覆蓋階梯電極的石英晶體圓板高頻振動(dòng)分析

于蘭珍，吳榮興，李曉東，鄭東，邱耀

（1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江寧波，315800；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波，315211）

0 引言

石英晶體諧振器作為頻率控制元件在電子器件領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1]。其頻率穩(wěn)定性是器件設(shè)計(jì)人員首先需要考慮的問題，各種石英晶體諧振器的結(jié)構(gòu)因素和環(huán)境因素都將對(duì)諧振器工作頻率產(chǎn)生巨大影響[2]。Wang和Zhao分析了石英晶體矩形板的厚度剪切振動(dòng)，并提出了石英晶片最佳長(zhǎng)厚比的選取方法[3]。有限元法同樣被用來分析石英晶體諧振器的各種結(jié)構(gòu)效應(yīng)[4]。

在實(shí)際產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中，都會(huì)盡量將厚度剪切振動(dòng)的能量集中于石英晶體諧振器的中間，以避免過多的能量損耗[5]。本文設(shè)計(jì)了覆蓋階梯電極的石英晶體圓板模型，并以此分析了厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)特性，為覆蓋階梯電極的新型石英晶體諧振器的研制奠定了基礎(chǔ)。

1 控制方程

厚度剪切振動(dòng)是AT切石英晶體諧振器的工作模態(tài)，表現(xiàn)為關(guān)于圓板中線的反對(duì)稱模態(tài)，可以由覆蓋板上的金屬電極激發(fā)[1]。為了更好地獲得相應(yīng)的能陷效應(yīng)，階梯電極如圖1所示。厚度剪切振動(dòng)位移表達(dá)式為[5]

式中,h,r,θ,x和t分別是總位移、n階厚度剪切振動(dòng)2的位移、石英晶片的半板厚、半徑、轉(zhuǎn)角、厚度坐標(biāo)和時(shí)間變量。當(dāng)n=1時(shí)，厚度剪切振動(dòng)為基頻振動(dòng)，當(dāng)n＞1為高頻振動(dòng)[1]。

圖1 覆蓋階梯電極的石英晶體圓板

未覆蓋電極和覆蓋電極的厚度剪切振動(dòng)的控制方程分別為[5]

和

控制方程的參數(shù)如下[5]

式 中 cpq(p ,q =1,2,3,4,5,6), eip(i =1,2,3), εij( j =1,2,3),ρ,2h′,ω和ρ′分別為AT切石英晶體的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、介電常數(shù)、石英晶體密度、電極厚度、頻率和電極密度。

針對(duì)頻率方程(2)和(3)，可以假設(shè)解為

式中 m = 0 ,1,2,···。將 (8) 代入 (7)，可以得到

和

方程(9)和(10)的通解為

式中 A (B ,C,D,E)是振幅，Jm和 Ym分別為第一類和第二類貝塞爾函數(shù)。

對(duì)應(yīng)于圖1所示的邊界條件，在不同覆蓋電極厚度處的邊界條件為位移和斜率連續(xù)，同時(shí)假定一定遠(yuǎn)處的位移為零，如下

式 b3為一定遠(yuǎn)處的半徑。將位移代入邊界條件(12)，可以獲得關(guān)于振幅 A (B ,C,D,E )的線性方程組，如果振幅存在非零解，其系數(shù)行列式的值必為零，可以獲得頻率ω的方程。

2 算例

這里考慮石英晶體材料為AT切石英晶體，覆蓋金屬電極為銀，具體材料常數(shù)可見文獻(xiàn)[6]。設(shè)定h=0.343915mm，b1=1 mm，b2=2 mm，b3=5 mm?？梢岳L制出覆蓋階梯電極的AT切石英晶體圓板的基頻(n=1)厚度剪切振動(dòng)的位移振動(dòng)模態(tài)如圖2所示。

圖2 覆蓋階梯電極的AT切石英晶體圓板厚度剪切振動(dòng)的振動(dòng)模態(tài)圖。

這里階梯電極的厚度分別為1/20h和1/15h。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，厚度剪切振動(dòng)的能量大部分集中于圓板的中間，這樣引起的能量耗散就比較合理[1]。進(jìn)一步繪制出階梯電極和均勻電極之間的模態(tài)振動(dòng)比較如圖3所示。

圖3 不同電極形式下的厚度剪切振動(dòng)模態(tài)圖

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，無論是階梯電極還是均勻電極，能陷效應(yīng)都比較明顯。當(dāng)采用階梯電極時(shí)，能陷效應(yīng)更加明顯，說明隨著電極厚度的增加，振動(dòng)能量更加集中于圓板中間。

3 結(jié)論

基于石英晶體圓板厚度剪切振動(dòng)的位移假設(shè)和邊界條件，建立了厚度剪切振動(dòng)的頻率方程。通過數(shù)值求解，獲得覆蓋階梯電極的石英晶體圓板的厚度剪切振動(dòng)的頻率和振動(dòng)模態(tài)。發(fā)現(xiàn)厚度剪切振動(dòng)的振動(dòng)能量主要集中于圓板的中間部位，這符合諧振器需要的能陷效應(yīng)。相對(duì)于覆蓋均勻電極，覆蓋階梯電極的能陷效應(yīng)更加突出。本文的計(jì)算將為能量法計(jì)算能陷效應(yīng)和預(yù)防能量衰減奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]R.D. Mindlin, (J.S. Yang, Ed.). An introduction to the mathematical theory of vibrations of elastic plates[M].World Scientific, Hackensack, New Jersey, 2006.

[2]R.X. Wu, J. Wang, D.J. Huang, et al. The nonlinear thickness-shear vibrations of quartz crystal plates under an electric field[J]. International Journal of Nonlinear Mechanics, 61: 32-38, 2014.

[3]J.Wang,W.H.Zhao.The determination of the optimal length of crystal blanks in quartz crystal resonators[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics & Frequency Control, 52(11): 2023-2030, 2005.

[4]吳榮興,于蘭珍,李繼亮,等.石英晶體板高頻振動(dòng)的三維有限元分析[J].壓電與聲光, 36(5): 821-824, 2014.

[5]W.J. Wang, R.X. Wu, J. Wang, et al. Thickness-shear modes of an elliptical contoured AT-cut quartz Rresonator[J].IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectric, and Frequency Control, 60(6): 1192-1198, 2013.

[6]R. Bechmann. Elastic and piezoelectric constants of alphaquartz[J]. Physical Review, 110(5): 1060-1061, 1958.