基于雙冪次趨近律柔性火箭滑模變結(jié)構(gòu)控制

于亞男 吳 頎 王海鷹 金 龍

上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

運載火箭在飛行過程中飛行空域變化很大，其氣動參數(shù)變化范圍也較大，有些干擾或者參數(shù)甚至是無法確定的。飛行時，不僅內(nèi)部燃料消耗、液體晃動引起的質(zhì)心偏移會影響運載火箭的轉(zhuǎn)動慣量，還會受到風(fēng)干擾力矩等的影響。這些不確定因素對運載火箭姿態(tài)控制的影響很大，箭體彈性與主體的耦合作用以及各種不確定性的影響可能會導(dǎo)致運載火箭控制失效，因此要求運載火箭姿態(tài)控制算法具有較好的魯棒性。在傳統(tǒng)控制方法中，通常采用變增益和變網(wǎng)絡(luò)的方法，在不考慮外界干擾和耦合的條件下在不同時間點進行頻域設(shè)計，這就要求控制系統(tǒng)有較好的裕度，對于不同的飛行階段，采用不同的動靜態(tài)增益和校正網(wǎng)絡(luò)。這種方法對于發(fā)射不同有效載荷的運載火箭來說，每一發(fā)都需要重新設(shè)計，設(shè)計效率低，對外界不確定干擾的魯棒性較差。因此，自適應(yīng)性和魯棒性能較好的運載火箭姿態(tài)控制方法成為現(xiàn)階段研究的熱點問題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制算法是一種自適應(yīng)性魯棒性能好的控制方法，廣泛應(yīng)用于具有不確定特性的飛行器姿態(tài)控制算法中[2]，但是傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法在實現(xiàn)控制時存在嚴重的抖振問題，這對控制器執(zhí)行機構(gòu)的性能有很高要求，實現(xiàn)困難[3]。國內(nèi)外很多學(xué)者針對滑模變結(jié)構(gòu)抖振問題提出了一些解決方法，一種方法是在滑動平面的兩邊引入邊界層，文獻[4]利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)達到抑制抖振的目的，但這種方法邊界層厚度的值是固定的，是以減弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的魯棒性為代價的。文獻[5]提出一種具有動態(tài)邊界層的飽和函數(shù)控制法，可使邊界層隨狀態(tài)軌跡的收斂而逐漸收縮到與滑模面重合，使?fàn)顟B(tài)軌跡最終收斂到切換平面上。隨著遺傳算法等人工智能控制算法的發(fā)展，文獻[6]以輸入輸出反饋線性化進行模型轉(zhuǎn)換，采用模糊控制理論改進指數(shù)趨近律，并通過遺傳算法進行控制參數(shù)優(yōu)化。但這些方法中均沒有具體地考慮模型不確定性和外界干擾的影響。對于柔性運載火箭這種模型較為復(fù)雜的系統(tǒng)，國內(nèi)研究的內(nèi)容較少，文獻[7]針對柔性運載火箭的滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制問題提出了一種基于超螺旋算法的解決方法，超螺旋算法可以在不需要增加觀測量的基礎(chǔ)上解決滑模變結(jié)構(gòu)的抖振問題，但是超螺旋算法僅適用于系統(tǒng)相對階為1的問題，使用時需要有此類證明。根據(jù)文獻[8]的結(jié)論，雙冪次趨近律具有固定的時間收斂特性，又能有效消除滑模變結(jié)構(gòu)的抖振問題，當(dāng)系統(tǒng)存在有界集的擾動時，能保證滑模及其一階導(dǎo)數(shù)有限時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)誤差內(nèi)。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文建立了具有彈性特性的運載火箭俯仰方向的小偏差數(shù)學(xué)模型，設(shè)計基于快速冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，為了改善控制器的魯棒性和抗干擾能力，提出了應(yīng)用雙冪次趨近律算法實現(xiàn)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，最后驗證了此算法的優(yōu)越性。

1 運載火箭數(shù)學(xué)模型

考慮運載火箭的彈性振動，根據(jù)小偏差線性化方法將姿態(tài)動力學(xué)方程進行簡化，得到的俯仰通道模型為

(1)

彈性振動方程為：

(2)

彈性振動模態(tài)被看作擾動項，將模型規(guī)范化，寫成狀態(tài)方程的形式為：

(3)

2 基于彈道傾角觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計

由于彈道傾角θ在實際的火箭飛行過程中無法精確測量，所以要通過設(shè)計狀態(tài)觀測器對其進行觀測得到，觀測器的引入使得受控系統(tǒng)狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)成為可能。

定理：對于n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：

(4)

其中，A∈n×n，B∈n×p，C∈q×n，{A,C}完全能觀測。那么，若系統(tǒng)輸出矩陣C為滿秩，即rankC=q，則系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測器ΣROM的最小維數(shù)為

dimΣROM=n-q

進而，若觀測系統(tǒng)為單輸出即q=1，則降維觀測器ΣROM的最小維數(shù)為n-1。若被觀測系統(tǒng)為多輸出即q>1，則降維觀測器ΣROM的最小維數(shù)為n-q，則q越大ΣROM的最小維數(shù)越小，即降維觀測器ΣROM結(jié)構(gòu)越簡單。

取降維觀測器為n-q維降維狀態(tài)觀測器：

(5)

其中，(n-q)×(n-q)矩陣F的特征值可按期望要求任意配置，系數(shù)矩陣滿足關(guān)系式：

圖1 基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)

(6)

(7)

系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示

圖2 狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)觀測器的參數(shù)G=c1，F(xiàn)=c2-c1，H=c3。

3 運載火箭滑模變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制

為了確保設(shè)計的滑模變結(jié)構(gòu)控制具有良好的手鏈特性和魯棒性，本文使用具有固定時間收斂特性的雙冪次趨近律進行趨近律設(shè)計。

雙冪次趨近律如下：

(8)

其中：k1>0,k2>0,a1>1,0

本雙冪次趨近律具有固定時間收斂特性的證明：

(9)

(10)

證明：當(dāng)s>0時，滿足a1+a2=2，若雙冪次趨近律可以有

方程兩邊同時除以sa2，則上式可以寫為

令y=s1-a2，則s=y1/(1-a2)，帶入上式化簡后得到廣義的Riccati微分方程為

其通解為

由s(0)=s0可得

由上式可得，滑模初值s0僅出現(xiàn)在反正切函數(shù)里，由反正切函數(shù)y=arctan(x)∈[0,π/2),x≥0

因此，這類雙冪次趨近律的收斂時間存在上確界Tsup，且Tsup與滑模初值s0無關(guān)。

(11)

根據(jù)雙冪次趨近律的定義

(12)

根據(jù)式(11)和(12)，可得

則控制變量：

(13)

4 仿真結(jié)果

為了驗證基于觀測器雙冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制在運載火箭姿態(tài)控制上應(yīng)用的有效性，應(yīng)用實際動力學(xué)參數(shù)，將其控制效果和基于觀測器的狀態(tài)反饋控制方法進行了仿真比較。

1)不同初值條件下的收斂時間

圖3 不同初值條件下雙冪次趨近律s和收斂曲線

2)系統(tǒng)存在有界集總擾動時的控制效果

考慮運載火箭箭體3階彈性振動模態(tài)，將彈性振動對箭體姿態(tài)運動的影響作為干擾項，箭體的俯仰方向彈性振動曲線如圖4所示，將外界干擾和姿態(tài)角初值干擾作為耦合干擾項，考慮實際情況中發(fā)動機擺角限幅，設(shè)計滑?？刂破骺刂茀?shù)，并對控制效果曲線進行仿真。

圖4 彈性振動干擾曲線

圖5 基于雙冪次趨近律的姿態(tài)角控制效果曲線

圖6 基于雙冪次趨近律的發(fā)動機擺角Δδ曲線

由以上仿真分析可知：基于雙冪次趨近律設(shè)計的控制器具有全局快速的固定時間收斂特性，收斂時間存在與滑模初值無關(guān)的上界。雙冪次趨近律能保證滑模及其一階導(dǎo)數(shù)在有限時間收斂到穩(wěn)態(tài)誤差界內(nèi)；在控制力矩受限的條件下，基于雙冪次趨近律算法的滑模變結(jié)構(gòu)控制器能實現(xiàn)箭體柔性振動等有界集總擾動條件下的姿態(tài)穩(wěn)定控制，并消除了滑?？刂贫墩竦膯栴}。

5 結(jié)論

提出了一種基于彈道傾角觀測的運載火箭滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計方法，該方法采用雙冪次趨近律滑模函數(shù)，具有全局固定時間收斂特性的同時能夠有效抑制變結(jié)構(gòu)控制引起的高頻抖振。數(shù)值仿真表明，考慮實際情況控制受限時，在箭體系統(tǒng)存在有界集總擾動作用下，提出的控制器表現(xiàn)出良好的自適應(yīng)能力和魯棒性。基于雙冪次趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)算法具有全局固定時間收斂特性并解決了滑模算法高頻抖振的問題，但是應(yīng)用于實際系統(tǒng)仍存在不足，滑?？刂茀?shù)選擇仍采用試湊法，后續(xù)工作中考慮進一步研究滑模參數(shù)自適應(yīng)的控制方法。

參 考 文 獻

[1] 劉剛, 李傳江, 馬廣富,等. 應(yīng)用SGCMG的衛(wèi)星姿態(tài)快速機動控制[J]. 航空學(xué)報.2011, 32(10):1905-1913.(Liu Gang, Li Chuanjiang,Ma Guangfu, et al. Time Efficient Controller Design for Satellite Attitude Maneuvers Using SGCMG[J], Acta Aeronautica ET Astronautica Sinica, 2011, 32(10): 1905-1913.)

[2] Pukdeboon,C.Zinober,A.S.I. Optimal Sliding Mode Controllers for Spacecraft Attitude Manoeuvres[C]. ROCOND'09-6th IFAC Symposium on Robust Control Design, Proceedings, 2009: 173-178.

[3] 高為炳. 變結(jié)構(gòu)控制的理論及設(shè)計方法[M]. 北京：科學(xué)出版社,1996.

[4] 席雷平,郭輝,何東.基于飽和函數(shù)的機械臂模糊滑模趨近律設(shè)計[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報.2011,32(5):482-487.(Xi Leiping, Guo Hui, He Dong. Design of Fuzzy Trending Law Based on Saturation Function in Sliding Mode Control for Robotic Manipulators[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2011, 32(5): 482-487.)

[5] 金鴻章, 羅延明, 肖真，等. 抑制滑模抖振的新型飽和函數(shù)法研究[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報, 2007,28(3):288-291.(Jin Hongzhang, Luo Yanming，Xiao Zhen, et al. Investigation of A Novel Method of Saturation Function for Chattering Reduction of Sliding Mode Control[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2007, 28(3) :288-291.)

[6] 王健, 杜慶余. 基于模糊策略的高速飛行器滑?？刂坡稍O(shè)計[J]. 航天控制.2011,29(4):49-54.(Wang Jian, Du Qingyu. The Design of Sliding Mode Control Law Based on Fuzzy Strategy for Hypersonic Vehicle[J]. Aerospace Control, 2011, 29(4):49-54.)

[7] 王青,王昭,董朝陽.一種基于二階滑模的柔性運載火箭姿態(tài)控制[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報.2009,21(7):2006-2009.(Wang Qing, Wang Zhao, Dong Chaoyang. Attitude Control of Flexible Launch Vehicles Based on Second-order Sliding Mode[J].Journal of System Simulation,2009,21(7): 2006-2009.)

[8] 李慧潔, 蔡遠利. 基于雙冪次趨近律的滑模控制方法[J]. 控制與決策. 2016,11(3):499-502.(Li Huijie, Cai Yuanli. Sliding Mode Control with Double Power Reaching Law[J]. Control and Decision, 2016, 11(3): 499-502.