基于動(dòng)態(tài)遺忘因子遞推最小二乘算法的船舶航向模型辨識(shí)

孫功武，謝基榕，王俊軒

(中國船舶科學(xué)研究中心 深海載人裝備國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082)

0 引言

船舶是一個(gè)典型的時(shí)變系統(tǒng)，其模型參數(shù)會(huì)隨航行環(huán)境和工況的變化而變化。采用辨識(shí)方法獲取船舶航行過程中不確定的模型參數(shù)，可以為船舶的特性研究和控制策略設(shè)計(jì)奠定重要基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)方法主要有極大似然法、遞推最小二乘(Recursive Least Squares, RLS )算法、卡爾曼濾波法等[1-5]。其中，RLS算法的計(jì)算量小，且不需要估計(jì)變量的任何統(tǒng)計(jì)特性，應(yīng)用非常廣泛。文獻(xiàn)[3]將RLS算法應(yīng)用在電機(jī)電感、電阻等參數(shù)的辨識(shí)中，然后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，非常適用于參數(shù)的在線辨識(shí)。文獻(xiàn)[4]采用RLS算法在線辨識(shí)水下機(jī)器人的模型參數(shù)，并根據(jù)辨識(shí)結(jié)果修正控制器參數(shù)，以提高機(jī)器人的控制效果。為改善RLS算法的性能，文獻(xiàn)[6]提出了一種能同時(shí)獲得較高辨識(shí)精度和收斂速度的變遺忘因子RLS算法，由于該算法僅根據(jù)當(dāng)前的殘差對(duì)遺忘因子進(jìn)行在線調(diào)整，導(dǎo)致調(diào)整量計(jì)算易受到噪聲干擾的影響。經(jīng)過多年的研究發(fā)展，還出現(xiàn)了廣義最小二乘法、正交最小二乘法、偏最小二乘法等改進(jìn)算法[7-9]，使參數(shù)辨識(shí)的適用領(lǐng)域得到進(jìn)一步拓展，然而這類算法對(duì)噪聲的魯棒性不強(qiáng)，難以在復(fù)雜非線性系統(tǒng)中獲得高精度的辨識(shí)效果。近年來，智能算法的發(fā)展為參數(shù)辨識(shí)提供了新的途徑。文獻(xiàn)[10]將建筑物熱模型的參數(shù)辨識(shí)問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)最優(yōu)化問題，然后采用進(jìn)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，利用該算法優(yōu)越的全局搜索能力和對(duì)噪聲的強(qiáng)魯棒性實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)的高精度求解，但進(jìn)化算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度要遠(yuǎn)大于RLS算法。與進(jìn)化算法辨識(shí)模型參數(shù)的步驟類似，很多學(xué)者將粒子群算法、蟻群算法、遺傳算法等[11-14]應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域系統(tǒng)模型的參數(shù)辨識(shí)，并都取得了高精度的辨識(shí)結(jié)果，但同樣存在算法計(jì)算量大的問題。對(duì)于文獻(xiàn)[10-14]中采用優(yōu)化算法辨識(shí)模型參數(shù)的問題，搜索空間范圍對(duì)算法的收斂速度和精度都有直接的影響。為獲取最佳的搜索空間，文獻(xiàn)[15]先利用RLS算法初步辨識(shí)模型參數(shù)，然后在初步辨識(shí)結(jié)果的附近小范圍內(nèi)采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行尋優(yōu)，從而大幅度提高了參數(shù)辨識(shí)的精度，但辨識(shí)過程的復(fù)雜度也增加了。此外，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等學(xué)習(xí)算法[16-18]也可以準(zhǔn)確地辨識(shí)出模型參數(shù)。文獻(xiàn)[10-18]中提出的智能算法適用于簡單的線性、復(fù)雜的多變量非線性等各種系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，并具有很高的辨識(shí)精度，但辨識(shí)過程需要進(jìn)行多次的迭代計(jì)算或訓(xùn)練，算法復(fù)雜、計(jì)算耗時(shí)長、對(duì)處理器性能的要求高，限制了實(shí)際的應(yīng)用范圍。

考慮到船舶航向數(shù)學(xué)模型為單輸入單輸出的線性模型，非常適合采用遺忘因子RLS算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)，并針對(duì)恒定遺忘因子不能使算法同時(shí)具備優(yōu)越的跟蹤性能及收斂精度的問題，提出一種基于模糊控制的遺忘因子在線修正方法，最后通過仿真對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 船舶航向模型及遺忘因子RLS算法

航向保持是船舶最常用的一種航行工況，該工況下通過給定小舵角來控制船舶航向。此時(shí)，船舶的航向數(shù)學(xué)模型可以采用一階Nomoto線性模型[19]表示為：

(1)

其中：ψ為航向角；δ為舵角；K、T是與船體結(jié)構(gòu)尺寸、載重、航速、吃水等因素相關(guān)的參數(shù)。式(1)表明，在不同航速、不同載重等情況下，船舶航向模型中的參數(shù)也不相同。采用雙線性變換法可以將式(1)離散化為：

ψ(k)+a1ψ(k-1)+a2ψ(k-2)=b1δ(k)+

b2δ(k-1)+b3δ(k-2)

(2)

RLS算法是目前應(yīng)用最廣泛的參數(shù)在線辨識(shí)算法之一，采用該算法辨識(shí)船舶航向模型參數(shù)的迭代計(jì)算公式為：

(3)

RLS算法在計(jì)算中將所有的數(shù)據(jù)同等對(duì)待，隨著算法迭代次數(shù)的增加，會(huì)出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，降低算法的收斂速度。為減小歷史數(shù)據(jù)對(duì)當(dāng)前參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的影響，可以通過為每個(gè)數(shù)據(jù)增加一個(gè)權(quán)值來改進(jìn)算法，形成遺忘因子RLS算法。引入遺忘因子后，船舶航向模型參數(shù)辨識(shí)的迭代計(jì)算公式被修正為：

(4)

其中λ為遺忘因子。

在對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出采樣過程中會(huì)混入均值為0的隨機(jī)噪聲干擾，噪聲干擾越大，系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)精度也會(huì)越低。在RLS算法中引入遺忘因子λ，能夠改善算法的跟蹤性能，但也在一定程度上降低了算法對(duì)噪聲的魯棒性。遺忘因子RLS算法的性能在很大程度上取決于λ的大小，當(dāng)λ較小時(shí)，算法的收斂速度較快，但對(duì)噪聲會(huì)較敏感，導(dǎo)致算法收斂時(shí)的參數(shù)辨識(shí)精度較低；當(dāng)選取較大的λ時(shí)，能夠提高算法對(duì)噪聲的魯棒性，但削弱了其跟蹤能力。因此，設(shè)計(jì)遺忘因子RLS算法時(shí)，λ值的取值非常重要，需要綜合考慮算法的收斂速度和對(duì)噪聲的魯棒性進(jìn)行折中選取。

2 基于模糊控制的動(dòng)態(tài)遺忘因子RLS算法

2.1 動(dòng)態(tài)遺忘因子設(shè)計(jì)思想

在常規(guī)的遺忘因子RLS算法中，λ為恒定值，根據(jù)算法的跟蹤性能和對(duì)噪聲的魯棒性來折中確定λ值會(huì)導(dǎo)致算法的兩種性能都有一定的“犧牲”。若能夠在辨識(shí)過程中實(shí)時(shí)評(píng)估辨識(shí)結(jié)果與實(shí)際模型參數(shù)之間的接近程度，并根據(jù)接近程度對(duì)遺忘因子進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整則可大幅度提高算法的綜合性能。由于實(shí)際模型的參數(shù)未知，無法直接計(jì)算參數(shù)辨識(shí)的誤差，所以只能通過其他途徑對(duì)誤差進(jìn)行評(píng)估。

計(jì)k時(shí)刻的理論模型輸出與實(shí)際模型輸出之間的殘差為：

(5)

殘差主要是由噪聲干擾和參數(shù)辨識(shí)誤差引起的，其中的噪聲干擾對(duì)殘差的影響很小。當(dāng)參數(shù)辨識(shí)的誤差較大時(shí)，殘差絕對(duì)值也較大，此時(shí)希望遺忘因子的值較小，使RLS算法的辨識(shí)結(jié)果能夠快速收斂到實(shí)際模型參數(shù)附近；隨著算法的執(zhí)行，參數(shù)辨識(shí)的誤差越來越小，殘差絕對(duì)值不斷減小，此時(shí)希望遺忘因子能適當(dāng)增大，以抑制噪聲對(duì)辨識(shí)精度的影響?？梢姡ㄟ^殘差可以間接評(píng)估參數(shù)辨識(shí)誤差的大小。

2.2 基于模糊控制的遺忘因子在線修正

在遺忘因子的修正過程中，僅根據(jù)單次殘差絕對(duì)值修正遺忘因子，會(huì)使修正過程對(duì)噪聲比較敏感。為此，可以取一段時(shí)間內(nèi)殘差絕對(duì)值的平均值作為辨識(shí)參數(shù)與實(shí)際參數(shù)接近程度的評(píng)價(jià)函數(shù)，再將評(píng)價(jià)函數(shù)作為修正遺忘因子的參考依據(jù)。第k時(shí)刻，評(píng)價(jià)函數(shù)J的計(jì)算為：

(6)

其中n為選取殘差的數(shù)量。

通過分析可知，遺忘因子的期望修正量應(yīng)該與評(píng)價(jià)函數(shù)呈反相關(guān)關(guān)系，但難以建立兩者之間的精確表達(dá)式。因此，本文引入模糊理論，設(shè)計(jì)模糊控制器對(duì)遺忘因子進(jìn)行在線修正，并將評(píng)價(jià)函數(shù)作為模糊控制器的一個(gè)輸入。同時(shí)，鑒于評(píng)價(jià)函數(shù)的變化率ΔJ可以反映辨識(shí)誤差的變化趨勢(shì)，將ΔJ也作為模糊控制器的一個(gè)輸入。第k時(shí)刻，ΔJ的計(jì)算如下：

(7)

其中m為計(jì)算變化率的時(shí)間常數(shù)的離散值。

設(shè)計(jì)基于模糊控制的遺忘因子在線修正原理如圖1所示。

圖1 基于模糊控制的遺忘因子在線修正 Fig. 1 Online correction of forgetting factor based on fuzzy control

圖1中，預(yù)處理部分根據(jù)式(6)和式(7)對(duì)殘差進(jìn)行處理得到J和ΔJ，模糊控制器根據(jù)輸入J和ΔJ實(shí)時(shí)計(jì)算修正量Δλ，將遺忘因子的修正為：

λ=λ0+Δλ

(8)

其中λ0是遺忘因子的初值。

采用動(dòng)態(tài)遺忘因子RLS算法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)，模型參數(shù)的辨識(shí)計(jì)算在每個(gè)采樣周期會(huì)執(zhí)行一次。為在一定程度上減小算法的計(jì)算量，遺忘因子的修正周期可以取采樣周期的l倍。辨識(shí)算法在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，首先定義并初始化變量nc=0，然后在每個(gè)采樣周期到達(dá)時(shí)，執(zhí)行如下步驟：

步驟1 令nc=nc+1，采樣實(shí)際模型的輸入和輸出，并根據(jù)式(5)計(jì)算殘差。

步驟2 如果nc

步驟2.1 根據(jù)式(6)和式(7)對(duì)殘差進(jìn)行預(yù)處理，得到J和ΔJ。

步驟2.2 將J和ΔJ作為模糊控制器的輸入，利用模糊控制器推理計(jì)算Δλ。

步驟2.3 根據(jù)式(8)修正此時(shí)的遺忘因子λ，將修正后的λ代入式(4)中，完成一次遺忘因子的更新。

循環(huán)執(zhí)行上述過程，便實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的在線辨識(shí)。

2.3 模糊控制器設(shè)計(jì)

模糊控制器設(shè)計(jì)時(shí)，首先通過線性變換將輸入輸出的精確量映射到模糊論域，取輸入J和ΔJ模糊論域都為[-2,2]，取輸出Δλ的模糊論域?yàn)閇-3,3]。選擇J和ΔJ對(duì)應(yīng)模糊語言集為{NB(正大)，NS(負(fù)小)，ZO(零)，PS(正小)，PB(正大)}，取輸出Δλ對(duì)應(yīng)模糊語言集為{ NB(正大)，NM(負(fù)中)，NS(負(fù)小)，ZO(零)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。采用三角形函數(shù)設(shè)計(jì)控制器輸入輸出的隸屬函數(shù)。

模糊控制規(guī)則表是模糊控制器設(shè)計(jì)的核心，當(dāng)J和ΔJ都為正大時(shí)，表明辨識(shí)參數(shù)有大的誤差，且誤差還在迅速增大，此時(shí)期望模糊控制器輸出的Δλ為負(fù)大，將遺忘因子修正為極小值，使算法具有快速跟蹤的能力；當(dāng)J為正大且ΔJ負(fù)大時(shí)，表明辨識(shí)參數(shù)有大誤差，但誤差還在迅速減小，此時(shí)輸出Δλ為負(fù)??；當(dāng)J和ΔJ都為負(fù)大時(shí)，表明辨識(shí)參數(shù)已經(jīng)非常接近實(shí)際參數(shù)，且誤差還在迅速減小，此時(shí)期望輸出的Δλ為正大，將遺忘因子修正為極大值，使算法具備高辨識(shí)精度；當(dāng)J為負(fù)大且ΔJ為正大，期望模糊控制器輸出的Δλ為正小。根據(jù)上述原則，制定5×5的模糊控制規(guī)則表如表1所示。

根據(jù)表1的模糊規(guī)則表，采用Mamdani模糊推理和重心法計(jì)算輸出Δλ。

表1 模糊控制規(guī)則表ΔλTab. 1 Fuzzy control rule table Δλ

3 仿真研究

以小舵角控制工況下的某工程船為研究對(duì)象，該船總長82.7 m，型寬14.2 m，型深7.8 m，排水4 600 t，其離散化的數(shù)學(xué)模型同式(2)。假設(shè)船舶初始航速為14 kn，在2 500 s時(shí)切換到8 kn航行，采樣周期取1 s，兩種航速下的船舶模型參數(shù)如表2所示。

表2 不同航速下的船舶模型參數(shù)Tab. 2 Ship model parameters with different speed

采用本文方法對(duì)上述航行過程中的模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)仿真。算法中m=100，n=15，l=10，λ0=0.975，在模型輸入端施加0.1 Hz的三角波信號(hào)模擬輸入舵角值，在模型輸出端疊加高斯白噪聲模擬實(shí)際采樣到的航向角。船舶實(shí)際航速調(diào)節(jié)需要較長的過渡時(shí)間，而考慮到模型參數(shù)變化緩慢難以使辨識(shí)算法收斂的快速性得到較好的對(duì)比驗(yàn)證，因此在仿真中人為設(shè)置模型參數(shù)b1、b2和b3在第2 500 s發(fā)生突變。將本文算法對(duì)模型參數(shù)b1、b2和b3的辨識(shí)結(jié)果與恒定遺忘因子RLS算法的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果分別如圖2、圖3和圖4所示。

圖2 b1辨識(shí)結(jié)果 Fig. 2 Identification results of b1

圖2、圖3和圖4的仿真結(jié)果表明：恒定遺忘因子RLS算法中的遺忘因子越大，算法辨識(shí)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但對(duì)模型參數(shù)突變時(shí)的跟蹤能力變差，收斂速度變慢；而本文所提的動(dòng)態(tài)遺忘因子RLS算法不僅在模型參數(shù)平穩(wěn)時(shí)有很高的辨識(shí)精度，在模型參數(shù)突變時(shí)也能迅速跟蹤參數(shù)的變化。

圖3 b2辨識(shí)結(jié)果 Fig. 3 Identification results of b2

圖4 b3辨識(shí)結(jié)果 Fig. 4 Identification results of b3

在整個(gè)航行過程中，船舶模型參數(shù)a1和a2保持不變，辨識(shí)結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖5和圖6圖中，本文方法對(duì)參數(shù)a1和a2的辨識(shí)結(jié)果在第2 500 s開始出現(xiàn)短時(shí)間的波動(dòng)，但在其他時(shí)間段內(nèi)都有非常高的辨識(shí)精度，綜合整個(gè)過程的辨識(shí)效果仍具有一定的優(yōu)勢(shì)。

基于模糊控制的動(dòng)態(tài)遺忘因子RLS算法在整個(gè)參數(shù)辨識(shí)過程中，遺忘因子的調(diào)整如圖7所示。

圖7中，遺忘因子的動(dòng)態(tài)變化曲線充分解釋了圖2(d)至圖6(d)辨識(shí)結(jié)果，當(dāng)模型參數(shù)平穩(wěn)時(shí)，遺忘因子被修正為較大值，此時(shí)算法對(duì)噪聲的魯棒性較強(qiáng)，辨識(shí)精度較高；當(dāng)模型參數(shù)在第2 500 s出現(xiàn)突變時(shí)，遺忘因子被迅速修正為較小值，使算法的收斂速度較快，如圖2(d)至圖4(d)所示。在遺忘因子較小的時(shí)間段內(nèi)，算法也會(huì)對(duì)噪聲比較敏感，因此出現(xiàn)圖5(d)和圖6(d)中第2 500 s開始出現(xiàn)的短期波動(dòng)。

本文在評(píng)價(jià)函數(shù)及其變化率計(jì)算中引入了參數(shù)m和n，以減小噪聲干擾對(duì)遺忘因子調(diào)整的影響，但也會(huì)造成遺忘因子期望的修正滯后于實(shí)際模型參數(shù)的變化，使模型參數(shù)在2 500 s發(fā)生突變時(shí)，遺忘因子沒有立即被修正為最小值，如圖7所示。同時(shí)，結(jié)合圖2(d)、3(d)、4(d)和圖7可以得出，在辨識(shí)算法收斂到真實(shí)模型參數(shù)值附近時(shí)，遺忘因子也沒有立即被修正為最大值。遺忘因子修正的滯后，會(huì)導(dǎo)致算法在模型參數(shù)突變初期的跟蹤速度不會(huì)達(dá)到最快，在算法初次收斂到模型參數(shù)真實(shí)值附近后仍會(huì)持續(xù)小幅度波動(dòng)一段時(shí)間。

圖5 a1辨識(shí)結(jié)果 Fig. 5 Identification results of a1

圖6 a2辨識(shí)結(jié)果 Fig. 6 Identification results of a2

圖7 遺忘因子的調(diào)整過程 Fig. 7 Adjustment process of forgetting factor

4 結(jié)語

提出了一種基于模糊控制的動(dòng)態(tài)遺忘因子RLS算法，并采用該算法對(duì)小舵角控制工況下的船舶航向運(yùn)動(dòng)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)仿真。仿真結(jié)果表明，該算法中的遺忘因子能夠根據(jù)參數(shù)辨識(shí)誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)修正，使算法同時(shí)具備優(yōu)越的辨識(shí)精度和收斂速度。所提算法將構(gòu)造的評(píng)價(jià)函數(shù)及其變化率作為遺忘因子調(diào)整的依據(jù)，并采用模糊控制器實(shí)現(xiàn)遺忘因子修正量的計(jì)算，使算法的應(yīng)用不依賴于被辨識(shí)對(duì)象的具體領(lǐng)域，且改進(jìn)后的算法仍具有較小的計(jì)算量，其實(shí)現(xiàn)過程簡單、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、通用性好，具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

本文僅對(duì)單輸入輸出系統(tǒng)模型參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)研究，若要所提算法推廣應(yīng)用在多輸入輸出系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)中，則需要對(duì)評(píng)價(jià)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑?。同時(shí)，如何獲取參數(shù)m、n、l的最佳值需要進(jìn)一步探討。

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This work is partially supported by the Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20170217).

SUNGongwu, born in 1990, M. S., engineer. His research interests include intelligent control of ship, system identification.

XIEJirong, born in 1977, Ph. D., research fellow. His research interests include intelligent control of ship, integrated information system.

WANGJunxuan, born in 1986, M. S., senior engineer. His research interests include intelligent control of ship, integrated information system.