初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)難點(diǎn)探究

龔寧

【摘要】函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是從定量關(guān)系的角度來描述事物變化規(guī)律的工具，函數(shù)知識(shí)滲透在初中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容中，它與物理、化學(xué)等密切相關(guān).同時(shí)，函數(shù)本身也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，利用函數(shù)的思想和方法，可以加深對(duì)一些代數(shù)問題的理解.本文將就初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)難點(diǎn)進(jìn)行深入的探究，以此來幫助學(xué)生認(rèn)知反比例函數(shù)的規(guī)律及實(shí)際運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；難點(diǎn)探究

隨著這幾年新課改理念的不斷深入，對(duì)于反比例函數(shù)的考查越來越新穎.學(xué)生在考試中考得高分就必須要在課堂上將教授的反比例函數(shù)知識(shí)理解透徹.因?yàn)橹袑W(xué)生雖然脫離了小學(xué)生的稚氣，但是在思維上還不是很健全，也不如高中生努力和理解能力強(qiáng).因此，有效創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)環(huán)境，全面引導(dǎo)學(xué)生正視反比例函數(shù)，并著重解析反比例函數(shù)中的難點(diǎn)，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，有助于優(yōu)化學(xué)生的反比例函數(shù)解題能力，同時(shí)還能夠降低學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的抵觸和排斥情緒，全面提升反比例函數(shù)的整體教學(xué)質(zhì)量.

一、初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)教學(xué)中存在的問題

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn).學(xué)生在理解反比例函數(shù)的過程及運(yùn)用反比例函數(shù)來求解的過程中，存在著較大的思維障礙，這在一定程度上影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，也制約著學(xué)生的學(xué)習(xí)思維.當(dāng)前在反比例函數(shù)的教學(xué)過程中存在著顯著的問題，直接影響著反比例函數(shù)教學(xué)水平的提升.

（一）性質(zhì)把握不清，概念認(rèn)知不科學(xué)

在初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)的教學(xué)過程中，學(xué)生應(yīng)用反比例函數(shù)來解決實(shí)際問題，以及學(xué)生利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來搭設(shè)圖像的過程中，必須對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)具有全面的認(rèn)識(shí).反比例函數(shù)是兩條不相交的雙曲線，兩條雙曲線在正值區(qū)域或者負(fù)值區(qū)域分布，但在反比例函數(shù)的實(shí)際教學(xué)過程中，教師往往依托于教材來進(jìn)行全面灌輸.部分教師為了追求教學(xué)進(jìn)度，在學(xué)生尚未理解反比例函數(shù)的前提下，就開始新的課程.同時(shí)，還有一部分教師在教學(xué)實(shí)踐中，沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反比函數(shù)圖像的科學(xué)作法，這也使得不少學(xué)生缺乏對(duì)反比例函數(shù)圖像的正確認(rèn)知，僅僅認(rèn)為反比例函數(shù)是兩條不相交的曲線，且反比例函數(shù)的曲線與坐標(biāo)軸不相交，兩個(gè)分支點(diǎn)之間也不發(fā)生關(guān)聯(lián).

（二）訓(xùn)練重復(fù)性強(qiáng)，學(xué)生難點(diǎn)把握不足

反比例函數(shù)在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著關(guān)鍵的位置，同時(shí)也是整個(gè)函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn).在反比例函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生正確把握反比例函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和能力，以此來全面提升反比例函數(shù)的整體教學(xué)質(zhì)量.但當(dāng)前，在反比例函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，教師對(duì)于反比例函數(shù)題目的選擇具有較大的雷同性，缺乏一些相關(guān)拓展的引用，重復(fù)性地進(jìn)行簡單反比例函數(shù)的練習(xí)，這不僅無法提升反比例函數(shù)的整體教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)也難以有效地引導(dǎo)學(xué)生鞏固反比例函數(shù)的難點(diǎn).當(dāng)學(xué)生遇到難度較大的反比例函數(shù)時(shí)，往往無從下手，難以快速準(zhǔn)確地切入，極大程度影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

二、反比例函數(shù)的難點(diǎn)分析

在初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)難點(diǎn)分析的過程中，必須首先分析反比例函數(shù)的特性，這是反比例函數(shù)的獨(dú)特屬性，也是精準(zhǔn)把握反比例函數(shù)難點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn).

（一）反比例函數(shù)與其他函數(shù)的共生性

反比例函數(shù)的本質(zhì)仍是函數(shù)，因此，它與其他函數(shù)之間是存在較大的關(guān)聯(lián)性的.在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的過程中，或者在解答反比例函數(shù)題目的過程中，學(xué)生腦海中都應(yīng)該運(yùn)用科學(xué)的空間思維能力，完整找到反比例函數(shù)與其他函數(shù)的共性.

例1 在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)兩種函數(shù)圖像，反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=kx+k，那么判斷下列哪個(gè)圖屬于二者的大致圖像.

在這一題型中，k的值是非常關(guān)鍵的，它關(guān)系著兩種函數(shù)的性質(zhì).首先可以排除k=0的情況，那么k的方向選擇就會(huì)存在兩種情況，k<0或者k>0.當(dāng)k<0時(shí)，我們可以運(yùn)用代入法，隨機(jī)挑選一個(gè)負(fù)數(shù)來作為k的值，通過驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)C、D雖然符合反比例函數(shù)，但不符合一次函數(shù)，因此，可以排除C、D.當(dāng)k>0時(shí)，仍然采用代入法，可以發(fā)現(xiàn)A不符合一次函數(shù)，所以結(jié)果是B.通過這樣數(shù)形結(jié)合的方法，不僅能夠幫助學(xué)生認(rèn)知函數(shù)的性質(zhì)及圖像，同時(shí)還能夠引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)全面地搭建反比例函數(shù)與其他函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而拓展反比例函數(shù)的范疇，有效提升反比例函數(shù)的整體教學(xué)效率.

例2 若ab≠0，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2+b和函數(shù)y=abx的圖像大致類型為以下哪一種.

在解答這一類題型的過程中，首先仍然要分析變量和不變量，在充分找出變量的情況下，來分析兩種函數(shù)的變化特征.其實(shí)函數(shù)的變化，主要在于變量的存在，因此，只要找出變量值，然后根據(jù)變量的特征來進(jìn)行分析，就能夠很容易判斷其圖像.ab≠0，那么其結(jié)果為ab<0或ab>0.當(dāng)ab<0時(shí)，逐步拆解分析a，b的不同正負(fù)關(guān)系，然后進(jìn)行逐一分析與判斷.通過有效判斷，最終正確答案為A、B.

（二）圖像固有性質(zhì)類

反比例函數(shù)具有自身獨(dú)特的屬性，在解答反比例函數(shù)的難題或者對(duì)反比例函數(shù)的難點(diǎn)進(jìn)行全面分析時(shí)，應(yīng)該把握反比例函數(shù)的特性，尤其是反比例函數(shù)圖像自身的特別屬性.學(xué)生在實(shí)際的反比例函數(shù)題目的解答過程中，通過記憶和理解這部分內(nèi)容，能夠從題干中分析出已知量，在一些反比例函數(shù)的題目考核中，這些內(nèi)容往往被隱藏了起來，但學(xué)生可以直接引用.不少學(xué)生反映反比例函數(shù)的題目似乎缺乏題干關(guān)鍵信息，是題目本身出現(xiàn)了問題，或者教材印刷存在質(zhì)量問題.其實(shí)，關(guān)鍵還在于學(xué)生對(duì)于反比例函數(shù)圖像的相關(guān)固有特性把握不嚴(yán)，沒有扎實(shí)穩(wěn)固反比例函數(shù)圖像的諸多特殊屬性.

例3 如圖所示，反比例函數(shù)y=1x和一次函數(shù)y=kx相交，相交點(diǎn)為A和C，AB垂直于x軸，交點(diǎn)為B，那么三點(diǎn)組成的三角形的面積為多少呢？

在這類題型的解答中，題干內(nèi)容很清晰，但學(xué)生在快速解答的過程中，可以發(fā)現(xiàn)題干并沒有給出全面的意思，不少學(xué)生就打了退堂鼓，認(rèn)為題干意思難以為解答服務(wù).這其中，學(xué)生忽略了一個(gè)非常關(guān)鍵的反比例函數(shù)圖像特性，那就是反比例函數(shù)圖像中任一點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的積是定值，基于這一特性，那么圖像中三角形ABO與三角形BOC的面積是相同的.學(xué)生能夠思考到這一個(gè)題干中隱藏的信息，解題的效率就提高了一半，題干中的其他疑問就順其自然地解決了.

（三）綜合類

在反比例函數(shù)的解題過程中，綜合類的題型也是比較多樣的.在綜合類題型的解答過程中，學(xué)生可以從全面宏觀的角度來判斷題干中隱藏的已知量，然后再運(yùn)用到解題過程中，這樣能夠快速地進(jìn)行題干的解答.

例4 在反比例函數(shù)y=1x上，隨意選擇三個(gè)點(diǎn)D，E，F(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，試論證這個(gè)三角形的垂心在反比例函數(shù)圖像上.

在這一類題型的考核中，其實(shí)不僅是反比例函數(shù)的性質(zhì)，還包括三角形的特性.因此，學(xué)生在解答這類復(fù)雜綜合的題型時(shí)，要運(yùn)用全面的視角，不僅應(yīng)該關(guān)注反比例函數(shù)的特性，還應(yīng)該關(guān)注三角形的特性，將三角形的垂心計(jì)算出來后，代入反比例函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)證，就可以得到答案.首先，應(yīng)該對(duì)三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)置，分別得出三角形三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，然后再列出方程式，以此來進(jìn)行有效的解答.

三、初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)的教學(xué)策略

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)課程，特別是對(duì)于一些抽象思維能力比較薄弱的學(xué)生，很難在學(xué)習(xí)或者解題的過程中，利用空間思維，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來快速解題，尤其是面對(duì)一些難度稍高的反比例函數(shù)題.因此，在初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該科學(xué)有效地把握難點(diǎn)，逐步分析反比例函數(shù)題型的規(guī)律，注重把握反比例函數(shù)解答中的技巧，全面提升反比例函數(shù)的解題能力.

（一）在函數(shù)解答過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等思想

在初中反比例函數(shù)的解答過程中，為了形象直觀地幫助學(xué)生找到反比例函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式來快速準(zhǔn)確地理解題干的意思.因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)該充分結(jié)合學(xué)生的實(shí)際需求，結(jié)合學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)知特點(diǎn)來開展針對(duì)性的教學(xué)工作.教師在反比例函數(shù)的教學(xué)過程中，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)散思維，積極運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，包括數(shù)形結(jié)合、方程式、不等式等.同時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反比例函數(shù)的圖形的分析中，也應(yīng)該注重其他數(shù)學(xué)思想的融合，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的認(rèn)知意識(shí)，更加精確、更加快速地進(jìn)行函數(shù)的解答.為訓(xùn)練學(xué)生這方面的能力，教師在反比例函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該多布置相應(yīng)的題目，巧妙連接反比例函數(shù)與其他數(shù)學(xué)思想的融合.在這其中數(shù)形結(jié)合的思想是非常關(guān)鍵的，當(dāng)遇到一個(gè)反比例函數(shù)時(shí)，尤其反比例函數(shù)與一次函數(shù)、三角形、正方形等相交的題目中，學(xué)生應(yīng)該科學(xué)作圖，以便直觀地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換.

（二）采用分層教學(xué)法提升教學(xué)針對(duì)性

反比例函數(shù)是兩條不相交的曲線，學(xué)生在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的過程中，可能會(huì)存在認(rèn)知上的困難，可能因抽象思維能力的不足，而無法進(jìn)行快速轉(zhuǎn)換.為提升反比例函數(shù)的整體教學(xué)質(zhì)量，教師必須采用分層教學(xué)法.結(jié)合班級(jí)內(nèi)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)知，結(jié)合學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)特性的掌握，將學(xué)生分為不同的等級(jí)，并按照等級(jí)內(nèi)學(xué)生的基礎(chǔ)情況，開展針對(duì)性的教學(xué)工作.部分反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)比較牢靠的學(xué)生，教師可以針對(duì)性地引導(dǎo)他們往更深的方向拓展.部分反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)薄弱的學(xué)生，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)他們進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固.通過這樣科學(xué)的教學(xué)方法，能夠全面提升反比例函數(shù)教學(xué)的針對(duì)性，能夠真正做到因材施教.同時(shí)，在反比例函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，教師還可以將班級(jí)內(nèi)的學(xué)生進(jìn)行全面的分組，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論，鼓勵(lì)學(xué)優(yōu)生主動(dòng)帶動(dòng)學(xué)困生.

（三）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)函數(shù)建模

在反比例函數(shù)的解答過程中，反比例函數(shù)的類型是比較多樣化的，但它的外形可能會(huì)有多種多樣的變化.基于此，在反比例函數(shù)的解答過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，全面養(yǎng)成建模的思想.在反比例函數(shù)的解答過程中，學(xué)生應(yīng)該善于總結(jié)反比例函數(shù)的題型特點(diǎn)，然后將共性的函數(shù)題目結(jié)合起來，搭建統(tǒng)一的模型.同時(shí)，教師也應(yīng)該針對(duì)性地進(jìn)行分類總結(jié)，在反比例函數(shù)的解答與分析過程中，主動(dòng)融入建模思想，鼓勵(lì)學(xué)生積極建模，引導(dǎo)學(xué)生積極分析反比例函數(shù)中的規(guī)律和特性，在此基礎(chǔ)上分析它們的共性.這本身就是反比例函數(shù)的解答思路，同時(shí)也是反比例函數(shù)的建?；A(chǔ).所以，教師必須鼓勵(lì)學(xué)生積極建模，并在建模中，總結(jié)規(guī)律，把握要領(lǐng)，根據(jù)題干中的含義來進(jìn)行有效建模.

四、總 結(jié)

初中反比例函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中接觸到的第一個(gè)比較棘手的函數(shù)，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生全面掌握反比例函數(shù)的特性，全面認(rèn)知反比例函數(shù)的固有屬性，同時(shí)還應(yīng)該運(yùn)用科學(xué)的解題方法，做好重點(diǎn)題型的解決，全面總結(jié)反比例函數(shù)的特性，運(yùn)用建模的科學(xué)思想，來有效全面地進(jìn)行反比例函數(shù)的解答.

【參考文獻(xiàn)】

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