Roth加權(quán)函數(shù)算法的互相關(guān)函數(shù)的峰值，更加尖銳。HB加權(quán)函數(shù)算法的相關(guān)函數(shù)主峰值受次峰值影響較小，抗噪聲干擾能力得到了提高，所以能夠表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，但也存在次峰波動現(xiàn)象。

圖3 兩個仿真接收信號波形

圖4 基本互相關(guān)算法仿真結(jié)果

圖5 信噪比10 dB時不同加權(quán)算法比較

在信噪比為20 dB的環(huán)境噪聲下，不同加權(quán)函數(shù)算法時延估計(jì)算法仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 信噪比20 dB時不同加權(quán)算法比較

通過比較圖5和圖6可知，隨著信噪比的增高，幾種加權(quán)函數(shù)算法時延估計(jì)的仿真效果對比較為鮮明。信噪比較高時，4種加權(quán)函數(shù)算法時延估計(jì)的互相關(guān)函數(shù)峰值均被明顯凸現(xiàn)出來，而Roth的峰值受噪聲影響較大，即抗噪聲性能也比另外3種略弱。隨著信噪比的降低可以看出，經(jīng)Roth加權(quán)函數(shù)算法處理后的峰值幾乎被淹沒在噪聲中，另外3種加權(quán)函數(shù)算法對接收信號的互相關(guān)處理后，峰值也會有所減弱，但還具有一定的抑制噪聲能力。

在信號長度為1 024、采樣頻率為500 kHz的MATLAB仿真中發(fā)現(xiàn)，時延估計(jì)的精確性達(dá)不到期望的理想狀態(tài)。為了分析接收信號的長度對廣義互相關(guān)時延估計(jì)在不同加權(quán)函數(shù)算法的性能影響，本文在信噪比為40 dB的環(huán)境噪聲下，采用兩個不同通道的接收信號幅度為5、頻率為10 kHz、信號長度為1 024 000的正弦信號，采用的采樣頻率同樣是500 kHz，兩個信號之間的延遲為10個采樣間隔時的時延估計(jì)仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 信號長度1 024 000時不同加權(quán)算法比較

在不同長度的接收信號仿真中，信號長度越長，不同加權(quán)函數(shù)算法的廣義互相關(guān)時延估計(jì)總體效果越穩(wěn)定，其中PHAT加權(quán)函數(shù)算法、SCOT加權(quán)函數(shù)算法和HB加權(quán)函數(shù)算法的時延估計(jì)最接近，都比Roth加權(quán)函數(shù)算法有更高的抗噪聲性能。仿真也發(fā)現(xiàn)，隨著信號長度的減小，廣義互相關(guān)時延估計(jì)精度性能達(dá)不到估計(jì)效果，從而導(dǎo)致時延估計(jì)失效。

信號長度為1 024 000、估計(jì)延時為0.02 ms時，不同加權(quán)函數(shù)算法仿真運(yùn)行結(jié)果如表2所示。

表2 不同加權(quán)函數(shù)算法仿真運(yùn)行結(jié)果

從表2的運(yùn)行結(jié)果可以看出，不同加權(quán)函數(shù)算法估計(jì)時延的時間是不同的。通過仿真得知，信號長度越長，算法運(yùn)行時間越久，相同信號長度的時延估計(jì)中，Roth加權(quán)函數(shù)算法運(yùn)行時間最短，HB加權(quán)函數(shù)算法運(yùn)行時間最長。

綜合以上分析結(jié)果可以得出，HB加權(quán)函數(shù)算法的互相關(guān)函數(shù)值的峰值更為尖銳，相對次峰更少，所以受次峰值影響較小。信噪比越大，接收信號的長度越長，算法用時越多，同時時延估計(jì)的準(zhǔn)確性越高。相同接收信號長度，不同加權(quán)函數(shù)算法的時延估計(jì)時間也略有差別。使用HB加權(quán)函數(shù)算法得到的時延估計(jì)性，在以上4種加權(quán)函數(shù)算法中，抗噪性能和時延估計(jì)精度表現(xiàn)最好，即表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 語

廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法是信號處理中時延估計(jì)領(lǐng)域的經(jīng)典算法，具有較高的估計(jì)精度。但是，在低信噪比情況下，次峰值波動明顯且使得相關(guān)函數(shù)的峰值受到壓制，估計(jì)性能會惡化。本文經(jīng)MATLAB仿真研究得出：信噪比越大，接收信號長度越長，時延估計(jì)效果越理想；Roth加權(quán)函數(shù)算法具有一定的抗噪聲能力，但其性能相比于SCOT加權(quán)函數(shù)算法、HB加權(quán)函數(shù)算法及PHAT加權(quán)函數(shù)算法，表現(xiàn)略有不足，HB加權(quán)函數(shù)算法表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。本文只是進(jìn)行了廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法的理論研究，實(shí)際中應(yīng)該根據(jù)具體實(shí)際環(huán)境選取不同的算法。時延估計(jì)技術(shù)在雷達(dá)、衛(wèi)星、聲吶等領(lǐng)域均有重要的應(yīng)用，所以如何在低信噪比環(huán)境下改進(jìn)廣義互相關(guān)時延估計(jì)算法，是今后需要研究的重點(diǎn)和方向。

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