適用于時(shí)變不確定系統(tǒng)的并行模型自適應(yīng)估計(jì)*

熊 凱，魏春嶺，劉良棟

0 引 言

傳統(tǒng)卡爾曼濾波(KF)算法的性能會(huì)受到模型不確定性的影響，需要通過改善濾波器的設(shè)計(jì)提升狀態(tài)估計(jì)的魯棒性.很多帶有動(dòng)力學(xué)或測(cè)量特性不確定性的系統(tǒng)，都可以用帶有不確定性參數(shù)的模型來描述.利用擴(kuò)維卡爾曼濾波(AKF)算法將狀態(tài)變量和不確定性參數(shù)一起進(jìn)行估計(jì)，是削弱模型不確定性影響的有效途徑之一.在不確定性參數(shù)持續(xù)存在并且能夠得到準(zhǔn)確估計(jì)的情況下，應(yīng)用AKF代替?zhèn)鹘y(tǒng)KF有助于提升濾波性能.但是，對(duì)于很多工程系統(tǒng)，受環(huán)境因素和認(rèn)知水平的制約，模型不確定性的影響是潛在的，不確定性參數(shù)出現(xiàn)的時(shí)間及其幅度是事先未知的.在模型不確定性不出現(xiàn)的情況下，受不確定性參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確等因素的影響，AKF的性能反而不如傳統(tǒng)KF.基于不確定性模型設(shè)計(jì)的AKF在出現(xiàn)模型不確定性的情況下能夠體現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性，然而，在模型準(zhǔn)確的情況下，其性能往往是次優(yōu)的.很難設(shè)計(jì)一個(gè)單獨(dú)的濾波算法，使其在模型不確定性出現(xiàn)和不出現(xiàn)兩種情況下，都能達(dá)到理想的濾波性能.

利用多模型自適應(yīng)估計(jì)(MMAE)的理論方法，基于多個(gè)模型設(shè)計(jì)多個(gè)并行濾波器，可以提升濾波算法對(duì)于不同環(huán)境的適應(yīng)能力.多模型自適應(yīng)估計(jì)算法中包含一系列并行濾波器，每個(gè)并行濾波器基于模型集中的一個(gè)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，用于提供各自的狀態(tài)估計(jì)值，MMAE算法的輸出是各個(gè)并行濾波器估計(jì)值的加權(quán)和；對(duì)應(yīng)各個(gè)并行濾波器的權(quán)值根據(jù)相應(yīng)的測(cè)量新息計(jì)算得到，反映了模型集中的各個(gè)模型與實(shí)際系統(tǒng)的相似程度.MMAE算法自提出以來，受到了學(xué)術(shù)界的廣泛重視，并針對(duì)多個(gè)工程系統(tǒng)開展了應(yīng)用研究[1-4].在以往的工作中，多模型濾波算法已用于處理模型不確定性[5-8].但是，傳統(tǒng)的處理方法要求建立完備的模型集，通常要求模型集具有精細(xì)的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，以保障不確定性參數(shù)描述的準(zhǔn)確程度，并覆蓋參數(shù)的取值范圍；同時(shí)，又要求模型集的規(guī)模不能太大，盡量避免增大算法的計(jì)算量.上述兩種要求是相互矛盾的，給MMAE算法的空間應(yīng)用造成了限制.

本文主要貢獻(xiàn)在于：針對(duì)系統(tǒng)中潛在不確定性的影響，提出一種基于KF和AKF自適應(yīng)切換的PMAE算法，其中，KF算法基于正常情況下的精確模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，而AKF算法基于帶有不確定性參數(shù)的模型進(jìn)行設(shè)計(jì).PMAE算法可以根據(jù)當(dāng)前應(yīng)用環(huán)境的不同，充分發(fā)揮KF和AKF各自的優(yōu)勢(shì)，使得整個(gè)算法在模型不確定性存在和不存在兩種情況下，都能取得令人滿意的性能表現(xiàn).以空間目標(biāo)監(jiān)視為例，PMAE算法在應(yīng)對(duì)非合作目標(biāo)運(yùn)動(dòng)潛在的狀態(tài)突變時(shí)，能夠達(dá)到優(yōu)于傳統(tǒng)算法的估計(jì)精度；并且，實(shí)施該算法最少僅需要建立兩個(gè)并行濾波器，適用于星上計(jì)算資源受限的情況.

1 系統(tǒng)模型

考慮如下所示的時(shí)變不確定系統(tǒng)：

xk=Fkxk-1+DkΔk+wk

(1)

yk=Hkxk+Gkθk+vk

(2)

其中，k表示離散的時(shí)間，xk為狀態(tài)變量，yk為觀測(cè)量，wk表示系統(tǒng)噪聲，vk表示測(cè)量噪聲，F(xiàn)k為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Dk是未知輸入Δk的增益陣，Hk是觀測(cè)矩陣，Gk是測(cè)量偏差θk的增益陣，未知參數(shù)向量Δk和θk可視為模型不確定性.假定wk和vk為不相關(guān)的零均值白噪聲向量，其方差陣分別為Qk和Rk，假定式中的向量和矩陣具有適當(dāng)?shù)木S數(shù).

KF是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的傳統(tǒng)方法，對(duì)于精確模型(Δk=0,θk=0)，KF能夠利用一個(gè)時(shí)段上的觀測(cè)序列{y1,y2,…,yk}得到狀態(tài)變量xk的最優(yōu)估計(jì).KF算法的每次迭代計(jì)算包含兩個(gè)環(huán)節(jié)，即預(yù)測(cè)和更新.在預(yù)測(cè)環(huán)節(jié)，根據(jù)如式(1)所示的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)；在更新環(huán)節(jié)，先根據(jù)觀測(cè)方程(2)計(jì)算預(yù)測(cè)觀測(cè)量與實(shí)際觀測(cè)量之差，即測(cè)量新息，進(jìn)而，將測(cè)量新息與濾波增益的乘積用于修正狀態(tài)預(yù)測(cè)值，得到這一步的狀態(tài)變量估計(jì)值.在系統(tǒng)中不存在模型不確定性的情況下，利用KF能夠達(dá)到理想的估計(jì)精度.但是，存在模型不確定性的情況下，不確定性參數(shù)向量Δk和θk會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)和更新過程產(chǎn)生不利影響，從而影響到最終的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果.

2 濾波方程

MMAE算法可用于處理模型不確定性，傳統(tǒng)方法是構(gòu)建由多個(gè)模型組成的模型集，用于描述不確定性參數(shù)向量Δk和θk.對(duì)于通常的物理系統(tǒng)，不確定性參數(shù)向量的各個(gè)元素是有界的，因此，可在固定區(qū)間內(nèi)取M個(gè)樣本，形成多維網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作為不確定性參數(shù)向量的數(shù)學(xué)描述.接下來，建立M個(gè)并行濾波器，每個(gè)并行濾波器基于模型集中的一個(gè)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)率，使得最接近實(shí)際系統(tǒng)的模型在狀態(tài)估計(jì)中起主導(dǎo)作用，從而消除模型不確定性的影響，取得令人滿意的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果.顯然，模型集中網(wǎng)格的間距越小，對(duì)不確定性參數(shù)向量進(jìn)行描述的精細(xì)化程度就越高，同時(shí)算法的計(jì)算量也越大.對(duì)于高維系統(tǒng)，傳統(tǒng)MMAE算法的計(jì)算效率往往較低.

為了減小算法的計(jì)算量，本文提議僅利用兩個(gè)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，在第1個(gè)模型中，假定不確定參數(shù)向量Δk和θk為零；在第2個(gè)模型中，將Δk和θk擴(kuò)充為狀態(tài)，用于進(jìn)行估計(jì).第1個(gè)模型適用于系統(tǒng)中未出現(xiàn)模型不確定性的情況，而第2個(gè)模型適用于系統(tǒng)中出現(xiàn)模型不確定性的情況.相應(yīng)地，針對(duì)兩個(gè)模型分別設(shè)計(jì)KF和AKF算法，作為PMAE的兩個(gè)并行濾波器；通過兩個(gè)濾波器的并行解算和加權(quán)融合獲得總的狀態(tài)估計(jì).PMAE算法的實(shí)施步驟如下所示：

第1步：初始化

第2步：并行濾波

兩個(gè)并行濾波器分別對(duì)狀態(tài)變量估計(jì)值進(jìn)行預(yù)測(cè)和更新，第1個(gè)并行濾波器基于KF進(jìn)行迭代計(jì)算，濾波方程為

(3)

(4)

第2個(gè)并行濾波器基于AKF進(jìn)行迭代計(jì)算，濾波方程為

(5)

(6)

橋隧施工及養(yǎng)護(hù)課程是鐵道工程技術(shù)專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，該課程要求學(xué)生掌握橋涵隧構(gòu)造、施工方法、養(yǎng)護(hù)維修知識(shí)。我國大多數(shù)院校，在這門課程教學(xué)中，由于教師力量和實(shí)訓(xùn)室建設(shè)的局限，理論講授比重大，很難做到“教學(xué)做”相結(jié)合，教學(xué)過程枯燥。教材內(nèi)容相對(duì)落后。這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)課程的參與度低，學(xué)生興趣不高，教學(xué)效果一般。

第3步：權(quán)值更新

各個(gè)并行濾波器的權(quán)值根據(jù)測(cè)量新息進(jìn)行計(jì)算，并進(jìn)行歸一化，該過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7)

(8)

第4步：加權(quán)融合

PMAE算法總的狀態(tài)估計(jì)值是各個(gè)并行濾波器狀態(tài)估計(jì)值的加權(quán)和，即

(9)

3 空間目標(biāo)監(jiān)視

空間目標(biāo)監(jiān)視系統(tǒng)可用于在軌服務(wù)、碎片治理和威脅預(yù)警等，需要解決的基本問題是確定空間目標(biāo)的位置和速度等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9-10].對(duì)于遠(yuǎn)距離非合作目標(biāo)，可通過安裝在觀測(cè)衛(wèi)星上的照相觀測(cè)星相機(jī)提供空間目標(biāo)的視線(LOS)矢量測(cè)量信息，并通過軌道動(dòng)力學(xué)模型對(duì)空間目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè).對(duì)空間目標(biāo)實(shí)施雙LOS矢量觀測(cè)，能夠增強(qiáng)觀測(cè)量對(duì)空間目標(biāo)位置的幾何約束，增強(qiáng)監(jiān)視系統(tǒng)性能.應(yīng)當(dāng)說明，在觀測(cè)期間，非合作目標(biāo)可能會(huì)實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)，對(duì)于觀測(cè)衛(wèi)星而言，目標(biāo)機(jī)動(dòng)的開始時(shí)刻、持續(xù)時(shí)間和幅度大小均是未知的.

(10)

(11)

其中，μ是地心引力常數(shù)，p(rt)用于描述除地球中心引力場(chǎng)之外，其他軌道攝動(dòng)對(duì)空間目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的影響，通常包括地球形狀攝動(dòng)、日-月引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和太陽光壓攝動(dòng)等，ut是空間目標(biāo)發(fā)動(dòng)機(jī)推力引起的未知加速度，在此建模為不確定性參數(shù)向量的形式.

測(cè)量模型可寫為

(12)

其中，ro1和ro2分別表示觀測(cè)衛(wèi)星中主星和輔星的位置矢量，假定觀測(cè)衛(wèi)星的位置矢量是精確已知的.tk表示根據(jù)主觀測(cè)衛(wèi)星星上時(shí)鐘得到的觀測(cè)時(shí)間，Δtjk(j=1,2)表示光從空間目標(biāo)傳播到觀測(cè)衛(wèi)星所需的時(shí)間.考慮到空間目標(biāo)監(jiān)視系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)模型都是非線性的，可以采用非線性系統(tǒng)線性化的技術(shù)設(shè)計(jì)PMAE算法中的各個(gè)并行濾波器.

4 仿真分析

空間目標(biāo)和觀測(cè)衛(wèi)星的真實(shí)軌道數(shù)據(jù)通過高精度軌道仿真器計(jì)算得到，假定它們均在高度約1 000 km、傾角約63°的近圓軌道上運(yùn)行，星間距離在100～200 km范圍內(nèi)變化.假定觀測(cè)衛(wèi)星的位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差為10 m，安裝在觀測(cè)衛(wèi)星上的照相觀測(cè)星相機(jī)每秒采樣1次，空間目標(biāo)視線方向測(cè)量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為5″.假定空間目標(biāo)的重量為1 000 kg，安裝在空間目標(biāo)上的星載發(fā)動(dòng)機(jī)推力標(biāo)稱值為100 mN，空間目標(biāo)軌道機(jī)動(dòng)的時(shí)間和幅度對(duì)于觀測(cè)衛(wèi)星而言是事先未知的.

基于給定的初始值，通過高精度軌道外推得到標(biāo)稱軌道數(shù)據(jù)，并根據(jù)觀測(cè)模型計(jì)算得到觀測(cè)序列；利用濾波算法對(duì)仿真模擬得到的觀測(cè)序列進(jìn)行處理，通過迭代計(jì)算得到狀態(tài)變量的估計(jì)值.將狀態(tài)變量的估計(jì)值與標(biāo)稱數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，得到空間目標(biāo)的位置估計(jì)誤差曲線及其統(tǒng)計(jì)值.

利用不同濾波算法處理同一組測(cè)量數(shù)據(jù)，通過數(shù)學(xué)仿真對(duì)比了KF、AK、MMAE和PMAE這4種算法的性能.在KF算法的設(shè)計(jì)過程中，未考慮空間目標(biāo)推力加速度ut的影響.在AKF算法中，將不確定性參數(shù)矢量ut擴(kuò)充為狀態(tài)，與空間目標(biāo)的位置矢量和速度矢量一起進(jìn)行估計(jì).顯然，KF適用于目標(biāo)未進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的情況，而AKF適用于目標(biāo)進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的情況.基于文獻(xiàn)[11]中的描述進(jìn)行MMAE算法的設(shè)計(jì)，MMAE基于兩個(gè)并行KF進(jìn)行，在第1個(gè)KF中，系統(tǒng)噪聲方差陣取為標(biāo)稱值，在第2個(gè)KF中，人為將系統(tǒng)噪聲方差陣的標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大100倍.在PMAE算法中，第1個(gè)并行濾波器基于KF進(jìn)行設(shè)計(jì)，第2個(gè)并行濾波器基于AKF進(jìn)行設(shè)計(jì).

在仿真過程中，空間目標(biāo)執(zhí)行軌道機(jī)動(dòng)的情況下，利用KF和PMAE算法得到的位置估計(jì)誤差曲線分別如圖1～2所示.

圖1 存在軌道機(jī)動(dòng)情況下的KF位置估計(jì)誤差曲線Fig.1 Estimation error of KF in the presence of maneuver

圖2 存在軌道機(jī)動(dòng)情況下的PMAE 位置估計(jì)誤差曲線Fig.2 Estimation error of PMAE in the presence of maneuver

為了便于進(jìn)行對(duì)比分析，將KF、AKF、MMAE和PMAE 4種算法的位置估計(jì)誤差均方根歸納在表1中.存在模型不確定性的情況下，PMAE算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)空間目標(biāo)未知加速度的補(bǔ)償，其性能優(yōu)于KF；基于方差放大技術(shù)設(shè)計(jì)的MMAE算法在方差陣設(shè)計(jì)滿足應(yīng)用要求的情況下，也具備部分削弱空間目標(biāo)軌道機(jī)動(dòng)影響的能力.

空間目標(biāo)未執(zhí)行軌道機(jī)動(dòng)的情況下，PMAE算法的位置估計(jì)誤差曲線如圖3所示，相應(yīng)的權(quán)值收斂曲線如圖4所示.正如所期望的，對(duì)應(yīng)KF的并行濾波器的權(quán)值收斂于1，對(duì)應(yīng)AKF的并行濾波器的權(quán)值收斂于0.因此，KF在PMAE估計(jì)中起主導(dǎo)作用.

圖3 不存在軌道機(jī)動(dòng)情況下的PMAE 位置估計(jì)誤差曲線Fig.3 Estimation error of PMAE in the absence of maneuver

圖4 不存在軌道機(jī)動(dòng)情況下的PMAE權(quán)值收斂Fig.4 Weight convergence for PMAE in the absence of maneuver

受敏感器隨機(jī)誤差等因素的影響，此時(shí)AKF中對(duì)ut的估計(jì)不嚴(yán)格為0，相當(dāng)于在軌道外推過程中引入了誤差，對(duì)位置估計(jì)產(chǎn)生了不利影響.根據(jù)表1易知，PMAE算法的估計(jì)精度優(yōu)于AKF，KF、MMAE和PMAE的精度水平近似一致.PMAE算法中不同仿真條件下的良好表現(xiàn)，使其成為空間目標(biāo)監(jiān)視系統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)的一種理想備選方案.

表1 空間目標(biāo)監(jiān)視不同濾波算法性能比較Tab.1 Comparison of filtering performance for space surveillance

5 結(jié) 論

本文提出一種基于KF和AKF相結(jié)合的并行模型自適應(yīng)估計(jì)算法，其中，KF算法適用于模型精確的情況，而AKF算法適用于模型中存在不確定性參數(shù)的情況.基于上述設(shè)計(jì)，PMAE算法在系統(tǒng)中存在模型不確定性和不存在模型不確定性兩種情況下，均能自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)臑V波算法進(jìn)行處理，從而取得理想的濾波性能.通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了算法的有效性，仿真結(jié)果表明，所提算法能夠根據(jù)應(yīng)用環(huán)境的不同選擇不同的并行濾波器占主導(dǎo)地位，達(dá)到了預(yù)期的設(shè)計(jì)效果.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] GAO C, DUAN G.Fault diagnosis and fault tolerant control for nonlinear satellite attitude control systems[J].Aerospace Science and Technology, 2014,33(1):9-15.

[2] YU N J, RYOO C K.Missile guidance law estimation using modified interactive multiple model filter[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014,37(2):484-496.

[3] YIN Z G,ZHAO C,ZHONG Y R,et al.Research on robust performance of speed-sensorless vector control for the induction motor using an inferfacing multiple-model extended Kalman filter[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2014,29(6):3011-3019.

[4] XIONG K, WEI C L, LIU L D.Robust multiple model adaptive estimation for spacecraft autonomous navigation[J].Aerospace Science and Technology,2015,42:249-258.

[5] ALSUWAIDAN B N, CRASSIDIS J L, CHENG Y.Generalized multiple-model adaptive estimation using an autocorrelation approach[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011,47(3):2138-2152.

[6] HAMMES U, ZOUBIR A M.Robust MT tracking based on M-estimation and interacting multiple model algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2011,59(7):3398-3409.

[7] LI W,JIA Y,DU J,et al.Distributed multiple-model estimation for simultaneous lo-calization and tracking with NLOS mitigation[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2013,62(6):2824-2830.

[8] LAN J,LI X R.Equivalent-model augmentation for variable-structure multiple-model estimation[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2013,49(4):2615-2630.

[9] PSIAKI M L.Absolute orbit and gravity determination using relative position measurements between two satellites[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2011,34(5):1285-1297.

[10] CHEN T, XU S.Double line-of-sight measuring relative navigation for spacecraft autonomous rendezvous[J].Acta Astronautica, 2010, 67:122-134.

[11] XIONG K,WEI C L.Multiple model adaptive estimator for nonlinear system with unknown disturbance[J].Asian Journal of Control,2015,17(6):2252-2262.