不嚴(yán)格平行的平板電容器電容的計(jì)算

王奕潤(rùn) 胡珍妮 任文輝

摘要：平行板電容器電容的計(jì)算是大家熟知的，但實(shí)際上兩板都不會(huì)嚴(yán)格平行，本文給出三種計(jì)算不嚴(yán)格平行的平板電容器電容的計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：電容器；串聯(lián)；并聯(lián)

本文對(duì)圖1所示的電容器，兩極板都是邊長(zhǎng)為a的正方形金屬平板，兩板不嚴(yán)格平行，最小間距為d，夾角為θ，當(dāng)θ<

方法1：利用電容器并聯(lián)公式計(jì)算

如圖2所示，把電容器看作大量與圖面垂直的

細(xì)狹條的電容器元并聯(lián)而成的，其中任意電容器

元的電容（注意：θ很小，tanθ≠θ）

dC=ε0dsd'=ε0adxd+xθ

總電容C=∫dC=ε0aθln（1+aθd）

由于ad是常數(shù)，θ很小，則aθd<<1，上式按

麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法2：利用電容器串聯(lián)公式計(jì)算

如圖3所示，加上一塊相同的極板，極板1

和極板2構(gòu)成電容為C的電容器，極板2和

極板3構(gòu)成電為C的電容器.極板1和極板3

完全平行，構(gòu)成電容為C′的電容器，由平行板電

容器計(jì)算公式得C'=ε0a22d+aθ，C′是由兩個(gè)電

容為C的電容器串聯(lián)而成，根據(jù)電容器串聯(lián)的

計(jì)算公式，又aθ2d<<1，用麥克勞林級(jí)數(shù)

展開(kāi)可得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法3：利用電容器定義

設(shè)電容器帶電量Q，兩極板電勢(shì)差為

U，兩極板延長(zhǎng)面交線O軸，如圖4所示，

由靜電場(chǎng)回路定律可知，兩極板近端電場(chǎng)線比遠(yuǎn)端密，在離O軸r處場(chǎng)強(qiáng)E=Urθ，則電荷密度為σ=ε0E=ε0Urθ，兩極板電量Q=∫σds=∫r0+ar0ε0Urθ=ε0aUθln（1+aθd）aθd<<1，按麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，根據(jù)電容定義式得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

三種解法結(jié)果相同。若極板嚴(yán)格平行，則θ=0，C=ε0a2d。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，1978：285.

[2]嚴(yán)導(dǎo)淦，王曉鷗.大學(xué)物理學(xué).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012：184.

作者簡(jiǎn)介：王奕潤(rùn)（1970），女，甘肅天水人，教育碩士，中級(jí)，研究方向：物理與高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究，新工科教學(xué)研究。