波束形成算法研究與改進

劉 權(quán)，周淵平，徐 磊，黃思遠

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065)

0 引言

智能天線系統(tǒng)是由陣列天線、模數(shù)轉(zhuǎn)換、自適應波束形成等幾部分構(gòu)成的。自適應處理系統(tǒng)可以根據(jù)信號的空時域特性和高效的自適應準則，采用有效的算法，產(chǎn)生最優(yōu)化的權(quán)值，進而實現(xiàn)信號的最佳接收狀態(tài)。波束形成算法是智能天線技術(shù)的核心內(nèi)容之一[1]，算法收斂速度的快慢、計算復雜度、應用效果等因素都直接影響智能天線系統(tǒng)的性能。采用合適的波束形成算法成為研究重點。

1 算法分析

1.1 LMS算法

對于有M個陣元的均勻直線陣列的輸入信號為S(n)=[s0(n),s1(n),…,sM-1(n)]T，通過各個陣列元通道的加權(quán)后，合成的輸出信號表示為：

y(n)=WTS(n)

(1)

式中：

W=[w0,w1,…,wM-1]T

陣列輸出信號的均方為:

=E[(WTS(n)SH(n)W*)*]

=WHE[S*(n)ST(n)]W=WHRW

(2)

其中R=E[S*(n)ST(n)]

誤差信號定義為：

e(n)=d(n)-y(n)

(3)

式中d(n)為期望得到的信號。

期望信號與陣列輸出信號的差值的均方誤差ξ為：

(4)

式中：R=E[x*(n)x(n)],r=E[x*(n)d(n)]

均方誤差ξ對加權(quán)向量W的梯度表示為：

(5)

當梯度為零時，均方誤差信號的函數(shù)取得極小值[2]，由此可得到：

Wopt=R-1r

(6)

為了減少算法的復雜度，避免矩陣的求逆計算，一般采用最陡下降法的LMS算法逐次迭代加權(quán)值的向量。在最陡下降法中[3]，可以設(shè)置一個W的初始值W(0)，用均方誤差減小的方向來不斷地調(diào)整W，可以找到一個較優(yōu)化的Wopt，采用的遞推公式為：

W(n+1)=W(n)-mNwx

=W(n)-2m[RW(n)-r]

(7)

其中，m為步長，是一個常數(shù)。在該梯度算法中需要R與r的精確數(shù)值，所以要求輸入信號和誤差信號必須要穩(wěn)定，而且要求二階統(tǒng)計特性是已知的。但是在實際的應用場景中，滿足這樣的要求比較困難，于是采用估計值代替精確值。可以采用輸入信號和誤差信號的瞬時值來估計互相關(guān)矩陣與自相關(guān)矩陣，于是R=x*x,r=x*d，因此，式(7)可以改寫為式(8)：

W(n+1)=W(n)+2me(n)x*(n)

(8)

1.2 GSC算法

廣義旁瓣信號相消器由主支路和輔助支路兩部分組成，并且要求期望信號只能從主支路加權(quán)值通過，輔助支路中只含有噪聲分量和干擾信號，兩條支路不斷地自適應進行差值得到理想的輸出信號[4]，算法的具體描述如下：

輸出信號的功率為：

(9)

其中，W=WC-BHWa為GSC整體權(quán)值，WC為主支路權(quán)值，Wa為輔助支路的自適應權(quán)值，B為M×(M-1)維的阻塞矩陣，BHC=0，B的作用就是阻塞掉理想的期望信號，組成B的列向量是位于構(gòu)造約束空間的正交互補空間中的向量[5]，R=E[S*(n)ST(n)]。

整體權(quán)值也可以表示為：

WC-BHWa=R-1CH(CR-1CH)-1c

(10)

其中，C是信號方向矢量，c是一個常數(shù)。

主支路權(quán)值為：

WC=CH(CCH)-1c

(11)

阻塞矩陣滿足的約束條件為：

BCH=0

(12)

輔助支路權(quán)值為：

Wa=(BRBH)-1BRWc

(13)

由此可知，廣義旁瓣信號相消器實現(xiàn)了能夠消除干擾和噪聲，輸出理想的信號[6]。

1.3 MMSE算法

該波束形成算法是求取一個最優(yōu)的權(quán)值，能夠使陣列天線輸出與參考信號的差異最小，也就是[7-8]:

minE[|WTr(t)-d(t)|2]

(14)

式中，W為權(quán)值，r(t)是輸入信號,d(t)是參考信號。

擴展式(14)，得:

E[|WTr(t)-d(t)|2]=WHE[r*(t)r(t)T]W-WHE[d(t)r*(t)]-E[d*(t)r(t)T]W+E[d*(t)d(t)]=J(W,W*)

(15)

將式(15)的梯度向量設(shè)為0:

(16)

可得到最優(yōu)解為：

Wopt=R-1P

(17)

其中：

R=E[r*(t)r(t)T]

(18)

P=E[r*(t)d(t)]

(19)

1.4 三種算法仿真實驗結(jié)果

仿真環(huán)境如下：陣元個數(shù)為12，信噪比SNR均為10 dB，快拍數(shù)1 000，信干噪比SINR=-2 dB，仿真信道滿足瑞利信道的模型構(gòu)造，仿真包含1個理想信號，3個獨立的干擾。

三種算法的波束圖比較如圖1所示，可以看出，MMSE的分辨率效果最好，同時在干擾抑制效果上，MMSE最好，LMS和GSC次之。MMSE動態(tài)權(quán)值矢量能夠自適應地在期望方向形成峰值并在干擾方向形成零陷，具有抑制干擾的能力和高分辨率的特點。但是MMSE算法也有一些缺點，即天線數(shù)量較多時，計算量太大，對硬件的要求高，無法跟蹤信道參數(shù)，會受到干擾信號的時延影響。

圖1 LMS、GSC、MMSE三種算法的空間譜

2 MMSE算法的改進

傳統(tǒng)的MMSE算法是通過公式(17)來確定最優(yōu)權(quán)值的，這樣增加了算法的復雜度和計算量。特別是在大規(guī)模天線的情況下，這樣對硬件的要求太高，因此，MMSE算法的改進在于實現(xiàn)單根天線單權(quán)值的調(diào)整，采用自適應的算法完成天線的最優(yōu)權(quán)值搜索。

傳統(tǒng)MMSE的約束方程為：

J=E[|WHX(n)-d(n)|2]

(20)

將傳統(tǒng)方程中WHX(n)進行轉(zhuǎn)化：

(21)

其中：

(22)

Xk(n)表示第k個接收天線的接收信號。

將式(22)代入式(21)中得到：

|d(n)|2

(23)

將式(23)求導，得：

(24)

因此可以得到：

(25)

其中:

λ2=E[|xk(n)|2]

(26)

仿真環(huán)境如下：陣元個數(shù)為16，信噪比SNR為10.2 dB，快拍數(shù)為1 000，信干噪比SINR=-1.5 dB,天線間距為1/2波長，仿真信道滿足瑞利信道的模型構(gòu)造，仿真包含一個理想信號(角度0°)和理想信號的多徑(角度50°)，以及兩個獨立的干擾(角度為-20°和10°)。

仿真結(jié)果如圖2～圖4。圖2中，單權(quán)值MMSE算法的波束圖與傳統(tǒng)MMSE的波束圖相比，前者對多種干擾的抑制作用更加明顯，對理想信號的多徑都具有較好效果。

圖3中，兩者的初始信噪比SNR=18.5 dB；經(jīng)過智能天線的算法處理后，普通MMSE算法的信干噪比SINR1=25.3 dB；單權(quán)值調(diào)整MMSE算法的信干噪比SINR2=25.6 dB，經(jīng)過逐個天線調(diào)整的最優(yōu)權(quán)值對干擾的抑制作用稍高于普通的MMSE算法。

圖4中，隨著單根天線的權(quán)值迭代次數(shù)的增加，誤碼率也會降低，經(jīng)過一段時間的迭代，權(quán)值會達到一個較優(yōu)的狀態(tài)，使誤碼率保持在低值。

圖2 傳統(tǒng)MMSE和單權(quán)值調(diào)整MMSE的波束圖

圖3 改進MMSE算法與傳統(tǒng)MMSE的收斂圖

圖4 改進MMSE算法誤差趨勢圖

3 結(jié)論

本文分析了LMS、GSC、MMSE三種算法的原理，實際上陣元個數(shù)、天線間距、初始信噪比、快拍數(shù)等因素都會影響波束形成算法的效果，在相同條件的情況下，比較了三種算法的性能。傳統(tǒng)MMSE算法能夠使主瓣對準理想信號的方向，對干擾方向進行零陷，從而提高陣列輸出的信噪比，具有較好的抑制干擾的作用。GSC 算法與阻塞矩陣的個數(shù)有較大的關(guān)系，阻塞矩陣與天線的個數(shù)有關(guān)，矩陣求逆運算復雜度較高。LMS算法在穩(wěn)定且信號統(tǒng)計未知的情況下，通過遞歸迭代的算法求出理想權(quán)值，但是沒有利用之前循環(huán)的陣列的樣本信息，導致估計的梯度協(xié)方差偏大，更新的權(quán)向量不能很好地抑制干擾。盡管傳統(tǒng)MMSE算法在抑制干擾上有較好效果，但是矩陣的求逆導致復雜度較高，在實際應用中對硬件要求高。單根天線逐步調(diào)整的MMSE算法避免了這種情況，同時提高了信噪比，抑制干擾的能力有一定提升，但是單權(quán)值MMSE和傳統(tǒng)MMSE都沒有解決干擾信號時延造成波峰混疊的問題，在今后的研究中，將進一步提高該算法的性能。

參考文獻

[1] 王永良，丁前軍，李榮鋒，等.自適應陣列處理[M]. 北京：清華大學出版社，2009.

[2] 張驊，郭衛(wèi)展. LMS自適應波束形成[C]. 北京：第十屆全國雷達學術(shù)年會，2009.

[3] 李海波.基于LMS算法的自適應波束形成的性能研究[D].重慶：重慶大學，2010.

[4] GROSS F. Smart antennas for wireless communications: with MATLAB[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[5] 李煒 孫超.一種用于波束形成的改進LMS算法分析[D].西安：西北工業(yè)大學，1994.

[6] 金榮洪，耿軍平，范瑜, 等.無線通信中的智能天線[M]. 北京：北京郵電大學出版社，2006.

[7] 李洪濤.自適應數(shù)字波束形成關(guān)鍵技術(shù)研究[D].南京：南京理工大學，2010.

[8] 康銳堅.用于智能天線技術(shù)中的MMSE波束成形器[D].廣州：中山大學，2005.