提丟斯一波得定則是真的嗎？

陳厚尊

所謂的提丟斯一波得定則（Titius Bode Law）是一套純粹的經(jīng)驗關(guān)系，源于一個簡單的數(shù)學游戲。為了說明它，我們首先給出如下一串數(shù)列：

0，3，6，

12，24，48，96，192，……

這串數(shù)列的規(guī)律很簡單：除了前兩個數(shù)字0和3以外，后面的數(shù)字依次是前一個數(shù)字的2倍。之后，我們?yōu)槊恳粋€數(shù)字加4，得到一串新數(shù)列：

4，7，10，16，28，52，100，196，……

再全部除以10，得到：

0.4，0.7，

1.0，

1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，……

如果你去查一下太陽系各大行星到太陽的平均距離（以天文單位AU為單位），你會得到水星為0.39，金星為0.72，地球是1（這是顯然的），火星是1.52，小行星帶散布于2.17至3.64之間，均值為2.9，木星是5.20，土星是9.54，天王星是19.18……與上面數(shù)列的誤差均在5%以內(nèi)！

事實上，早在18世紀中葉，這套經(jīng)驗關(guān)系就被一位名叫丹尼爾·提丟斯的中學教師發(fā)現(xiàn)，后被柏林天文臺臺長約翰·波得歸納成經(jīng)驗公式發(fā)表。當時的天文學家只知曉水星、金星、火星、木星和土星五顆肉眼可見的明亮大行星，與上面的數(shù)列對比下來，波得發(fā)現(xiàn)在2.8的位置有一個明顯的空缺。他猜測在距離太陽2.8個天文單位的位置上應該存在一顆“丟失的”大行星。天文學家聞訊熱情高漲，立刻響應波得的號召，搜索這顆未知的天體，然而十幾年過去了均一無所獲。直到1781年，英國天文學家威廉·赫歇爾在金牛座中意外地發(fā)現(xiàn)了一顆疑似是彗星的太陽系內(nèi)天體。波得猜測它是一顆新的行星，并計算了它的軌道，發(fā)現(xiàn)它到太陽的距離與提丟斯數(shù)列上繼土星之后的下一項——19.6——相吻合（天王星的軌道半徑約為19.2天文單位）。這便是太陽系第七大行星——天王星——的發(fā)現(xiàn)。這更加使天文學家確信，在火星軌道和木星軌道之間，必定隱藏著一顆未知的大行星。20年后，位于意大利西西里島的一個偏僻的天文臺終于傳出消息：此臺臺長在進行常規(guī)觀測時，發(fā)現(xiàn)了一顆新天體，經(jīng)過計算，它到太陽的平均距離是2.77天文單位，與期待中的2.8極為近似。新天體被命名為谷神星（Ceres）?？墒桥c其他大行星比起來，谷神星的個頭實在太小了，半徑只有473千米。我倒覺得此事應在意料之內(nèi)，因為假如在這個位置上存在與地球體積相仿的大行星的話，它在沖日的時候應當肉眼可見。后來，天文學家在火星和木星軌道之間陸續(xù)又發(fā)現(xiàn)了許多圍繞太陽公轉(zhuǎn)的天體，個頭也都不大。如今我們知道，在提丟斯數(shù)列2.8的位置上沒有大行星，而是存在一條小行星帶，數(shù)以萬計的小天體散落其間。隨著天體力學的發(fā)展，天文學家逐漸認識到小行星帶的存在并非偶然。太陽和木星是太陽系內(nèi)的引力主導天體，兩者的引力作用使得提丟斯數(shù)列2.8的位置上并不具備大行星的形成條件，所以就留下了數(shù)不清的大行星“邊角料”。

接下來便是勒威耶在“筆尖”上發(fā)現(xiàn)海王星的傳世佳話了。勒威耶是法國數(shù)學家、天文學家，天體力學功底格外扎實，又工于計算。在他35歲時，就憑借天文觀測所得的天王星軌道擾動，反推出了一顆新行星（海王星）的軌道參數(shù)，因此名聲大震。但是，新發(fā)現(xiàn)的海王星似乎是提丟斯一波得定則的一個反例，它并不在數(shù)列預言的38.8的位置上，而是要近許多（它到太陽的平均距離只有30.11天文單位），誤差達到了20%。鑒于海王星擁有的龐大體積和質(zhì)量，很難質(zhì)疑它大行星的地位，因此，天文學家只好將堅持了80年的提丟斯一波得定則扔進歷史的垃圾桶。

實際上，除了太陽系的大行星系統(tǒng)以外，天文學家還在成員數(shù)目較多的氣態(tài)行星的衛(wèi)星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了與提丟斯一波得定則類似的經(jīng)驗規(guī)律。以木衛(wèi)系統(tǒng)為例，在天文望遠鏡的低倍視場中，這里像極了一個微縮版的“太陽系”。1610年，伽利略使用自制的折射望遠鏡第一次發(fā)現(xiàn)了圍繞木星公轉(zhuǎn)的四顆大衛(wèi)星，它們從內(nèi)到外依次被命名為艾奧（木衛(wèi)一）、歐羅巴（木衛(wèi)二）、加米尼德（木衛(wèi)三）和卡利斯托（木衛(wèi)四）。1892年9月9日，又一顆木星的衛(wèi)星阿馬爾塞（木衛(wèi)五）被美國著名天文學家愛德華·巴納德依靠目視發(fā)現(xiàn)。木衛(wèi)五的軌道在木衛(wèi)一之內(nèi)，非?？拷拘恰Ｌ煳膶W家發(fā)現(xiàn)，若給出如下一串數(shù)列：

0，1 2，24，48，96，……

先在每個數(shù)字上加10，然后再除以10，可以得到新數(shù)列：

1.0，2.2，3.4，5.8，10.6.……

這個數(shù)列恰好與以木衛(wèi)五為基準單位，木衛(wèi)五、木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三、木衛(wèi)四到木星的平均距離相吻合。在土衛(wèi)系統(tǒng)、天衛(wèi)系統(tǒng)和海衛(wèi)系統(tǒng)中也都存在這樣的“類提丟斯數(shù)列”，當然，也同時存在許多如海王星這樣的反例。其中一些反例可以用后期俘獲說來解釋，另一些則不能。如何解釋這一現(xiàn)象呢？

天文學家猜測，這也許是軌道共振現(xiàn)象（OrbitalResonance）在太陽系的長期演化中留下的痕跡。所謂軌道共振，是指當兩個天體的公轉(zhuǎn)周期之比為有理數(shù)時，就像蕩秋千時不斷在同一位置施加推力一樣，會出現(xiàn)周期性的引力作用，長此以往產(chǎn)生積累性影響，從而導致軌道的不穩(wěn)定。軌道共振導致軌道不穩(wěn)定的一個最佳實例來自土星環(huán)。當視寧度好的時候，即使是小型天文望遠鏡也能在土星環(huán)中看到一條黑色的縫隙，這就是土星環(huán)中最寬的卡西尼縫，最早由意大利天文學家卡西尼發(fā)現(xiàn)。卡西尼縫將土星環(huán)分成了A環(huán)和B環(huán)。可是，卡西尼縫是怎么來的呢？原來，在土衛(wèi)系統(tǒng)中，有一顆長得像《星球大戰(zhàn)》里“死星”的衛(wèi)星：美馬斯（又稱土衛(wèi)一），它雖然只是土星的第七大衛(wèi)星，卻是大個頭的衛(wèi)星里離土星最近的一個，因此也影響了土星環(huán)的形狀。天文學家發(fā)現(xiàn)，卡西尼環(huán)縫中的天體的軌道周期恰好是美馬斯軌道周期的1/2，也就是說，卡西尼環(huán)縫中的天體與美馬斯形成了1：2的軌道共振關(guān)系，所以是不穩(wěn)定的。

回到提丟斯一波得定則的問題上來。我們注意到，構(gòu)造這種“類提丟斯數(shù)列”的出發(fā)點往往是一組等比數(shù)列，其公比是2或者3。這意味著，在符合提丟斯一波得定則的衛(wèi)星或行星系統(tǒng)中，相鄰兩個成員間的軌道半徑有個近似的等比關(guān)系（比如木星到太陽的距離差不多是火星的2倍，土星又是木星的2倍，等等）。讀者不妨回憶下高中數(shù)學的相關(guān)內(nèi)容，等比數(shù)列的通項公式本質(zhì)上是個指數(shù)函數(shù)。另一方面，根據(jù)開普勒第三定律，行星公轉(zhuǎn)軌道半徑的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方之比是個與行星無關(guān)的常數(shù)。因此，受提丟斯一波得定則約束的行星系統(tǒng)，其任意兩個成員之間的公轉(zhuǎn)周期之比都不太可能是有理數(shù)，自然也就不存在軌道共振關(guān)系。不過，真正的邏輯應該是反過來的，即：太陽系早期的數(shù)個大行星胚胎在公轉(zhuǎn)過程中相互影響（主要是依靠軌道共振相互推擠），逐漸清空了共振軌道附近的小天體，最后只留下了在提丟斯數(shù)列指定位置附近的大行星候選者。照此看來，提丟斯一波得定則存在反例就不奇怪了，因為它并非脫胎于某個嚴格的物理定律，說到底也只是解決軌道共振不穩(wěn)定性的一個方案而已。換句話說，只要各大行星間的軌道不存在共振，當前的布局就能穩(wěn)定存在下去，不一定非要嚴格遵循提丟斯一波得定則指定的位置。

問題就此解決了嗎？當然不是。事實上，關(guān)于提丟斯一波得定則的起源，至今并沒有一套令人信服的物理圖像，以上解釋也僅僅是個假說而已，許多細節(jié)都似是而非，難以自圓其說。尤其是進入21世紀以來，得益于開普勒衛(wèi)星的發(fā)射以及數(shù)據(jù)分析手段的進步，天文學家?guī)缀踉谝灰怪g就“井噴般”發(fā)現(xiàn)了空前數(shù)目的系外行星，其中既有體積龐大的類木行星，也有大小與地球相仿的類地行星，有的恒星近旁還發(fā)現(xiàn)了不止一顆行星。如此一來，天文學家就有了許多樣本，來檢驗提丟斯一波得定則的普適性。的確，有的系外行星系統(tǒng)似乎也遵循類似于提丟斯一波得定則的分布模式，但更多的行星圍繞恒星公轉(zhuǎn)的軌道其實是五花八門、毫無規(guī)律可言的。更有甚者，天文學家還在許多恒星的近旁發(fā)現(xiàn)了體積堪比木星的巨行星。此類行星有個形象的別稱：熱木星（HotJupiter）。熱木星的存在嚴重挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的行星形成理論，自然，天文學家以此為基礎(chǔ)提出的提丟斯一波得定則的形成假說也面臨著崩塌的危險。目前來看，行星遷移機制（PlanetaryMigration）是解釋熱木星存在的唯一合理的假說。至于提丟斯一波得定則是否能與行星遷移機制掛上鉤，更是未知中的未知。