數(shù)據(jù)包絡(luò)分析研究熱點綜述

張宏軍，徐有為，程 愷，張 睿，尹成祥

陸軍工程大學(xué) 指揮信息系統(tǒng)學(xué)院，南京 210000

1 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是以線性規(guī)劃為基礎(chǔ)，對同類型的多輸入、多輸出決策單元（Decision Making Unit，DMU）進(jìn)行相對有效性評估的非參數(shù)系統(tǒng)分析方法，屬于運(yùn)籌學(xué)、管理科學(xué)和數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)交叉研究[1]的領(lǐng)域。其中，同類型條件要求所有的DMU具有相同的輸入和輸出指標(biāo)、相同的任務(wù)和目標(biāo)，以及相同的外部環(huán)境[2]。DEA根據(jù)各DMU的觀測數(shù)據(jù)，判斷各DMU的相對有效性，本質(zhì)是判斷DMU偏離生產(chǎn)前沿面的程度[3]。相較于傳統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)理論，應(yīng)用DEA對同類型多輸入、多輸出DMU分析時，不需要預(yù)先估計參數(shù)，由于量綱無關(guān)性、無假設(shè)權(quán)重等特點，DEA在避免主觀因素和簡化算法、減少誤差[1]等方面有著巨大的優(yōu)越性。

DEA的研究歷史最早可追溯到1957年Farrell提出的包絡(luò)思想[4]，1978 年由 A.Charnes和 W.W.Cooper等人[5]正式提出。中國學(xué)者研究DEA模型始于1986年，1988年魏權(quán)齡公開出版了關(guān)于DEA模型的第一本專著[6]。在將近40年的研究進(jìn)程中，DEA得到了迅猛發(fā)展，ISI Web of Science Core Collection（Web of Science核心合集）、Engineering Village（EV）和中國科學(xué)引文數(shù)據(jù)庫（CSCD）等各大數(shù)據(jù)庫中相關(guān)文獻(xiàn)檢索數(shù)量均達(dá)到上千篇，已經(jīng)有數(shù)以萬計關(guān)于DEA的研究論文、工作報告和博士論文等發(fā)表。

DEA跨學(xué)科研究已經(jīng)深入到應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)與工程等多個學(xué)科，在多個領(lǐng)域的定量檢測均取得了滿意的效果，表1列舉了部分應(yīng)用領(lǐng)域和相關(guān)文獻(xiàn)。事實說明，DEA已經(jīng)引起國內(nèi)外大批研究人員的關(guān)注。

本文在闡述DEA基本思想和模型的基礎(chǔ)之上，梳理了近年來DEA領(lǐng)域研究的主要成果，重點分析討論了

表1 DEA應(yīng)用文獻(xiàn)分類匯總

DEA當(dāng)前的研究熱點，并對其未來研究趨勢給出了預(yù)測。

2 基本思想和模型

假設(shè)有n個決策單元，m個輸入指標(biāo)和s個輸出指標(biāo)，分式規(guī)劃下，面向輸出的CCR模型如公式（1）所示：

其中，xij、yrj分別表示DMUj的第i種投入和第r種產(chǎn)出，vi、ur分別是對輸入、輸出的度量。規(guī)劃的最優(yōu)值代表了該DMU的相對有效性。如果最優(yōu)值是1，說明該決策單元是DEA有效或DEA弱有效的，否則是無效單元。

根據(jù)Banker[27]提出的生產(chǎn)可能集（PPS）的定義：

定義 T={(x,y)|產(chǎn)出y可由投入x生產(chǎn)產(chǎn)出}為生產(chǎn)可能集，CCR模型對應(yīng)的生產(chǎn)可能集如公式（2）所示：稱作規(guī)模收益不變假定生產(chǎn)可能集，該生產(chǎn)可能集由平凡公理、凸性公理、錐性公理、無效性公理、最小性公理組成的公理體系[5]確定。

應(yīng)用DEA模型分析相關(guān)效率問題時，通常分為確定評價目標(biāo)、選擇同類型的決策單元、建立輸入輸出指標(biāo)體系、選擇合適的DEA模型、評價分析DEA結(jié)果并給出相應(yīng)結(jié)論等一共5個步驟。另外有經(jīng)驗公式[28]，在滿足n≥max{3(m+s),m×s}條件下，DEA模型具有穩(wěn)定和可接受的結(jié)果。

3 DEA擴(kuò)展模型

當(dāng)下DEA模型已經(jīng)成為多投入多產(chǎn)出情況下決策單元相對有效性和規(guī)模收益等方面應(yīng)用最為廣泛的數(shù)理方法之一[2]，基于不同生產(chǎn)可能集假定的模型[29-32]、基于不同偏好的DEA模型[33]、基于不同測度的DEA模型[34-35]等先后被提出。本文將當(dāng)前DEA研究熱點概括為：兩階段DEA、效率排序DEA、隨機(jī)DEA和其他相關(guān)擴(kuò)展問題。下面針對以上研究熱點，分別介紹各方面的模型，并對模型進(jìn)行比較分析。

3.1 兩階段DEA模型

兩階段DEA模型的提出是為了解決類似供應(yīng)鏈系統(tǒng)中內(nèi)部供應(yīng)鏈效率分析問題，它打破了傳統(tǒng)DEA將DMU看做“黑箱”的假設(shè)，將中間輸出/輸入定義為中間措施[36]。兩階段DEA模型主要分為3類：獨立兩階段模型、連接兩階段模型和關(guān)系兩階段模型。

獨立兩階段模型[36-38]是兩階段DEA的最初模型。Wang等[36]分析了22家銀行的效率，定義第一階段為IT相關(guān)的增值活動并產(chǎn)生資產(chǎn)，第二階段銀行使用資產(chǎn)作為資金來源投資證券和提供貸款。Seiford和Zhu[37]應(yīng)用同樣的方法評估美國頂級商業(yè)銀行的效率，在盈利階段銀行消費投入并產(chǎn)生利潤，在營銷階段利用利潤創(chuàng)造市場價值。

連接兩階段模型是獨立兩階段模型的改進(jìn)，包括價值鏈模型[38]（連接兩階段模型的先驅(qū)代表）和網(wǎng)絡(luò)模型[39]。網(wǎng)絡(luò)模型從空間上打開“黑箱”，可以評價DMU單元整體和內(nèi)部各部分的相對有效性。Avkiran[40]使用網(wǎng)絡(luò)模型來研究阿拉伯聯(lián)合酋長國的國內(nèi)商業(yè)銀行，評估了銀行內(nèi)部多個獨立利潤中心之間的效率。同樣的方法、類似的結(jié)構(gòu)還用于研究NBA球隊[41]、中國臺灣銀行[42]、電廠績效[43]和中國臺灣旅游賓館[44]的有效性評估。

關(guān)系兩階段模型是在連接兩階段模型基礎(chǔ)上的又一改進(jìn)。Kao等[45]認(rèn)為兩種效率之間存在乘法關(guān)系并構(gòu)建了相應(yīng)的乘法兩階段模型。Chen等[46]采用加權(quán)求和的方法構(gòu)建了加法兩階段模型。Wang等[47]指出可以采用調(diào)和平均數(shù)，并將其應(yīng)用到一般中國臺灣保險公司得到兩階段的綜合相對有效性。Wang K[48]等同樣應(yīng)用加權(quán)求和的方法，評估了中國商業(yè)銀行的效率。

3.1.1 獨立兩階段模型

面向輸出，規(guī)模收益不變的獨立兩階段模型如公式（3）所示。

圖1 串行網(wǎng)絡(luò)模型

其中和分別為階段1和階段2模型的最優(yōu)值。若=1并且所有的輸入、輸出松弛都為零，則稱該DMU在階段1是CCR有效的。若=1并且所有的輸入、輸出松弛都為零，則稱該DMU在階段2是CCR有效的。

獨立兩階段模型簡單易操作，在第一和第二階段分別套用經(jīng)典DEA方法，但是沒有考慮兩個階段之間的聯(lián)系。比如：存在中期措施不同時處理的情況，甚至允許在第一階段（當(dāng)被視為產(chǎn)出時）將其增加，并在第二階段（當(dāng)被視為投入時）將其減少，由此會引發(fā)沖突。此外，由于獨立兩階段模型是分別評估總體效率和單階段效率的，沒有建立總體效率和單階段效率之間的聯(lián)系，因此DMU總體高效并不等價于單階段也高效。

3.1.2 連接兩階段模型

為了克服獨立兩階段模型的缺陷，連接兩階段DEA方法將階段間相互作用納入總體效率計算中，允許在兩個階段分別使用不同的乘數(shù)集，以保證：DMU總體有效對應(yīng)了兩個階段完全有效。由于乘數(shù)集不同，因此不能用單一線性規(guī)劃一次性處理兩階段的效率[38]。假設(shè)一共有D個中間措施指標(biāo)。連接兩階段模型如公式（4）所示。

其中ω1和ω2是用戶指定的權(quán)重，用于刻畫用戶對兩個階段表現(xiàn)的偏好，符號“～”表示未知的決策變量。模型中將中間措施視為未知的決策變量，有效定義了兩階段生產(chǎn)過程的有效前沿[38]。

網(wǎng)絡(luò)模型按照結(jié)構(gòu)不同分為串行結(jié)構(gòu)、并行結(jié)構(gòu)[39]和混合結(jié)構(gòu)。串行網(wǎng)絡(luò)模型最明顯的特征是DMU之間存在較強(qiáng)的時間依賴關(guān)系，只有當(dāng)前一個DMU產(chǎn)生中間措施后，后一個DMU才能開始工作。含有q個DMU的串行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)不同應(yīng)用場合的需要，串行網(wǎng)絡(luò)模型可以在內(nèi)部程序數(shù)量（一般形式有兩個以上的階段）、投入開始進(jìn)行的階段、產(chǎn)生輸出的階段[39]、中間的措施是否完全消耗等方面改進(jìn)。模型具體計算由公式（5）給出。網(wǎng)絡(luò)模型要求：相同的因子具有相同的乘數(shù)，與所在過程無關(guān)。

并行網(wǎng)絡(luò)模型典型特征是各個級別彼此平行且分開地進(jìn)行操作，DMU之間互相獨立且不依賴。含有q個DMU的并行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 并行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

模型由公式（6）刻畫。并行系統(tǒng)的典型示例是有部門的大學(xué)[39]。整個大學(xué)的效率通過所有部門的總投入和總產(chǎn)出計算。

由于現(xiàn)實生活經(jīng)驗應(yīng)用通常無法用單純的串行結(jié)構(gòu)或并行結(jié)構(gòu)表示，因此提出采用將兩者結(jié)合的方式構(gòu)造混合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[40-44]。通常，混合結(jié)構(gòu)針對不同的經(jīng)驗應(yīng)用有不同的構(gòu)造。

3.1.3 關(guān)系兩階段模型

關(guān)系兩階段模型在充分考慮階段之間相互影響的基礎(chǔ)上，假定模型整體效率和單階段效率存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。關(guān)系兩階段模型與網(wǎng)絡(luò)模型一樣，要求中間措施必須在相關(guān)聯(lián)的兩個階段中使用相同的乘數(shù)集合。

乘法模型的效率分解[45]如公式（7）所示。其中，Eo、、分別表示決策單元的總體效率和第一、二階段的效率，、v、表示最優(yōu)權(quán)重。乘法模型假設(shè)：總體效率是兩個階段的效率相乘，即Eo=×。

乘法模型評估效率分為兩個步驟：第一步以總體效率最優(yōu)為目標(biāo)建立規(guī)劃模型。第二步如公式（8）所示，要求模型在保持最優(yōu)總體效率不變的前提下，以其中一個階段（例如階段二）的效率最大化為目標(biāo)，這是為了解決第一步求解中，存在最優(yōu)權(quán)重不唯一的情況。

加法模型與乘法模型相同，同樣分為兩個步驟求解，差異主要體現(xiàn)在效率分解式上。加權(quán)求和[46]的分解方法按照公式（9）分解總體效率。其中，ξ1和ξ2分別表示兩個階段的權(quán)重系數(shù)，并且滿足ξ1+ξ2=1。

3.2 效率排序DEA模型

效率排序DEA的提出是為了解決經(jīng)典DEA模型無法區(qū)分強(qiáng)大而不同的決策單元的問題。經(jīng)典DEA只能根據(jù)效率得分是否為1將所有決策單元分為有效和非有效兩組，無法為決策者宏觀把握所有DMU提供更多信息。效率排序DEA通過對效率值為1的決策單元再區(qū)分，提供所有的決策單元在排名的相對次序，而不是簡單的分組情況。

交叉效率排序法最早由Sexton等人[49]提出，由此開創(chuàng)了效率排序DEA的研究領(lǐng)域。Jahanshahloo G.R[50]等人根據(jù)與理想解決方案TOPSIS的相似性改進(jìn)方法，使用訂單偏好的技術(shù)計算最終效率得分。

超效率排序法由Andersen和Petersen[51]提出，該方法逐漸演變成用于異常值檢測上[52]。Mehrabian等人開發(fā)的MAJ模型[53]克服了不可行性問題，同時解決了原模型對數(shù)據(jù)變化的敏感性問題。但是，大量模擬實驗[54]已經(jīng)證明，超高效率方法在評估決策單元的效率分?jǐn)?shù)方面效果不理想。

Torgersen等人[55]提出了基準(zhǔn)排序法，決策者根據(jù)決策單元重要程度對有效單位排序。另一種基準(zhǔn)排序法的思路是根據(jù)有效DMU被用作低效DMU基準(zhǔn)的頻率對有效DMU排序[56]。Jahanshahloo G.R[57]等通過移除有效DMU改變參考數(shù)據(jù)集，按照有效DMU對邊界線和低效單元的影響大小排序。

Friedman和Sinuany-Stern[58]借助相關(guān)分析（CCA），將每個DMU通過DEA實現(xiàn)的權(quán)重向量，擬合成由CCA確定的一組權(quán)重，給出了公共權(quán)重法的思想。一種后期分析方法[59]只使用平衡指數(shù)作為排序的依據(jù)。Wu等[60]改進(jìn)后期分析法的模型，并使用最大平衡指數(shù)替代原來的平衡指數(shù)。

3.2.1 交叉效率排序法

交叉效率排序法使用n個線性規(guī)劃評估（即傳統(tǒng)DEA模型）的最優(yōu)權(quán)重，為每個DMU的效率得分計算n次。所有DEA交叉效率分?jǐn)?shù)的結(jié)果可以總結(jié)在交叉效率矩陣中，令hkj是交叉效率矩陣中第k行第 j列元素，如公式（10）所示，表示以第k個決策單元為評估對象時，第 j個決策單元的效率值，則矩陣中對角線上的元素hkk就是第k個DMU的傳統(tǒng)DEA效率值。

Sexton[49]通過計算平均交叉效率得分為所有決策單元按照效率值排序。Doyle和Green[61]基于該思想，提出了結(jié)合同行評估和自我評估的指標(biāo)?；诮徊媾判蚓仃嘯62]的方法可以直接獲得所有DMU的排序順序。交叉效率方法避免了自我評估中存在的偏見，被認(rèn)為是最可靠的排名方法之一。

3.2.2 超效率排序法

超效率排序法通過去除原始公式中的第k個約束，使有效的DMUk能夠達(dá)到大于1的效率分?jǐn)?shù)，如公式（11）所示。其中，J表示除去DMUk以外，其余DMU的集合。超效率模型實質(zhì)是測量有效單位與排除之后的邊界之間的距離，因此最有效的單位可以減少其產(chǎn)出而不降低其效率[52]。

在實際應(yīng)用中，超效率模型一方面存在造成部分單位達(dá)到非常高分?jǐn)?shù)的缺陷，Sueyoshi[63]通過引入權(quán)重的具體界限解決了該問題。超效率模型的另一個缺點是其傾向于返回不可行的結(jié)果，不能為所有DMU提供完整排名。Thrall[64]以及Seiford和Zhu[65]討論并證明超效率DEA模型的不可行條件。盡管MAJ模型解決了不可行性問題，但是由于超效率排序法結(jié)果的不理想，最新文獻(xiàn)里已經(jīng)很少提及該方法。

3.2.3 基準(zhǔn)排序法

基準(zhǔn)排序法評估的是有效單元相對于無效單元的重要性。該方法首先借助加法模型[66]確定所有松弛值為零的有效單元的集合V，再為每個決策單元計算徑向度量，模型由公式（12）給出，徑向度量E2i表示：當(dāng)保持相同數(shù)量的輸入時，最大輸出的比率[52]。

3.2.4 公共權(quán)重法

公共權(quán)重法旨在尋找傳統(tǒng)統(tǒng)計方法與DEA的結(jié)合，使用共同權(quán)重對DMU進(jìn)行多變量統(tǒng)計分析，進(jìn)而對DMU排序。結(jié)合CCA方法，F(xiàn)riedman[58]等定義了一個新的縮放比T。其中Wj、Zj分別是輸出、輸入的線性組合。結(jié)合特征分析獲取最大特征值對應(yīng)的公共權(quán)重，并直接應(yīng)用于DEA結(jié)果。

Wang等人[67]從模型應(yīng)用的角度出發(fā)，指出大多數(shù)現(xiàn)有方法太復(fù)雜，難以應(yīng)用甚至不可行，并提出基于回歸分析的新方法，通過計算每個DMU最有利的權(quán)重最小化目標(biāo)效率和實際DEA效率的差，為DMU效率排序?qū)で笠唤M公共權(quán)重。

效率排序DEA很大程度上取決于決策者的投入，不存在適用于所有DEA排序問題的方法，決策者應(yīng)該謹(jǐn)慎選擇。

3.3 隨機(jī)DEA模型

隨機(jī)DEA是指基于統(tǒng)計公理或分布假設(shè)的非參數(shù)凸包參考技術(shù)的效率分析[68]。經(jīng)典DEA模型默認(rèn)所有的投入和產(chǎn)出無噪聲，提供的是確定性前沿邊界，隨機(jī)DEA[68-76]把測量誤差、樣本噪聲和規(guī)范誤差等作為模型的組成部分，假定生產(chǎn)前沿隨機(jī)，促使模型可以在統(tǒng)計框架內(nèi)處理適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

Thore[69]和Land等[70]提出將統(tǒng)計特性應(yīng)用到DEA模型中，Cooper等[72]結(jié)合統(tǒng)計特性，建立了機(jī)會約束DEA（CCDEA）模型，并給出了隨機(jī)有效性的定義。模型由公式（14）給出。其中Pr代表概率，xij、yrj為已知分布的隨機(jī)變量，αj和βj為相應(yīng)的閾值。

Cooper等[72]提供了DMU隨機(jī)有效的必要條件和DMU非隨機(jī)有效性的充分條件。多變量，非參數(shù)隨機(jī)邊界模型[75]實現(xiàn)了DEA在數(shù)據(jù)生成方面的隨機(jī)性；基于內(nèi)核的前沿估計器平滑處理邊界[76]，實現(xiàn)了DEA在前沿邊界的隨機(jī)性。

3.4 其他擴(kuò)展問題

3.4.1 窗口數(shù)據(jù)

窗口數(shù)據(jù)和時序數(shù)據(jù)均是針對多周期模型提出的，用于評估不同決策單元在連續(xù)的多個時間周期內(nèi)的效率問題。研究多周期問題時，不同年份的效率邊界可能轉(zhuǎn)移[77]；因此，對不同年份的所有觀察數(shù)據(jù)匯總評估得到的前沿基準(zhǔn)無法適用于所有時間觀察點，3到4個時間段的窗口寬度往往會在效率測量中產(chǎn)生信息性和穩(wěn)定性的最佳平衡[77]。

Charnes等[22]采用窗口數(shù)據(jù)分析研究了美國空軍保養(yǎng)單元不同時間點的效率情況，Sun[78]使用同樣的方法研究了大型商業(yè)銀行的管理績效問題。對于窗口數(shù)據(jù)存在初、末期的數(shù)據(jù)與中期數(shù)據(jù)使用頻率不一致的缺陷，Sueyoshi[79]提出了DMU單元逐步遞增的方法。

3.4.2 時序數(shù)據(jù)

窗口數(shù)據(jù)和時序數(shù)據(jù)的不同在于：窗口數(shù)據(jù)分析側(cè)重于評估不同時間段的效率前沿，而時序數(shù)據(jù)側(cè)重于計算相鄰兩個時間周期的效率變化情況。Malmquist[80]生產(chǎn)力指數(shù)（MPI）是時序數(shù)據(jù)分析的主要工具。

Caves等人[81]通過前一個時期t的生產(chǎn)水平來計算后一個時期t+1的相對效率，依此衡量效率的變化。但這會與用t+1時期生產(chǎn)水平評估t時期相對效率的結(jié)果產(chǎn)生二義性，F(xiàn)?re等人[82]提出使用兩種相對效率的幾何平均值作為MPI解決差異問題。2004年，F(xiàn)?re等人[83]又將MPI定義為 Mj(0,t)=D/D，評估DMUj在0時期到t時期的效率變化。當(dāng)超過兩個時期的比較時，用所有時期的觀察數(shù)據(jù)構(gòu)建全局前沿，即使用全局MPI[84-85]，更適合比較所有時期的效率。

3.4.3 存在負(fù)向變量的模型

經(jīng)典DEA模型隱含的偏好是：投入越少并且產(chǎn)出越多。然而在很多應(yīng)用場景中，例如，電場的污染、銀行的不良貸款等指標(biāo)，為了與物理過程保持一致，這些指標(biāo)只能視作“壞”輸出，使得模型中存在了負(fù)向變量。

Seiford和Zhu[86]提出了“翻譯”法，借助翻譯向量vr=maix(yri)+1,r∈B將不良輸出轉(zhuǎn)正，即=+vr＞0,r∈B。在VRS假設(shè)中，這種轉(zhuǎn)換提供了相同的有效前沿。Juan Du等[87]提出分兩個步驟求解的思路，第一步只處理所有正向變量，求得初步最優(yōu)解后，第二步只處理負(fù)向變量，結(jié)合不同的約束條件和最優(yōu)化目標(biāo)獲得最終最優(yōu)解。Liu等[88]通過重新定義生產(chǎn)可能集，對存在負(fù)向投入產(chǎn)出變量DEA模型提出了完備的理論框架。模型如公式（15）所示。其中(X,Y)=(XD,XU,YD,YU)分別對應(yīng)正向、負(fù)向的輸入和輸出。

4 DEA方法的研究趨勢

作為管理科學(xué)的一個研究領(lǐng)域，DEA相關(guān)的研究工作（包括方法與實踐）正在持續(xù)不斷增長，這將會進(jìn)一步推動DEA模型的拓展和應(yīng)用范圍的擴(kuò)大。在當(dāng)下DEA研究不斷更新、發(fā)展的背景下，還存在以下幾方面有待進(jìn)一步完善。

4.1 兩階段DEA的進(jìn)一步挖掘

在當(dāng)下，兩階段DEA模型仍然是許多學(xué)者研究的熱點，一方面是兩階段DEA模型的構(gòu)建，另一方面是兩階段DEA相關(guān)理論的延伸。在兩階段DEA模型構(gòu)建上，已經(jīng)有學(xué)者提出了基于游戲理論[89]的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者模型，該模型優(yōu)先選取其中一個階段作為領(lǐng)導(dǎo)者，并在實踐中取得了較好的應(yīng)用。另外有研究在模型中加入博弈的思想，將兩個階段視作相互博弈的局中人，分別構(gòu)建了合作式以及非合作式的模型[90]。另一種思路：假設(shè)總的效率是兩個階段效率的某個函數(shù)表達(dá)式，而不再是簡單的加性或乘性關(guān)系，即EO=f(,)。模型求解時，先后最大化第一階段和第二階段效率。公式（16）給出了在這種構(gòu)設(shè)下，第二階段的求解模型。

在兩階段DEA相關(guān)理論的延伸方面，目前應(yīng)用較多的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者模型尚沒有解決如何選取領(lǐng)導(dǎo)者的問題，在缺乏先驗知識的情況下，如何選取領(lǐng)導(dǎo)者才能確?？陀^公平成為新的研究內(nèi)容；Li等[89]指出，在中間措施的權(quán)重以及系統(tǒng)與其成員之間的協(xié)調(diào)方面，領(lǐng)導(dǎo)-追隨者模型存在一定的外部性，得到的是有偏的求解結(jié)果，這種外部性可以通過增補(bǔ)或者抽取中間措施的操作解釋。因此，領(lǐng)導(dǎo)-追隨者模型需要進(jìn)一步改進(jìn)來消除所謂的“外部性”。

4.2 網(wǎng)絡(luò)模型的深化

由于計算量大，解空間相對復(fù)雜，目前已有的關(guān)于網(wǎng)絡(luò)模型的研究相對抽象，均是從宏觀上泛化出相對簡單的結(jié)構(gòu)。如何對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行建模和分析是需要進(jìn)一步完善、解決的內(nèi)容。結(jié)合啟發(fā)式的搜索算法可以有效減少計算量，已經(jīng)有學(xué)者開始嘗試構(gòu)建相對復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，借助啟發(fā)式算法求解，為決策者提供DMU低效來源更精確的信息[91]。下一步可以進(jìn)一步對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)拓展構(gòu)設(shè)，打開黑箱，針對特定的某類問題來勾勒拓?fù)洌云诤驼鎸嵉奈锢磉^程保持一致，刻畫更加復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使得決策評估更精準(zhǔn)。

4.3 DEA內(nèi)外結(jié)合

內(nèi)部結(jié)合是DEA不同模型之間的結(jié)合，例如Mohammad等人將兩階段DEA與隨機(jī)DEA結(jié)合[92]，解決了存在不良數(shù)據(jù)情況下的兩階段效率評估問題。在前人的工作基礎(chǔ)之上，還可以考慮網(wǎng)絡(luò)DEA模型與時序數(shù)據(jù)的結(jié)合，即當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是動態(tài)變化時，應(yīng)該如何去描述、建立模型有待進(jìn)一步研究，包括配置效率和規(guī)模收益情況等；再例如，盡管兩階段DEA通過打開黑箱放大了DMU的低效問題，但是同樣存在著DMU之間效率不可比的可能性，兩階段DEA與指標(biāo)績效排序結(jié)合問題還不充分。

其次是DEA與其他綜合評價方法的外部結(jié)合，使綜合評價的結(jié)果更能符合客觀實際。這方面最經(jīng)典的案例就是將DEA與計量經(jīng)濟(jì)方法結(jié)合而成的DEA-Tobit模型。另外也有將DEA與基準(zhǔn)測試結(jié)合，解決了相似背景不同群體的目標(biāo)設(shè)定問題[93]。有學(xué)者將DEA與DE和MODE結(jié)合[94]，增加了DEA的“歧視力”，得到了更接進(jìn)實際的結(jié)果。此外，在構(gòu)建指標(biāo)評價體系時，可以研究將隨機(jī)DEA與AHP、PCA等方法結(jié)合。

4.4 DEA應(yīng)用拓展

DEA應(yīng)用擴(kuò)展包括DEA在已有應(yīng)用領(lǐng)域延展和在其他領(lǐng)域應(yīng)用開發(fā)。

DEA在銀行金融、能源效率、資源分配等多個交叉學(xué)科主題中均取得了滿意的效果，但是還不夠充分。除了評估已有數(shù)據(jù)外，還可以利用時序DEA[95]實現(xiàn)金融危機(jī)動態(tài)預(yù)測。目前關(guān)于資源分配的研究中，均假設(shè)存在中央決策單元完成集中式分配，通過同時投影所有DMU使總產(chǎn)出最大，尚沒有研究將“非合作”決策者主觀偏好納入模型。假設(shè)每個DMU分別屬于多個不同分組，分組滿足組內(nèi)合作、組間競爭的關(guān)系。在這種情況下，優(yōu)化目標(biāo)就轉(zhuǎn)換成以各分組為單位，每個分組的總產(chǎn)出最大。當(dāng)總的資源有限時，需要考慮不同分組應(yīng)該怎樣協(xié)調(diào)資源，如何通過DEA模型體現(xiàn)決策者的價值判斷，是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

另外，將DEA方法應(yīng)用到新的場景下，不斷進(jìn)行多學(xué)科、跨學(xué)科滲透，以及在不同領(lǐng)域建立績效指標(biāo)等。例如將網(wǎng)絡(luò)DEA用于快遞信使行業(yè)[96]。

4.5 其他方面

除以上列舉的方面之外，DEA可供研究拓展的內(nèi)容還可以包括：構(gòu)建生產(chǎn)前沿時，只選取滿足一定條件的DMU而不是全部DMU作為參考集[97]；將并行網(wǎng)絡(luò)DEA模型應(yīng)用到指標(biāo)聚合問題中，即假定每個并行單元都是單輸入單輸出的特殊情況；在構(gòu)建指標(biāo)體系時應(yīng)該如何選取指標(biāo)，即對指標(biāo)進(jìn)行評估。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，DEA運(yùn)算效率如何適應(yīng)大數(shù)據(jù)背景下的多目標(biāo)決策也是需要考慮的問題。

5 結(jié)束語

本文在介紹DEA基本模型和思想的基礎(chǔ)上，圍繞近年來DEA研究的熱點——兩階段DEA、效率排序DEA、隨機(jī)DEA和其他相關(guān)擴(kuò)展問題進(jìn)行了梳理和分類，并預(yù)測了DEA未來可能的研究趨勢。DEA模型理論的不斷更新和發(fā)展，將會進(jìn)一步推動DEA模型的研究熱潮。

：

[1] 魏權(quán)齡.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）[J].科學(xué)通報，2000，45（17）：1793-1808.

[2]楊國梁，劉文斌，鄭海軍.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（DEA）綜述[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2013，28（6）：840-860.

[3]朱喬.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）方法綜述與展望[J].系統(tǒng)管理學(xué)報，1994（4）：1-9.

[4]Farrell M J.The measurement of productive efficiency[J].Journal of the Royal Statistical Society，1957，120（3）：253-290.

[5]Charnes A，Cooper W W，Rhodes E.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2（6）：429-444.

[6]魏權(quán)齡.評價相對有效性的DEA方法[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1988.

[7]Kordrostami S，Amirteimoori A.Un-desirable factors in multi-component performance measurement[J].Applied Mathematics&Computation，2005，171（2）：721-729.

[8]Azadeh A，Amalnick M S，Ghaderi S F，et al.An integrated DEA PCA numerical taxonomy approach for energy efficiency assessment and consumption optimization in energy intensive manufacturing sectors[J].Energy Policy，2007，35（7）：3792-3806.

[9]Zhang B，Bi J，F(xiàn)an Z，et al.Eco-efficiency analysis of industrial system in China：a data envelopment analysis approach[J].Ecological Economics，2008，68（1）：306-316.

[10]Tao Y，Zhang S.Environmental efficiency of electric power industry in the Yangtze River Delta[J].Mathematical&Computer Modelling，2013，58（5/6）：927-935.

[11]Zhou P，Sun Z R，Zhou D Q.Optimal path for controlling CO2，emissions in China：a perspective of efficiency analysis[J].Energy Economics，2014，45（C）：99-110.

[12]Chen X，Skully M，Brown K.Banking efficiency in China：application of DEA to pre-and post-deregulation eras：1993—2000[J].China Economic Review，2005，16（3）：229-245.

[13]Ariff M，Can L.Cost and profit efficiency of Chinese banks：a non-parametric analysis[J].China Economic Review，2008，19（2）：260-273.

[14]Fung M，Leung M.X-efficiency and convergence of productivity among the national commercial banks in China[C]//Proceedings of the 19th China Economic Association（UK）Annual Conference，University of Cam-bridge，UK，2008.

[15]Yao S，Han Z，F(xiàn)eng G.Ownership reform，foreign competition and efficiency of Chinese commercial banks：a non-parametric approach[J].World Economy，2008，31（10）：1310-1326.

[16]Laurenceson J，Qin F.Has minority foreign investment in China’s banks improved their cost efficiency?[J].China&World Economy，2008，16（3）：57-74.

[17]Golany B，Phillips F Y，Rousseau J J.Models for improved effectiveness based on DEA efficiency results[J].A I I E Transactions，1993，25（6）：2-10.

[18]Golany B，Tamir E.Evaluating efficiency-effectivenessequality trade-offs：a data envelopment analysis approach[J].Management Science，1995，41（7）：1172-1184.

[19]Zhang Y，Zhang H，Zhang R，et al.DEA-based production planning considering influencing factors[J].Journal of the Operational Research Society，2015，66（11）：1878-1886.

[20]Kumar C K，Sinha B K.Efficiency based production planning and control models[J].European Journal of Operational Research，1999，117（3）：450-469.

[21]Beasley J E.Allocating fixed costs and resources via data envelopment analysis[J].European Journal of Operational Research，2003，147（1）：198-216.

[22]Charnes A，Clark C T，Cooper W W，et al.A developmental study of data envelopment analysis in measuring the efficiency of maintenance units in the U.S.air forces[J].Annals of Operations Research，1984，2（1）：95-112.

[23]Roll Y，Golany B，Seroussy D.Measuring the efficiency of maintenance units in the Israeli Air Force[J].European Journal of Operational Research，1989，43（2）：136-142.

[24]Clarke R L.Evaluating USAF vehicle maintenance productivity over time：an application of data envelopment analysis[J].Decision Sciences，1992，23（2）：376-384.

[25]Bowlin W F.Financial analysis of civil reserve air fleet participants using data envelopment analysis[J].European Journal of Operational Research，2007，154（3）：691-709.

[26]Brockett P L，Cooper W W，Kumbhakar S C，et al.Alternative statistical regression studies of the effects of joint and service specific advertising on military recruitment[J].Journal of the Operational Research Society，2004，55（10）：1039-1048.

[27]Banker R D.Estimating most productive scale size using data envelopment analysis[J].European Journal of Operational Research，1984，17（1）：35-44.

[28]Cooper W W，Tone K，Seiford L M.Data envelopment analysis：acomprehensivetextwith models，applications references，and DEA-solver software with cdrom[M].[S.l.]：Kluwer Academic Publishers，1999.

[29]Charnes A，Cooper W W.Management models and industrialapplications oflinearprogramming[M].[S.l.]：Wiley，1961.

[30]Banker R D，Charnes A，Cooper W W.Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis[J].Management Science，1984，30（9）：1078-1092.

[31]F?re R，Grosskopf S，Lovell C A K.The measurement of efficiency of production[M].Netherlands：Springer，1985.

[32]F?re R，Grosskopf S，Lovell C A K.Production frontiers[M].[S.l.]：Cambridge University Press，1994.

[33]Yaakovrol L，Cook W，Boazgolan Y.Controlling factor weights in data envelopment analysis[J].A I I E Transactions，1991，23（1）：2-9.

[34]Tone K.A slacks-based measure of efficiency in data envelopment analysis[J].European Journal of Operational Research，2001，130（3）：498-509.

[35]Zhang D，Li X，Meng W，et al.Measuring the performance of nations at the Olympic Games using DEA models with different preferences[J].Journal of the Operational Research Society，2009，60（7）：983-990.

[36]Wang C H，Gopal R D，Zionts S.Use of data envelopment analysis in assessing information technology impact on firm performance[J].Annals of Operations Research，1997，73（1）：191-213.

[37]Seiford L M，Zhu J.Profitability and marketability of the Top 55 U.S.commercial banks[J].Management Science，1999，45（9）：1270-1288.

[38]Yao C，Zhu J.Measuring information technology’s indirect impact on firm performance[J].Information Technology&Management，2004，5（1/2）：9-22.

[39]Kao C，Hwang S N.Efficiency measurement for network systems：IT impact on firm performance[J].Decision Support Systems，2010，48（3）：437-446.

[40]Avkiran N K.Opening the black box of efficiency analysis：An illustration with UAE banks[J].Omega，2009，37（4）：930-941.

[41]Moreno P，Lozano S.A network DEA assessment of team efficiency in the NBA[J].Annals of Operations Research，2014，214（1）：99-124.

[42]Lin T Y，Chiu S H.Using independent component analysis and network DEA to improve bank performance evaluation[J].Economic Modelling，2013，32（2）：608-616.

[43]Tone K.Network DEA：a slacks-based measure approach[J].European Journal of Operational Research，2009，197（1）：243-252.

[44]Hsieh L F，Lin L H.A performance evaluation model for international tourist hotels in Taiwan—an application of the relational network DEA[J].International Journal of Hospitality Management，2010，29（1）：14-24.

[45]Kao C，Hwang S N.Efficiency decomposition in twostage data envelopment analysis：an application to nonlife insurance companies in Taiwan[J].European Journal of Operational Research，2008，185（1）：418-429.

[46]Chen Y，Cook W D，Li N，et al.Additive efficiency decomposition in two-stage DEA[J].European Journal of Operational Research，2009，196（3）：1170-1176.

[47]Wang Y M，Chin K S.Some alternative DEA models for two-stage process[J].Expert Systems with Applications，2010，37（12）：8799-8808.

[48]Wang K，Huang W，Wu J，et al.Efficiency measures of the Chinese commercial banking system using an additive two-stage DEA[J].Omega，2014，44（2）：5-20.

[49]Sexton T R，Silkman R H，Hogan A J.Data envelopment analysis：critique and extensions[J].New Directions for Evaluation，2010，1986（32）：73-105.

[50]Jahanshahloo G R，Khodabakhshi M，Lotfi F H，et al.A cross-efficiency model based on super-efficiency for ranking units through the TOPSIS approach and its extension to the interval case[J].Mathematical&Computer Modelling，2011，53（9）：1946-1955.

[51]Andersen，Petersen，Christian N.A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis[J].Management Science，1993，39（10）：1261-1264.

[52]Aldamak A M，Zolfaghari S.Review of efficiency ranking methods in data envelopment analysis[J].Measurement，2017.

[53]Mehrabian S，Alirezaee M R，Jahanshahloo G R.A complete efficiency ranking of decision making units in data envelopmentanalysis[J].ComputationalOptimization &Applications，1999，14（2）：261-266.

[54]Banker R D，Chang H.The super-efficiency procedure for outlier identification，not for ranking efficient units[J].European Journal of Operational Research，2006，175（2）：1311-1320.

[55]Torgersen A M，F(xiàn)?rsund F R，Kittelsen S A C.Slackadjusted efficiency measures and ranking of efficient units[J].Journal of Productivity Analysis，1996，7（4）：379-398.

[56]Sinuany-Stern Z，Mehrez A，Barboy A.Academic departments efficiency via DEA[J].Computers&Operations Research，1994，21（5）：543-556.

[57]Jahanshahloo G R，Junior H V，Lotfi F H，et al.A new DEA ranking system based on changing the reference set[J].European Journal of Operational Research，2007，181（1）：331-337.

[58]Friedman L，Sinuany-Stern Z.Scaling units via the canonical correlation analysis in the DEA context[J].European Journal of Operational Research，1997，100（3）：629-637.

[59]Alirezaee M R，Afsharian M.A complete ranking of DMUsusing restrictionsin DEA models[J].Applied Mathematics&Computation，2007，189（2）：1550-1559.

[60]Wu J，Yang F，Liang L.A modified complete ranking of DMUs using restrictions in DEA models[J].Applied Mathematics&Computation，2010，217（2）：745-751.

[61]Doyle J，Green R.Efficiency and cross-efficiency in DEA：derivations，meanings and uses[J].Journal of the Operational Research Society，1994，45（5）：567-578.

[62]Angiz M Z，Mustafa A，Kamali M J.Cross-ranking of decision making units in data envelopment analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37（1/2）：398-405.

[63]Sueyoshi T.DEA non-parametric ranking test and index measurement：slack-adjusted DEA and an application to Japanese agriculture cooperatives[J].Omega，1999，27（3）：315-326.

[64]Thrall R M.Duality，classification and slacks in DEA[J].Annals of Operations Research，1997，66（1）：109-138.

[65]Seiford L M，Zhu J.Infeasibility of super-efficiency data envelopment analysis models[J].Infor Information Systems&Operational Research，1999，37（2）：174-187.

[66]Charnes A，Cooper W W，Golany B，et al.Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient empirical production functions[J].Journal of Econometrics，1985，30（1/2）：91-107.

[67]Wang Y M，Luo Y，Lan Y X.Common weights for fully ranking decision making units by regression analysis[J].Expert Systems with Applications An International Journal，2011，38（8）：9122-9128.

[68]Olesen O B，Petersen N C.Stochastic data envelopment analysis——a review[J].European Journal of Operational Research，2016，251（1）：2-21.

[69]Thore S.Chance-constrained activity analysis[J].European Journal of Operational Research，1987，30（3）：267-269.

[70]Land K C，Lovell C A K，Thore S.Productive efficiency under capitalism and state socialism：the chanceconstrained programming approach[J].Public Finance=Finances Publiques，1992，47（Supplement）：109-121.

[71]Land K C，Lovell C K，Thore S.Productive efficiency under capitalism and state socialism：an empirical inquiry using chance-constrained data envelopment analysis[J].Technological Forecasting&Social Change，1994，46（2）：139-152.

[72]Cooper W W，Huang Z，Lelas V，et al.Chance constrained programming formulations for stochastic characterizations of efficiency and dominance in DEA[J].Journal of Productivity Analysis，1998，9（1）：53-79.

[73]Tavana M，Shiraz R K，Hatami-Marbini A，et al.Chanceconstrained DEA modelswith random fuzzy inputs and outputs[J].Knowledge-Based Systems，2013，52（6）：32-52.

[74]Olesen O B，Petersen N C.Chance constrained efficiency evaluation[J].Management Science，1995，41（3）：442-457.

[75]Simar L，Wilson P W.Estimation and inference in twostage，semi-parametric models of production processes[J].Journal of Econometrics，2007，136（1）：31-64.

[76]Chen X，Swanson N R.Recent advances and future directions in causality，prediction，and specification analysis[M].New York：Springer，2013.

[77]Charnes A，Cooper W W，Lewin A Y，et al.Data envelopment analysis：theory，methodology，and application[J].Journal of the Operational Research Society，1997，48（3）：332-333.

[78]Sun D B.Evaluation of managerial performance in large commercial banks by data envelopment analysis[J].U.m.i，1988.

[79]Sueyoshi T.Comparisons and analyses of managerial efficiency and returns to scale of telecommunication enterprises by using DEA/WINDOW[J].Communications of the Operations Research Society of Japan，1992，37（5）：210-219.

[80]Malmquist S.Index numbers and indifference surfaces[J].Trabajos De Estadistica，1953，4（2）：209-242.

[81]Caves D W，Christensen L R，Diewert W E.The economic theory of index numbers and the measurement of input，output，and productivity[J].Econometrica，1982，50（6）：1393-1414.

[82]F?re R，Grosskopf S，Norris M.Productivity growth，technical progress，and efficiency change in industrialized countries：reply[J].American Economic Review，1994，84（5）：1040-1044.

[83]F?re R，Grosskopf S.Modeling undesirable factors in efficiency evaluation：comment[J].European Journal of Operational Research，2004，157（1）：242-245.

[84]Pastor J T，Lovell C A K.A global Malmquist productivity index[J].Economics Letters，2005，88（2）：266-271.

[85]Yang B，Zhang Y，Zhang H，et al.Factor-specific Malmquist productivity index based on common weights DEA[J].Operational Research，2015，16（1）：1-20.

[86]Seiford L M，Zhu J.A response to comments on modeling undesirable factors in efficiency evaluation[J].European Journal of Operational Research，2005，161（2）：579-581.

[87]Du Juan，Liang Liang，Chen Yao，et al.DEA-based production planning[J].Omega，2010，38（1/2）：105-112.

[88]Liu W B，Meng W，Li X X，et al.DEA models with undesirable inputs and outputs[J].Annals of Operations Research，2010，173（1）：177-194.

[89]Li X.A fair evaluation of certain stage in a two-stage structure：revisiting the typical two-stage DEA approaches[J].Omega，2016，68.

[90]Du Juan，Liang.A bargaining game model for measuring performance of two-stage network structures[J].European Journal of Operational Research，2011，210（2）：390-397.

[91]Ma J，Qi L，Deng L.Efficiency measurement and decomposition in hybrid two-stage DEA with additional inputs[J].Expert Systems with Applications，2017，79：348-357.

[92]Mohammad I，Reza F S.Assessing sustainability of supply chains by chance-constrained two-stage DEA model in the presence of undesirable factors[J].Computers and Operations Research，2017.

[93]Cook W D.Within-group common benchmarking using DEA[J].European Journal of Operational Research，2017，256：901-910.

[94]Jauhar S K.Integrating DEA with DE and MODE for sustainable supplier selection[J].Journal of Computational Science，2017，21：299-306.

[95]Li Zhiyong.Dynamic prediction of financial distress using Malmquist DEA[J].Expert Systems with Applications，2017，80：94-106.

[96]Chodakowska E.Network DEA models for evaluating couriers and messengers[J].Procedia Engineering，2017，182：106-111.

[97]Zhang H，Zhang Y，Zhang R.Dimension-specific efficiency measurement using data envelopment analysis[J].Mathematical Problems in Engineering，2014：1-9.