最小化CVaR對(duì)沖問(wèn)題的隨機(jī)分形搜索算法求解

李國(guó)成

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

在完全金融市場(chǎng)里，一個(gè)未定權(quán)益如期權(quán)所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)和債券的投資組合來(lái)完全對(duì)沖[1]。但實(shí)際市場(chǎng)中由于隨機(jī)波動(dòng)率、跳躍以及交易的不連續(xù)性等因素的存在而使得市場(chǎng)是不完全的，未定權(quán)益的風(fēng)險(xiǎn)是不能被完全對(duì)沖掉的，而是部分對(duì)沖，通常采用平方對(duì)沖(Quadratic Hedging)。平方對(duì)沖方法雖然方法簡(jiǎn)單，但是具有顯著的不足，即對(duì)”超額收益“加以懲罰[2]，這與實(shí)際投資者的需求是不一致。F?llmer和Leukert提出分位數(shù)對(duì)沖[3]，即在給定較小初始成本情形下通過(guò)最大化成功對(duì)沖概率來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)對(duì)沖。文獻(xiàn)[4]的研究將該方法應(yīng)用到一般的損失函數(shù)如期望損失最小化等。黃金波等研究采用最小化風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk, VaR)來(lái)獲得最優(yōu)對(duì)沖策略[5]。

但VaR作為風(fēng)險(xiǎn)的度量方法不具有次可加性和凸性，不是一致性的風(fēng)險(xiǎn)度量[6]。為此，Rockafellar和Uryasev提出一種改進(jìn)的VaR[7]，即條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value-at-Risk, CVaR)。CVaR本身所具有的優(yōu)點(diǎn)使得越來(lái)越多的學(xué)者和金融機(jī)構(gòu)采用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量方式。近年來(lái)，CVaR在對(duì)沖問(wèn)題中的應(yīng)用研究也日益增多，如Topaloglou等構(gòu)建了帶有選擇性對(duì)沖的CVaR模型用于國(guó)際資產(chǎn)配置研究[8]，Li和Xu基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量建立帶有收益上下界約束的動(dòng)態(tài)對(duì)沖模型[9]，遲國(guó)泰等基于CVaR建立套期比優(yōu)化模型并與最小方差套期比以及VaR套期比模型進(jìn)行對(duì)比研究[10]，費(fèi)廣平和孫燕紅基于CVaR最小建立最優(yōu)股指期貨套期比決策模型[11]，黃金波和李仲飛研究分布不確定下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略及其效用[12]。本文研究在考慮交易費(fèi)用情形下和在給定初始成本約束條件下采用CVaR來(lái)刻畫(huà)由期權(quán)到期時(shí)的支付和投資組合價(jià)值之間的不對(duì)等所產(chǎn)生的損失風(fēng)險(xiǎn)，建立動(dòng)態(tài)隨機(jī)優(yōu)化模型，并探尋用隨機(jī)分形搜索算法來(lái)求解該模型。

1 最小化CVaR對(duì)沖問(wèn)題

1.1 問(wèn)題描述

考慮金融市場(chǎng)上有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)來(lái)構(gòu)造投資組合，進(jìn)而形成對(duì)沖策略。設(shè)t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)價(jià)格為St，服從跳-擴(kuò)散模型，即滿(mǎn)足以下方程：

(1)

設(shè)債券(無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn))價(jià)格為Bt，滿(mǎn)足以下方程：

(2)

假設(shè)投資期內(nèi)具有T個(gè)離散決策點(diǎn)，投資者通過(guò)構(gòu)造股票和債券的投資組合形成對(duì)沖策略，即投資者在t時(shí)刻持有θt的股票和δt的債券構(gòu)成投資決策φt=(θt,δt)，該投資組合價(jià)值為Vt=θtSt+δtBt，其中t=0,1,…,T-1。則可知投資組合在期末價(jià)值為：

(3)

(4)

其中，V0為初始成本，H=max{ST-K,0}，K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。若初始成本給定，則L(V0,Φ)簡(jiǎn)化為L(zhǎng)(Φ)。且采用自融資策略，即?t=1,2,…,T-1對(duì)沖策略Φ滿(mǎn)足：

(5)

設(shè)Π為滿(mǎn)足自融資條件的允許決策集，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可得期權(quán)賣(mài)出者期末的損失風(fēng)險(xiǎn)的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為：

(6)

其中Fα(Φ,ξ)=ξ+(1-α)-1E[(L(Φ)-ξ)+]，這里(·)+定義為(x)+=max{x,0}。文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步給出在模擬出離散價(jià)格數(shù)據(jù)yj,j=1,2,…,J的概率分布p(yj)的前提下，F(xiàn)α(x,ξ)的近似計(jì)算為：

(7)

1.2 數(shù)學(xué)模型

設(shè)為交易費(fèi)率f，則執(zhí)行一個(gè)對(duì)沖策略Φ產(chǎn)生交易成本為：

(8)

由此可得到在給定初始成本V0和采用自融資策略的條件下帶有交易費(fèi)用的最小化CVaR的最優(yōu)對(duì)沖策略的優(yōu)化模型為：

(9)

如上式(9)所描述的最小化CVaR最優(yōu)對(duì)沖模型是一個(gè)動(dòng)態(tài)隨機(jī)優(yōu)化模型，其目標(biāo)函數(shù)為非線(xiàn)性的且是不光滑的。為此，很多研究者借助于光滑方法來(lái)實(shí)現(xiàn)近似求解，取得了不錯(cuò)的效果[13，14]。本文探尋文獻(xiàn)[15]所提出的隨機(jī)分形搜索算法來(lái)實(shí)現(xiàn)最小化CVaR最優(yōu)對(duì)沖模型的求解，進(jìn)行模擬算例和實(shí)證研究，并和GA、PSO兩種算法進(jìn)行對(duì)比研究。

2 隨機(jī)分形搜索算法

文獻(xiàn)[15]基于分形的擴(kuò)散性質(zhì)提出新的元啟發(fā)式搜索算法即隨機(jī)分形搜索算法(Stochastic Fractal Search, SFS)，主要借助擴(kuò)散和更新過(guò)程(包括兩次更新)來(lái)實(shí)現(xiàn)求解全局優(yōu)化問(wèn)題。其算法步驟簡(jiǎn)述如下[15]：

Step 1 初始化算法的基本參數(shù)：粒子的數(shù)目N和相關(guān)參數(shù)等，設(shè)定迭代終止條件。

Step 2 隨機(jī)生成每個(gè)粒子的初始位置Pi，并賦予相等的初始適應(yīng)度。

Step 3 根據(jù)擴(kuò)散過(guò)程，從式(10)和(11)所描述的兩種高斯游走方式中隨機(jī)選取一種執(zhí)行，其中隨機(jī)數(shù)ε～U(0,1)，BP為最好個(gè)體位置，μBP和μP分別代表相應(yīng)的均值，標(biāo)準(zhǔn)差σ=|(Pi-BP)×log(g)/g|，其中g(shù)為迭代次數(shù)。

Step 4 計(jì)算每個(gè)粒子的概率值Pai=rank(Pi)/N，生成隨機(jī)數(shù)ε，若Pai<ε，則按下式更新每個(gè)Pi，即實(shí)現(xiàn)首次更新，其中Pr和Pt是從種群中隨機(jī)抽取的。

(12)

由此構(gòu)建的啟發(fā)式搜索算法SFS在“勘探”和“開(kāi)采”兩種能力上獲得很好的平衡，具有較好的全局優(yōu)化能力，對(duì)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)的測(cè)試結(jié)果表明其具有很好的優(yōu)化性能[15]。因此，本文探尋用該算法來(lái)求解最小化CVaR對(duì)沖問(wèn)題。

3 交叉熵蝙蝠算法求解最小化CVaR對(duì)沖問(wèn)題的算法架構(gòu)

3.1 個(gè)體構(gòu)成

對(duì)沖策略是一個(gè)決策序列，每個(gè)決策點(diǎn)都有兩個(gè)控制變量，因而隨機(jī)分形搜索算法中種群的每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)滿(mǎn)足自融資條件的可行對(duì)沖策略Xi=(xi1,…,xi,T,xi,T+1,…,xi,2T,ξ)，本文考慮不允許賣(mài)空情形，因而每個(gè)分量都滿(mǎn)足非負(fù)條件。其中ξ為閾值控制變量，前T個(gè)分量為投資者在t=0,1,…,T-1時(shí)刻所持有的股票的比重，后T個(gè)分量為其持有債券的比重。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)的表示

按照前文式(6)和式(9)所描述的最小化CVaR對(duì)沖問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，隨機(jī)分形搜索算法在具體求解該問(wèn)題時(shí)用于評(píng)價(jià)個(gè)體優(yōu)劣的適應(yīng)度函數(shù)可定義如下：

(15)

3.3 約束的處理

本文基于自融資策略研究在非賣(mài)空條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)歐式看漲期權(quán)的套期保值，約束條件如前文式(5)所描述及決策變量的非負(fù)性，考慮到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)相對(duì)穩(wěn)定性的，因而可采用折現(xiàn)價(jià)格可將式(5)簡(jiǎn)化為：

(16)

其中t=0,1,…,T-2。本文采用拉格朗日乘子法引入懲罰因子Mi將約束優(yōu)化轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化，即在式(16)所表示的適應(yīng)度函數(shù)中加入如下懲罰項(xiàng)：

(17)

其中，懲罰因子Mi為非常大的正數(shù)。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

4.1 模擬算例

設(shè)賣(mài)出的歐式看漲期權(quán)的期限分別為3，6，9和12月，通過(guò)構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)和債券的組合資產(chǎn)來(lái)進(jìn)行套期保值，采用CVaR度量期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)，以對(duì)沖成本與CVaR之和最小化為優(yōu)化目標(biāo)來(lái)尋求最優(yōu)動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略。每周決策1次，一年以52周計(jì)；如前所述的跳-擴(kuò)散參數(shù)μ、σ、μJ、σJ和λ分別設(shè)為0.01、0.2、0.1、0.2和10，設(shè)初始價(jià)格S0=100元，敲定價(jià)格K=85元，模擬生成100條價(jià)格路徑進(jìn)行測(cè)試。同時(shí)，假設(shè)同期的活期存款年利率為r=0.4%。

圖1 100條模擬股票價(jià)格路徑

為了便于對(duì)比分析，本文分別用GA、PSO和SFS三種算法求解基于100條模擬股票價(jià)格路徑數(shù)據(jù)的自融資條件下帶有交易費(fèi)用的最小化CVaR最優(yōu)動(dòng)態(tài)對(duì)沖模型，初始成本V0=10元，交易費(fèi)率按0.2%收取，三種算法的求解結(jié)果如表1所示。其中，期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)采用CVaR度量，因初始成本V0固定，故對(duì)沖費(fèi)用僅為執(zhí)行對(duì)沖策略所支付的交易費(fèi)，總和即為風(fēng)險(xiǎn)和對(duì)沖費(fèi)用之和；這三個(gè)指標(biāo)均為劣指標(biāo)，即其值越小越好，三種算法求解結(jié)果對(duì)比勝出者以粗體標(biāo)識(shí)。

表1 模擬算例的動(dòng)態(tài)對(duì)沖結(jié)果

從表1可以看出對(duì)四種歐式看漲期權(quán)執(zhí)行SFS所獲得的對(duì)沖策略的對(duì)沖效果都是最好，其對(duì)應(yīng)的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值都是最小的，對(duì)沖總費(fèi)用也是最低的，其次是GA，PSO所求得的策略對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)能力最差，對(duì)沖成本和風(fēng)險(xiǎn)之和也最大。模擬算例結(jié)果表明SFS算法求解最小化條件在險(xiǎn)價(jià)值最優(yōu)對(duì)沖問(wèn)題是可行的，且取得了不錯(cuò)的對(duì)沖效果。

4.2 實(shí)證研究

本節(jié)借助實(shí)證分析研究來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證SFS算法在求解最小CVaR最優(yōu)動(dòng)態(tài)對(duì)沖問(wèn)題時(shí)的可行性和有效性，選用2014年1月2日至2016年6月31日的上證綜合指數(shù)的日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)共計(jì)642個(gè)樣本數(shù)據(jù)，具體變化趨勢(shì)如圖2所示。指數(shù)初始價(jià)格為S0=1 209.4，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r=0.35%。期權(quán)期限T為四個(gè)不同的到期時(shí)間，其敲定價(jià)格K也設(shè)置為四種不同價(jià)格，具體見(jiàn)表2，分別采用GA、PSO和SFS求解，其結(jié)果如表2所示。其中勝出者以粗體標(biāo)識(shí)。

圖2 2014—2016年上證綜合指數(shù)的日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)

T/周K 風(fēng)險(xiǎn)(CVaR) 對(duì)沖費(fèi)用 總和 GAPSOSFSGAPSOSFSGAPSOSFS1311001424.291470.991342.897.0816.401.101431.371487.391343.8912001243.371252.041214.637.0617.241.061250.431269.281215.6913001163.821141.651077.989.1115.991.171172.931157.641079.1514001000.41089.45998.228.0216.160.901008.421105.61999.122615001005.081018.061018.0210.5431.341.381015.621049.401019.401600996.071061.08915.8510.5333.321.291006.601094.40917.131700935.81969.01853.4910.5231.581.16946.331000.59854.651800747.84723.28691.9711.2129.461.53759.05752.74693.51391900820.44885.04794.9415.6951.931.87836.13936.97796.812000666.41748.47654.2916.5045.311.80682.91793.78656.082100667.7681.69585.9214.7649.691.73682.46731.38587.652200546.38574.87533.7714.9047.931.85561.28622.80535.63522300612.15678.72604.8222.3278.422.60634.47757.14607.422400586.92644.93585.5921.9563.882.52608.88708.81588.112500521.59542.00517.3919.8860.892.08541.47602.89519.472600504.83540.11468.2720.0654.732.28524.89594.84470.55

從表2的對(duì)沖結(jié)果可以看出SFS對(duì)沖的效果最好，風(fēng)險(xiǎn)、對(duì)沖費(fèi)用和總和三個(gè)指標(biāo)值都是最小的，其次是GA，PSO的表現(xiàn)最差。同時(shí)，表2也再次表明本文SFS算法求解CVaR最優(yōu)動(dòng)態(tài)對(duì)沖問(wèn)題是可行和有效的，可以使得投資者以較少的對(duì)沖成本完成現(xiàn)套期保值，進(jìn)而較小風(fēng)險(xiǎn)，具有重要的實(shí)際意義。

為了進(jìn)一步研究初始成本對(duì)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)或?qū)_總費(fèi)用的影響，本文以數(shù)據(jù)集S1(即J=100時(shí)的模擬數(shù)據(jù))為例，并設(shè)定敲定價(jià)格K=2000元，利用SFS算法分別求出初始成本從100元以100元等距遞增到3000元共計(jì)30種不同初始成本對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)和總和(風(fēng)險(xiǎn)和對(duì)沖費(fèi)用之和)，并繪制出風(fēng)險(xiǎn)和總和隨初始成本變化而變化的趨勢(shì)圖，如圖3所示。

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)即CVaR隨著初始成本的增加而減少，并且當(dāng)初始成本足夠大時(shí)(大于3000元時(shí))，風(fēng)險(xiǎn)幾乎為零；風(fēng)險(xiǎn)和對(duì)沖總費(fèi)用的總和也隨著初始成本的增加而減少，并且當(dāng)初始成本足夠大時(shí)(大于1800元時(shí))，總和基本保持平穩(wěn)，這表但對(duì)于期權(quán)的出售者而言，若從風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)和對(duì)沖總費(fèi)用(包括初始成本V0)兩方面綜合考慮，則并不是初始成本越大越好，而是可以選取恰當(dāng)?shù)某跏汲杀究梢允沟每偤妥钚?，即所承?dān)的風(fēng)險(xiǎn)和對(duì)沖總費(fèi)用之和最小。

圖3 初始成本-風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)/總和的變化曲線(xiàn)

5 結(jié)論

本文在給定初始成本的條件下考慮帶有交易費(fèi)用和不允許賣(mài)空的情形，基于自融資策略，以CVaR來(lái)度量期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)，最小化CVaR和對(duì)沖成本之和為優(yōu)化目標(biāo)，建立動(dòng)態(tài)對(duì)沖優(yōu)化模型，該模型目標(biāo)函數(shù)不可微，因而經(jīng)典的基于梯度的優(yōu)化算法已不再適用該模型的求解，同時(shí)，由于情景數(shù)和約束條件個(gè)數(shù)均較多，線(xiàn)性規(guī)劃方法求解成本很高，因而本文通過(guò)個(gè)體構(gòu)成、適應(yīng)度函數(shù)的表示的實(shí)現(xiàn)和自融資約束條件的處理，用隨機(jī)分形搜索算法來(lái)實(shí)現(xiàn)該模型的求解，借助模擬算例和實(shí)證分析兩個(gè)測(cè)試實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)SFS算法求解這個(gè)隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題的可行性和有效性，并與GA和PSO兩種算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明SFS算法所獲得的動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略的實(shí)際對(duì)沖效果是最好的，不僅是可行的，還取得了很好的實(shí)際應(yīng)用效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]Merton R C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics, 1976(3): 125-144.

[2]Schweizer M. A Guided Tour Through Quadratic Hedging Approaches[C]//Jouini E et al. Option Pricing Interest Rates and Risk Management. Cambridge: Cambridge University Press, 2010: 538-574.

[3]F?llmer H, Leukert P. Quantilehedging[J].Finance and Stochastics, 1999, 3(3): 251-273.

[4]F?llmer H, Leukert P. Efficient Hedging: Cost Versus Shortfall Risk[J]. Finance and Stochastics, 2000, 4(2): 117-146.

[5]黃金波，鄭軍，丁杰，等.VaR測(cè)度下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略研究[J].運(yùn)籌與管理，2017，26(3)：138-147.

[6]Morgan J P. RiskMetrics Technical Document [M].4thed. New York: Morgan Guaranty Trust Company, 1996.

[7]Rockafellar R T, Uryasev S. Optimization of Conditional Value-At-Risk[J].Journal of Risk, 1999, 29(1):1071-1074.

[8]Topaloglou N, Vladimirou H, Zenios S A. CVaR Models with Selective Hedging for International Asset Allocation[J].Journal of Banking & Finance, 2002, 26(7):1535-1561.

[9]Li J, Xu M. Risk Minimizing Portfolio Optimization and Hedging with Conditional Value-at-risk[J].Review of Futures Markets 2008(16):471-506.

[10]遲國(guó)泰，趙光軍，楊中原.基于CVaR的期貨最優(yōu)套期保值比率模型及應(yīng)用[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2009，18(1)：27-33.

[11]費(fèi)廣平，孫燕紅.最小CVaR股指期貨套期保值比率的實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013(8)：156-159.

[12]黃金波，李仲飛.分布不確定下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略及其效用[J].中國(guó)管理科學(xué)，2017，25(1)：1-10.

[13]Tarnopolskaya T, Zhu Z. CVaR-minimising Hedging by a Smoothing Method[J]. Anziam Journal, 2010, 52(C):237-256.

[14]張清葉，高巖.基于CVaR投資組合優(yōu)化問(wèn)題的非光滑優(yōu)化方法[J].中國(guó)管理科學(xué)，2017(10)：11-19.

[15]Salimi H. Stochastic Fractal Search: A Powerful Metaheuristic Algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2015(75):1-18.

Abstract: In this paper, based on the jump diffusion model, we consider the problem of hedging conditional value at risk of contingent claims on a stock under transaction costs and given initial cost. A dynamic stochastic optimization model is established, and Stochastic Fractal Search is used to solve the nonlinear optimization problem to obtain the optimal hedging strategy. The results of numerical simulation and empirical research show that Stochastic Fractal Search is feasible and effective for solving the hedging problem by minimum CVaR.

Keywords: hedging; conditional value at risk; jump diffusion model; stochastic fractal search