變幅桿彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算及分析

蒙永紅，賀西平，崔曉娟，衛(wèi)相潤(rùn)

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西省超聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710119）

變幅桿的主要作用是聚能和機(jī)械阻抗匹配。林仲茂對(duì)傳統(tǒng)的縱向振動(dòng)變幅桿做了詳細(xì)的研究[1]。文獻(xiàn)[2]提出了一端輸入、多端輸出的縱振動(dòng)轉(zhuǎn)換體，根據(jù)連接處各物理量的連續(xù)條件推導(dǎo)出了設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換體的頻率方程。文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)了夾角型變幅桿的矩陣解析法。超聲變幅桿縱向振動(dòng)時(shí)會(huì)不可避免地出現(xiàn)彎曲振動(dòng)，影響振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也會(huì)降低振動(dòng)系統(tǒng)的工作效率，嚴(yán)重時(shí)會(huì)出現(xiàn)嘯振甚至停振。

有目的地利用彎曲振動(dòng)有利于超聲加工。例如，對(duì)藍(lán)寶石襯底進(jìn)行輔助化學(xué)機(jī)械拋光加工，使其表面光滑，提高材料去除率[4]；雙向彎曲振動(dòng)對(duì)硬脆材料以橢圓振動(dòng)的方式進(jìn)行加工，可得深度為1.9 μm的小槽[5]；彎曲振動(dòng)的焊極利于塑料焊接[6]。為了研究變幅桿的彎曲振動(dòng)，文獻(xiàn)[7]、[8]用傳輸矩陣法計(jì)算了超聲錐形變幅桿的彎曲振動(dòng)頻率。文獻(xiàn)[9]提出了變截面桿彎曲振動(dòng)的半解析法。文獻(xiàn)[10]計(jì)算了一種圓錐形變幅桿彎曲振動(dòng)固有頻率。

本文以圓柱型變幅桿為例，分別在只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或只考慮剪切形變影響時(shí)采用Euler-Bernoulli理論以及在考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響時(shí)采用Timoshenko理論，計(jì)算了該變幅桿的彎曲振動(dòng)頻率方程，并得到了桿的前三階頻率值，又利用有限元軟件計(jì)算其彎振頻率，將解析計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試值進(jìn)行了比較。

1 圓柱型變幅桿彎曲振動(dòng)固有頻率

等截面桿彎曲自由振動(dòng)的微分方程為：

式中：I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Y為橫向位移；K′為剪切系，對(duì)于圓截面取值為0.9；A為截面圓的面積。

1.1 Euler-Bernoulli理論

式（1）中若不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)和剪切，所得均勻截面桿的彎曲振動(dòng)方程為：

式中：Y為桿上各點(diǎn)的橫向位移；c為縱波聲速；截面的回轉(zhuǎn)半徑K為半徑r的一半。

結(jié)合自由邊界條件可得：

則兩端自由的圓柱型桿彎曲振動(dòng)諧振頻率方程為：

式中：

1.2 考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的彎曲振動(dòng)頻率

在只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響時(shí)，式（1）中不含剪切系數(shù)，則彎曲振動(dòng)方程為：

令 Y（x，t）=y（x）T（t），則桿兩端自由邊界條件下的彎曲振動(dòng)諧振頻率方程為：

1.3 考慮剪切變形的彎曲振動(dòng)頻率

在只考慮彎曲變形引起的剪切效應(yīng)時(shí)，式（1）中不含項(xiàng)，則彎曲振動(dòng)方程為：

令 Y（x，t）=y（x）T（t），同理可得彎曲振動(dòng)諧振頻率方程為：

1.4 考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響的Timoshenko理論

簡(jiǎn)化式（1），可得Timoshenko理論桿的彎曲振動(dòng)方程為：

由此可得彎曲振動(dòng)諧振頻率方程為：

2 有限元計(jì)算

取一圓柱型變幅桿，其截面直徑D=15 mm，長(zhǎng)度L=120 mm，材料為45鋼，楊氏模量E=2.10e11Pa，剪切模量G=8.0e10Pa，密度ρ=7800 kg/m3。如圖 1所示，采用Ansys15.0軟件建立桿的有限元模型，其坐標(biāo)原點(diǎn)位于x=0處，所建模型單元類(lèi)型為Solid187，其中單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為22 978和4694。圖2a～圖2c分別為彎曲振動(dòng)的前三階振型圖。

圖1 圓柱形變幅桿的有限元模型

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試及分析

為了驗(yàn)證上述理論計(jì)算方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試了該圓柱形變幅桿兩端自由狀態(tài)的彎曲振動(dòng)頻率，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)圖3。實(shí)驗(yàn)采用VibPilot振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)多通道測(cè)試儀器，將交變信號(hào)的電壓和頻率施加到厚度為0.4 mm、直徑為10 mm的壓電陶瓷片上。利用YD-8型加速度計(jì)采集這種振動(dòng)，并將采集的信號(hào)傳回VibPilot系統(tǒng)，經(jīng)分析、處理后得到測(cè)試結(jié)果。

圖3 變幅桿兩端自由狀態(tài)的彎曲振動(dòng)頻率測(cè)試結(jié)果

加工上述尺寸的變幅桿，由式（4）、式（6）、式（8）和式（10），即可求得該變幅桿的前三階彎曲振動(dòng)頻率，結(jié)果見(jiàn)表 1。 其中，下標(biāo) E、B、S、T、e、t分別表示：Euler-Bernoulli理論計(jì)算值、考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算值、考慮剪切變形的理論計(jì)算值、Timoshenko理論計(jì)算值、有限元計(jì)算值、實(shí)驗(yàn)測(cè)試值。上述各方法與實(shí)驗(yàn)測(cè)試值的誤差分別為：Δ1=

表1 變幅桿前三階彎曲振動(dòng)頻率的理論計(jì)算與實(shí)測(cè)值

由表1可知，Euler-Bernoulli理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相比誤差較大；有限元計(jì)算結(jié)果誤差為1.37%～8.79%。Timoshenko理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果最接近，其最大誤差只有8.06%，最小誤差為0.89%。這是因?yàn)镋uler-Bernoulli理論忽略了變幅桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響，故造成的誤差較大；而Timoshenko理論考慮了這兩種情形，使其理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)試值較接近。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用Euler-Bernoulli和Timoshenko理論，計(jì)算、實(shí)測(cè)了圓柱型變幅桿的彎曲振動(dòng)頻率，發(fā)現(xiàn)Timoshenko理論的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果最接近?；谠摲椒?，可研究變截面變幅桿的彎曲振動(dòng)頻率，為縱-彎耦合、彎-彎耦合等復(fù)合型振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

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