基于模糊不確定觀測器的四旋翼飛行器自適應動態(tài)面軌跡跟蹤控制

王寧 王永

近年來,隨著科技發(fā)展及生產生活需要,四旋翼無人機吸引了人們越來越多的注意力.四旋翼無人機憑借對稱結構,可以穩(wěn)定地在空中懸停,并通過改變4個旋翼產生的升力在空中飛行,擁有優(yōu)秀的機動性能,并且,其在救援、監(jiān)測、森林防火等方面也有較為廣泛應用,因此,四旋翼無人機是一種重要的垂直起降無人機系統(tǒng),使得越來越多的人將研究方向轉移到四旋翼飛行器的研究和控制中[1?6].

針對四旋翼飛行器的姿態(tài)和位置控制,研究人員提出了許多控制策略.常見的并在實際中應用的控制策略有PID 控制[7]、后推控制[8?10]和滑模控制[11?13]等.近年來,隨著模糊控制及神經網絡理論的發(fā)展,模糊控制和神經網絡控制[14?16]在四旋翼控制器設計中也有越來越多的應用.實際上,由于四旋翼飛行器是一種四輸入六輸出的典型欠驅動系統(tǒng),其控制器的設計擁有較大的難度.通過增加虛擬控制量、后推控制[17]和滑?？豙18]可以使四旋翼飛行器獲得較好的控制性能,同時,通過調節(jié)自適應參數(shù)或設計干擾觀測器[19],后推控制和滑?？刂埔彩沟盟男盹w行器擁有較強的抗干擾能力.然而,現(xiàn)有的多數(shù)控制策略很少考慮控制器設計過程中虛擬控制信號的復雜性和可導性問題[20].文獻[21]通過設計滑模觀測器,對飛行器外部擾動進行觀測補償,增強了控制系統(tǒng)的魯棒性,但采用高階濾波器的方法,使得控制器參數(shù)選擇較為苛刻和復雜.文獻[22]采用控制濾波積分后推的方法設計控制器,降低了后推控制中虛擬信號求導的復雜性,然而,卻未考慮外界擾動對控制系統(tǒng)的影響.文獻[23]將四旋翼飛行器系統(tǒng)分解為位置和姿態(tài)兩個動態(tài)子系統(tǒng),采用后推控制方法設計控制器,實現(xiàn)四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制,同時,該文在位置動態(tài)子系統(tǒng)中考慮了未知空氣動力學擾動,并設計觀測器對其進行估計,對四旋翼飛行器具有較好的控制效果,然而,該文并沒有考慮系統(tǒng)不確定性對系統(tǒng)的影響,同時,也未對后推控制中虛擬控制量處理,使得虛擬變量的求導過程變得較為復雜.文獻[24]通過直接自適應控制和量子邏輯,針對四旋翼飛行器執(zhí)行器失效,設計控制策略,實現(xiàn)了四旋翼飛行器姿態(tài)控制,該文通過采用改進的模型參考自適應補償控制器補償執(zhí)行器失效和外部擾動,進而保證四旋翼飛行器的姿態(tài)角跟蹤參考系統(tǒng)的輸出狀態(tài),同時,量子邏輯的引入,進一步增加了該方法的控制精度,然而,本文只是對外部擾動和執(zhí)行器失效產生的不確定量的上界進行自適應估計補償.文獻[25]采用定量反饋理論建立了四旋翼飛行器的全動態(tài)參數(shù)模型,此外,設計了基于定量反饋理論(Quantitative feedback theory,QFT)和魯棒控制的新型PID控制器,該文的仿真研究驗證了控制方法的有效性,然而,對于外部擾動和模型不確定性,該文并沒有做更多研究.實際上,同時處理外部擾動和虛擬控制信號的復雜性及可導性問題是比較困難的,文獻[26]針對一類非線性系統(tǒng),設計自組織神經網絡擾動觀測器補償不匹配擾動對系統(tǒng)的影響,同時,針對虛擬控制信號的復雜性及可導性問題,該文獻采用了動態(tài)面控制技術,避免對虛擬控制信號的直接求導,具有較好的控制效果.

本文針對四旋翼飛行控制系統(tǒng)中虛擬控制信號求導復雜的問題,采用了動態(tài)面控制的方法,實現(xiàn)四旋翼飛行器跟蹤控制設計的迭代解耦.針對由未知外界擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總非線性,采用模糊不確定觀測器對其逼近.不同于其他文章將四旋翼飛行器系統(tǒng)分解為平移運動和旋轉運動,本文將四旋翼飛行器分解為位置、姿態(tài)和角速率三個動態(tài)子系統(tǒng),分別設計期望的虛擬控制器,其優(yōu)點在于解決了四旋翼飛行器欠驅動約束的同時,還降低了控制器設計難度.進而,采用一階低通濾波器的動態(tài)面控制方法,對虛擬控制信號進行濾波處理,避免直接求導,同時保證控制信號的光滑性,減少實際應用中飛控的計算數(shù)據(jù);本文還全面考慮了由外部擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性,設計模糊不確定觀測器對其進行逼近,并對控制器進行補償,增強了控制器的魯棒性,相較于其他文章僅考慮外部擾動或系統(tǒng)不確定性并對未知非線性做一系列假設有一定的進步.最終,基于Lyapunov理論,證明了所得閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,跟蹤誤差和其他系統(tǒng)信號的有界性.

1 四旋翼飛行器動態(tài)模型

如圖1所示,本文研究的無人機是由固定在十字型框架上的電機(Q1,Q2,Q3,Q4)驅動的四旋翼無人機.分別以飛行器起始點和飛行器幾何中心為原點定義慣性坐標系Ea=(ex,ey,ez)和機體坐標系Eb=(e1,e2,e3).向量 (x,y,z)和 (φ,θ,ψ)分別表示飛行器質點在慣性坐標系中的位置和在機體坐標系中的姿態(tài).其中,φ表示飛行器繞e1軸轉動產生的與水平面的夾角,本文稱之為橫滾角,θ表示飛行器繞e2軸轉動產生的與水平面的夾角,稱之為俯仰角,ψ表示飛行器繞機體e3軸轉動產生的偏航角.進而,將四旋翼飛行器分解為位置,姿態(tài)和角速率三個動態(tài)子系統(tǒng).

圖1 四旋翼飛行器結構圖Fig.1 The con figuration of a quadrotor

位置動態(tài)子系統(tǒng)描述如下:

其中,為飛行器的位置向量,為飛行器在慣性坐標系中的線速率向量,表示由外部擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性,并且

這里,Di(i=x,y,z)為空氣阻尼系數(shù),m為四旋翼飛行器的質量,g是重力加速度,C?和S?分別表示余弦函數(shù) cos(?) 和正弦函數(shù) sin(?),η2=[φ,θ,ψ]T為姿態(tài)向量,τ為4個旋翼產生的總拉力.

姿態(tài)角動態(tài)子系統(tǒng)為

其中,表示由外部擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性,且

其中,T?表示正切函數(shù)tan(?),η3=[p,q,r]T為角速率向量.

角速率動態(tài)子系統(tǒng)表示為

其中,表示由外部擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性,3=diag{1/Jx,1/Jy,1/Jz}為四旋翼飛行器的慣性矩陣,且

其中,為機體輸入力矩向量,為本文研究的控制輸入,則系統(tǒng)的總控制輸入為

作如下一般性假設:

假設 1.期望軌跡η11d=[xd,yd,zd]T和ψd是連續(xù)可導的,即其導數(shù)存在且有界.

本文控制目標為:給定任意滿足假設1的期望軌跡η11d和ψd,考慮具有外界擾動的四旋翼飛行器系統(tǒng),結合動態(tài)面控制技術,設計一種基于模糊觀測器的軌跡跟蹤控制策略,使得四旋翼飛行器能夠跟蹤既定的期望軌跡,并且確保閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)狀態(tài)信號的有界性.

注1.本文考慮的系統(tǒng)不確定性是四旋翼飛行器參數(shù)測量或解算過程中產生的不確定量,其存在將直接影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制器的性能,本文對其處理,不僅與實際情況相符,更進一步提高了控制器的性能.

2 控制器設計

2.1 模糊逼近器

模糊系統(tǒng)由模糊器、模糊規(guī)則庫、模糊推理機和解模糊器4部分組成.假設模糊系統(tǒng)由N條模糊規(guī)則組成,即:

其中,是模糊系統(tǒng)的輸入變量,y是模糊系統(tǒng)的輸出變量,確定的模糊集合.Bj是μBj(y)確定的模糊集合.如果采用中心平均解模糊器,乘積推理機和單值解模糊器的方法,則輸出y(xxx)可以寫為

其中,?=[?1,···,?N]T是模糊規(guī)則后件,由各個模糊規(guī)則后件部分隸屬度函數(shù)中心確定.ξ()=[ξ1(),···,ξN()]T是模糊基函數(shù)定義如下:

由萬能逼近定理可得,對于任意定義在一致緊集∈Rn上的連續(xù)函數(shù)υ()和任意ε＞0,運用式 (10) 可得:成立.

2.2 位置控制器設計

考慮期望軌跡η11d:=[xd,yd,zd]T,結合位置動態(tài)子系統(tǒng)(1),定義如下誤差向量:

則有

其中,η12d表示所設計的虛擬控制輸入定義如下:

其中,并且,為η12d通過以下一階低通濾波器的濾波輸出

其中,τ1為濾波器濾波時間常數(shù).

位置動態(tài)子系統(tǒng)的目標控制律設計如下:

其中,模糊未知非線性觀測器為

模糊規(guī)則后件估計參數(shù)矩陣為

其中,r11＞0和r12＞0為設計參數(shù),為模糊系統(tǒng)的控制輸入向量,觀測器誤差向量定義為

其中,r13＞0為設計參數(shù).

2.3 姿態(tài)角控制器設計

結合式(20)和式(3),可得:

其中,ψd為給定偏航角軌跡,進而可得:

令期望姿態(tài)角η2d=[φd,θd,ψd]T,將其通過以下一階低通濾波器

其中,為期望信號η2d的濾波輸出,τ2為濾波器的濾波時間常數(shù).

結合姿態(tài)角動態(tài)子系統(tǒng)(4),定義如下誤差向量:

設計姿態(tài)角動態(tài)子系統(tǒng)的目標控制律如下:

其中,模糊未知非線性觀測器為

模糊規(guī)則后件估計參數(shù)矩陣為

其中,r21＞0和r22＞0為設計參數(shù),為模糊系統(tǒng)的控制輸入向量,觀測器誤差向量定義為

其中,r23＞0為設計參數(shù).

2.4 角速率控制器設計

令期望角速率η3d:=[pd,qd,rd]T=2,將其通過以下一階低通濾波器

其中,為參考軌跡η3d的濾波輸出,τ3為濾波器的濾波時間常數(shù).

結合角速率動態(tài)子系統(tǒng)(7),定義如下誤差向量:

可得

設計角速率動態(tài)子系統(tǒng)的控制律如下:

其中,模糊未知非線性觀測器為

模糊規(guī)則后件估計參數(shù)矩陣為

其中,r31＞0和r32＞0為設計參數(shù),為模糊系統(tǒng)的控制輸入向量,觀測器誤差向量定義為

其中,r33＞0為設計參數(shù).

因此,系統(tǒng)最終的控制律為

其中,τ和3分別由式(26)和式(43)定義.

注2.本文通過設計期望的虛擬控制輸入最終解決了四旋翼飛行器系統(tǒng)欠驅動約束問題.此外,本文將四旋翼飛行器分解為位置、姿態(tài)角和角速率三個動態(tài)子系統(tǒng),并分別設計期望的虛擬控制律,由于降低了子系統(tǒng)的階數(shù),從而降低了虛擬控制信號的復雜性.進而,為進一步降低對虛擬控制信號及其導數(shù)的光滑性限制,本文引入了一階低通濾波器,實現(xiàn)了虛擬控制信號的濾波處理,用其濾波輸出的導數(shù)代替虛擬控制信號的導數(shù),不僅使虛擬控制信號變得光滑,而且還使得所設計控制方法并不依賴于濾波前虛擬控制信號的可導性,僅僅在理論分析時用到.與現(xiàn)有方法[19?23]相比,本文的方法不僅降低了控制器的設計難度,而且還具有更為理想的控制效果.

注3.針對未知外界擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性,本文設計了模糊不確定觀測器對其估計補償.與傳統(tǒng)的模糊擾動觀測器僅僅對外部擾動估計補償不同,本文設計的模糊不確定觀測器不僅能有效地補償如風等外部擾動對四旋翼飛行器的影響,還可以對系統(tǒng)建模及姿態(tài)解算等產生的系統(tǒng)不確定性進行估計補償.

3 穩(wěn)定性分析

定理1.考慮滿足假設1的四旋翼飛行器軌跡跟蹤系統(tǒng)(1)、(4)、(7),虛擬控制信號(20)和 (33),控制輸入(26)、(43)、(48),模糊觀測器(21)、(34)、(44)所組成的閉環(huán)控制系統(tǒng),軌跡跟蹤誤差一致最終有界,且其他系統(tǒng)信號有界.

證明.結合式 (24)、(37)和 (47),對式(23)、(36)和(46)求導,可得:

其中,i=1,2,3.

最優(yōu)參數(shù)表示為

其中,M ?i和M ωi分別為?i和ωi的約束集.

則集總未知非線性表示為

其中,ζi(ωi)是重構誤差向量,且| ζi(ωi)|＜ζi,ζi＞0.令結合式(49)可得:

考慮如下Lyapunov函數(shù):

結合式 (15)、(16)、(31)、(41)和(52)可得式(53)對時間的導數(shù)為

將式(20)、(33)和(43)代入式(54)得:

由式(21)、(34)、(44)和式(51)可得:

將式(56)代入式(55)可得:

注意到以下等式成立:

結合式(22)、(35)和(45),可得:

其中,j=1,2,3.

將式(59)代入式(58)可得:

將式(60)代入式(55),可得:

結合式(17)、(19)、(28)、(32)、(38)和(42)得:

并且,由式(18)得:

因而可得:

其中,為連續(xù)有界函數(shù).

其中,為連續(xù)有界函數(shù).

由式(33)得:

結合式(62)第三個等式及上式得:

其中,為連續(xù)有界函數(shù).

由式(64)、(65)和(67)可得:

此外,由Young′s不等式可得:

將式(68)和(69)代入式(61),可得:

選取設計參數(shù)滿足如下不等式:

其中,α＞0為任意常數(shù).

則式(70)可整理為

結合式(24)和(71),可得:

顯然,V(t)是有界的.并且,結合式(24),可知軌跡跟蹤誤差11和其他誤差信號是一致最終有界的.實際上存在某一有限時間T＞0,使得:

相應地,軌跡跟蹤誤差11是一致最終有界的,即:

通過選擇合適的參數(shù),使得誤差上界任意小.

同樣地,其他誤差信號均有界.進而,結合誤差動態(tài)系統(tǒng)(15)、(16)、(17)、(31)、(32)、(41)、(42),低通濾波動態(tài)(19)、(28)、(38)和外部擾動估計(21)、(34)、(44)及(52)可得系統(tǒng)信號均有界.□

4 仿真研究

為驗證所提出控制方法的有效性,考慮具有外部擾動的四旋翼飛行器,其標稱參數(shù)如表1所示.

此外,考慮以下集總未知非線性:

其中,i=1,2,3.

表1 四旋翼飛行器主要參數(shù)Table 1 The main parameters of the quadrotor

給定期望軌跡為

其中,初值為:x(0)=2,y(0)= ?2,z(0)=2,ψ(0)=1.

控制器設計參數(shù)為:

圖2 空間軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking

圖3 x,y,z和ψ給定和實際狀態(tài)Fig.3 Desired and actual states x,y,z and ψ

圖4 跟蹤誤差Fig.4 The tracking errors

空間軌跡跟蹤效果如圖2所示,從圖2中不難看出,本文所提出基于模糊觀測器的四旋翼飛行器動態(tài)面控制策略,能夠很好地跟蹤期望軌跡.為了更好地說明本文提出控制算法的優(yōu)越性,本文在仿真過程中加入本文提出的基于模糊觀測器的動態(tài)面控制策略與當前應用廣泛的滑?？刂撇呗缘膶Ρ?x,y,z三個方向和偏航角ψ的軌跡跟蹤仿真結果如圖3所示,其中,FDSC代表本文提出的控制策略,SMC代表滑?？刂撇呗?由仿真圖可以看出,在初始位置和參考起始點不同且參考軌跡隨時間不斷變化的情況下,在本文提出的控制策略下,四旋翼飛行器仍能夠快速準確地跟蹤參考軌跡,其明顯能夠比滑模控制更加迅速地使四旋翼飛行器到達跟蹤軌跡且擁有更高的精度.圖4給出了跟蹤誤差的變化,從圖4中可以看出,在本文提出的控制策略下,仿真開始5秒以后,x,y,z三個方向的跟蹤誤差近乎為零,偏航角的跟蹤誤差約在2秒以后趨近零,而在滑?？刂撇呗韵?跟蹤誤差收斂速度明顯要慢很多,且收斂精度更低,由此可見,所提出的控制策略能夠更好地跟蹤參考軌跡,同時,由圖亦可看出,在飛行器到達參考軌跡的過程中,本文提出的控制策略下的跟蹤誤差變化較為平緩,并未出現(xiàn)抖動等不利于飛行器平穩(wěn)飛行的情形.圖5展示了仿真過程中控制輸入的變化情況,由于仿真研究中給定的初值與飛行器起始點相距較遠,此外還有外部擾動和系統(tǒng)不確定性的影響,因此,仿真圖中控制輸入曲線在初始會有較大的波動,當飛行器到達參考軌跡后,輸入總拉力圍繞飛行器重力不斷變化且均值接近重力,其他三個控制力矩均在較小范圍內變化.橫滾角和俯仰角的變化如圖6所示,由圖6不難發(fā)現(xiàn),飛行器跟蹤參考軌跡飛行過程中,姿態(tài)不斷調整變化,與四旋翼飛行器飛行機理一致.圖7給出角速率的變化情況.圖8展示了模糊觀測器對施加在x,y,z三個方向和偏航角ψ上未知非線性的估計情況,從圖8中我們可以看出,雖然施加的未知非線性隨時間不斷變化,但觀測器能很快并較精確地估計出其變化,驗證了所設計模糊觀測器的有效性和準確性,從而使控制器能及時準確地針對集總未知非線性給予控制輸入補償,增強控制器的魯棒性.由以上仿真結果可以看出,本文所提出的基于模糊觀測器的四旋翼飛行器動態(tài)面控制策略,對四旋翼飛行器有很好的控制效果.

圖5 控制輸入Fig.5 Control inputs

圖6 橫滾角φ和俯仰角θFig.6 Roll and pitch angles,i.e.,φ and θ

圖7 角速率p,q和rFig.7 Angular velocities p,q and r

5 結論

針對具有未知外界擾動和系統(tǒng)不確定性的四旋翼飛行器,本文提出了一種基于模糊不確定觀測器的動態(tài)面軌跡跟蹤控制方法.具體地,將四旋翼飛行器系統(tǒng)分解為位置、姿態(tài)和角速率三個動態(tài)子系統(tǒng),分別設計控制器,采用多環(huán)控制的方法解決了四旋翼飛行器欠驅動問題.采用動態(tài)面控制方法,設計一階低通濾波器,避免對虛擬控制變量求導,實現(xiàn)了迭代設計的解耦.進而,采用模糊理論設計模糊不確定觀測器,對由外部擾動和系統(tǒng)不確定性組成的集總未知非線性估計并補償,增強了控制系統(tǒng)的魯棒性.運用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了四旋翼飛行器閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤誤差及其他系統(tǒng)信號的有界性.最后,仿真研究驗證了所提出的控制方法的有效性和優(yōu)越性.

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