經(jīng)歷探究過程提升思維能力
——“釘子板上的多邊形”教學(xué)片段及反思

◇任加順 顧美華

片段一：初探感知

1.引導(dǎo)觀察。

大家觀察下面的多邊形，按要求數(shù)一數(shù)，在表格里填一填。（每小格1 平方厘米）

（1）數(shù)一數(shù)或算一算每個多邊形的面積各是多少平方厘米。

（2）數(shù)一數(shù)每個多邊形邊上的釘子各有多少枚。

（3）想一想多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系。（如圖1）

圖1

2.交流填表。

通過反饋交流（略），填表1：

表1

3.觀察發(fā)現(xiàn)。

師：你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？

生：多邊形邊上釘子數(shù)是多邊形面積的2 倍。

生：多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半。

生：多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以2。

（板書：多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2）

師：為了更簡潔、方便地表示出這個規(guī)律，我們可以用字母來表示。如果用n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)，用S 表示多邊形的面積，這個規(guī)律可以怎樣表示？

（生答師板書：S=n÷2）

4．質(zhì)疑反思。

師：是否釘子板上所有多邊形的面積和它邊上的釘子數(shù)都有這種關(guān)系呢？請在下面的多邊形中選一個，看看是否也有這樣的關(guān)系。

（多媒體出示點子圖，如圖2）

圖2

交流（略），填表2：

表2

師：現(xiàn)在多邊形的面積和邊上釘子數(shù)還有上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？這是為什么呢？回過去再看原來的4 個多邊形，它們還有什么共同的地方？找找看?，F(xiàn)在的4 個多邊形與它們有什么不同？

生：原來的4 個多邊形內(nèi)部釘子都只有1 枚。

生：現(xiàn)在的4 個多邊形內(nèi)部釘子不是1 枚，而且不相等，分別是2、3、4 枚。

結(jié)合回答，多媒體展示內(nèi)部釘子閃爍發(fā)出聲音，并在表1和表2中各增加一欄：多邊形內(nèi)部釘子數(shù)/枚。

由此可以看出：多邊形的面積不僅與它邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還與什么有關(guān)？

生：與內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

師小結(jié)：符合規(guī)律的多邊形內(nèi)部的釘子都是1 枚，后面的4 個多邊形內(nèi)部的釘子都不是1枚。這說明多邊形的面積不僅與它邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。剛才我們只是研究了內(nèi)部釘子數(shù)是1 的情況。因此，這個規(guī)律，必須加上一個什么條件？

生：多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)是1。

反思：探究課重在探究，在探究中有所發(fā)現(xiàn)，有所收獲。 本環(huán)節(jié)以學(xué)生常見的多邊形入手，讓學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了第一組4 個圖形的規(guī)律，既讓學(xué)生品嘗了探究成功的快樂，又為進一步探究埋下了伏筆。正當(dāng)學(xué)生的興趣被激活，處于愉悅狀態(tài)時，教師有意質(zhì)疑：是否釘子板上所有的多邊形的面積和它邊上的釘子數(shù)都有這種關(guān)系呢？引發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望，并發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)多邊形內(nèi)的釘子數(shù)為1 時，規(guī)律才成立。這讓學(xué)生體會了規(guī)律的嚴密性和探究思考的縝密性。

片段二：再探拓展

1．引發(fā)思考。

師：如果多邊形內(nèi)部有2 枚釘子，多邊形面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢？現(xiàn)在請大家進一步觀察、比較，看看有沒有規(guī)律。

2．合作探究。

引導(dǎo)：現(xiàn)在請你們4 人小組合作，按照下面的要求探究多邊形的面積。

出示活動要求：

（1）每人畫一個內(nèi)部有2 枚釘子的多邊形，數(shù)出多邊形邊上的釘子數(shù)，算出它的面積。

（2）每人把獲得的數(shù)據(jù)在小組內(nèi)交流，并記錄在作業(yè)紙上的表格中。

（3）觀察表格中的數(shù)據(jù)，小組討論：你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生操作、填表、比較、思考，教師巡視。

3．交流發(fā)現(xiàn)。

師：組長帶著具有代表性的圖形上臺展示，并現(xiàn)場輸入數(shù)據(jù)，其他組長補充并展示、輸入數(shù)據(jù)。（多媒體出示表格）

……

師：這里多邊形的面積還等于n÷2 嗎？與n÷2 有什么關(guān)系？同桌討論，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

生:當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是2 時，面積數(shù)比多邊形邊上釘子數(shù)的一半多1。

小結(jié)：當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)a=2 時，面積S=n÷2+1。

師板書：a=2，S=n÷2+1。

師追問：檢查你畫的內(nèi)部有2 個釘子的多邊形，面積符合這個規(guī)律嗎？如果不符，把你的例子在全班交流。

師：沒有反例，說明所有的都符合這個規(guī)律。

反思：本環(huán)節(jié)看似探究多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是2時，多邊形的面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系，類似于片段一。其實不然，這個環(huán)節(jié)的探究無論是思維含量還是對學(xué)生能力的要求，都有了提升。首先每人自主畫圖，數(shù)釘子數(shù)，算出面積；其次小組收集數(shù)據(jù)、填表；最后通過自主探求、合作交流，在比較、思考中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提高了學(xué)生的綜合探究能力和思維能力。

片段三：猜想驗證

1．引發(fā)猜想。

師：剛才我們分別探究了多邊形內(nèi)部釘子數(shù)分別是1 和2 的情況，那么釘子數(shù)a 還可能是幾？

生：可能是3、4……

師：根據(jù)前面研究的結(jié)果，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是3，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢。

生：a=3，S=n÷2+2。

追問：如果a=4 或5，又會有什么關(guān)系呢？

生：a=4，S=n÷2+3；a=5，S=n÷2+4。

師（引導(dǎo)）：這都是大家的猜想，必須進行驗證。這么多的任務(wù)，咱們分組驗證好嗎？

2.分組驗證。

出示：小組合作要求：

（1）在組長帶領(lǐng)下，每個4 人小組選擇一種進行驗證。（2）每人畫一個“符合要求”的多邊形，并算一算面積，數(shù)一數(shù)邊上的釘子數(shù)。組長檢查后，匯報數(shù)據(jù)填在表格里。（3）驗證面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系式是否正確，小組討論。

指名學(xué)生逐條讀。

師：（1）這個要求是什么？（2）“符合要求”的多邊形是什么？（可畫簡單易求面積的多邊形）組長檢查的是什么？（圖形是不是多邊形，數(shù)據(jù)是否正確，圖形內(nèi)部的釘子數(shù)是否正確）（3）組長公布組內(nèi)驗證的結(jié)果。

小組交流、展示、評價。（過程略）

師追問：有和這個小組一樣，驗證內(nèi)部釘子數(shù)是3（4、5）個的嗎？驗證結(jié)果與猜想是否一樣？有補充嗎？

3.推理拓展。

師：同學(xué)們真了不起！通過猜測、驗證得到了規(guī)律。如果a=8 呢？a=100 呢？

生：S=n÷2+7，S=n÷2+99。

師：你們怎么回答得這么快？是怎樣想的？

生：多邊形面積是它邊上釘子數(shù)÷2+（多邊形內(nèi)部釘子數(shù)-1）。

師板書：S=n÷2+（a-1）。

4.拓展視野。

今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理。有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里進一步了解皮克定理。