排列組合的一次教學(xué)嘗試

王一峰

排列組合是高中新課標(biāo)的新增內(nèi)容，雖然在初中時(shí)學(xué)生也接觸過(guò)概率，但還沒(méi)有用排列組合去研究概率。因?yàn)榕帕薪M合極具抽象性而成為教學(xué)難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教師都很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言講給學(xué)生聽(tīng)，有的即使教師覺(jué)得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解，甚至覺(jué)得“云里霧里”。

之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合（甚至教師也怕教），主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，自己將題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過(guò)程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，可操作性。

例：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù)，問(wèn)這樣的五位數(shù)有幾個(gè)？

（本題我是先讓學(xué)生自己獨(dú)立計(jì)算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是A35×A24）

（1）仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題，但是由于這五個(gè)數(shù)來(lái)自兩個(gè)不同的組，因此是一個(gè)“分組排列問(wèn)題”，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

（2）轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)甲將題目轉(zhuǎn)換如下：

從班里的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加學(xué)校舉辦的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，問(wèn)有多少種不同的選法？

（3）解決問(wèn)題：接著我就讓同學(xué)甲來(lái)提出選人的方案

同學(xué)甲說(shuō)：先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽，有A312×A35種選法；再?gòu)牡诙M的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有A210×A25種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（A312×A35）×（A210×A25）（種）。

（這時(shí)同學(xué)乙表示反對(duì)）

同學(xué)乙說(shuō)：如果第一組的3個(gè)人先選了3門(mén)科目，那么第二組的2人就沒(méi)有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是A210×A22（種）。

（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)丙說(shuō)太復(fù)雜啦。）

同學(xué)丙說(shuō)：可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來(lái)，然后將這5個(gè)人在5門(mén)學(xué)科中排列，他列出的計(jì)算式是C312×C210×A55（種）。

（再次通過(guò)互相討論，都表示贊同）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來(lái)C312×C210×A55（種）。

（4）老師總結(jié)：針對(duì)這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對(duì)象選定，再對(duì)它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課中對(duì)排列組合問(wèn)題學(xué)習(xí)的分析過(guò)程，旨在通過(guò)這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過(guò)程中學(xué)會(huì)自己分析轉(zhuǎn)換問(wèn)題，解決問(wèn)題。