幾何教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的一些思考和做法

薛肖峰

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，平面幾何教學(xué)是一個(gè)非常重要的組成部分。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生不僅要認(rèn)識(shí)一些常見的幾何圖形，學(xué)會(huì)一些基本的幾何證明方法，同時(shí)還要提高自己的邏輯思維能力。本文將結(jié)合一些典型案例，從不同的角度、結(jié)合不同的要求，闡述在幾何教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)、幾何證明、邏輯思維

邏輯思維（Logical thinking），是人們在認(rèn)識(shí)事物的過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識(shí)過程，又稱抽象思維。它是作為對認(rèn)知者的思維及其結(jié)構(gòu)以及起作用的規(guī)律的分析而產(chǎn)生和發(fā)展起來的。只有經(jīng)過邏輯思維，人們對事物的認(rèn)識(shí)才能達(dá)到對具體對象本質(zhì)規(guī)定的把握，進(jìn)而認(rèn)識(shí)客觀世界。它是人的認(rèn)識(shí)的高級階段，即理性認(rèn)識(shí)階段。

同時(shí)在《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，學(xué)生需要逐步形成邏輯推理能力，知道進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的重要性，掌握演繹推理的基本規(guī)則和方法；能正確而簡明地表述推理過程，合理解釋推理的正確性。懂得從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，能有條理地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)。

這就要求我們初中階段的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不僅要重視基本知識(shí)和基本技能的教學(xué)，更加要注重培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力，要引導(dǎo)學(xué)生樂于思維，善于思維，即學(xué)會(huì)如何思維、如何正確地思維、如何更好地思維，從而實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目標(biāo)。

下面我來談?wù)勎以趲缀谓虒W(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的思考和做法：

一、在概念發(fā)生和發(fā)展過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，是從最基本的幾何圖形和概念入手，學(xué)習(xí)一些簡單幾何圖形的性質(zhì)和判定，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)學(xué)到一些新的概念，新的概念的產(chǎn)生，一般也有一個(gè)邏輯鏈。對于這些概念的準(zhǔn)確理解，是學(xué)生邏輯思維能力形成過程中最基本的環(huán)節(jié)，我認(rèn)為只有邏輯關(guān)系清楚了，才能進(jìn)行邏輯思維。為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，提高他們的創(chuàng)新意識(shí)，我在平時(shí)的教學(xué)中特別重視一些基本概念的發(fā)生和發(fā)展的過程，重視概念和概念之間的關(guān)聯(lián)性、邏輯鏈，促進(jìn)學(xué)生的理解。舉例說明如下：

舉例1： 在研究直線型圖形中，我們往往是從邊、角和對角線三個(gè)方面展開。在特殊的平行四邊形“矩形”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我用幾何畫板課件動(dòng)態(tài)演示了一個(gè)平行四邊形是如何轉(zhuǎn)變成一個(gè)矩形的過程，由于“邊”上沒有變化，因此引導(dǎo)學(xué)生從“角”和“對角線”這兩個(gè)不同的角度去觀察平行四邊形到矩形的變化過程，從而總結(jié)出判定一個(gè)四邊形是矩形的不同的判定方法，讓學(xué)生知道平行四邊形和矩形之間的邏輯關(guān)系，以及判定方法。

舉例2：對于黃金三角形和比例中項(xiàng)的關(guān)系。我們知道，在比例中，如果兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，那么這兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)叫做比例中項(xiàng)。而如果一條線段AB被點(diǎn)P分成長短不一的兩段（如AP>PB），其中當(dāng)AP是AB和PB的比例中項(xiàng)時(shí)，那么，此時(shí)點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)。如果一個(gè)等腰三角形的底邊和腰或腰和底邊之比是，那么我們把這樣的三角形稱之為“黃金三角形”，即所謂的“黃金三角形”就是腰長和底邊的長之間存在著比例中項(xiàng)的關(guān)系。而由五個(gè)全等的黃金三角形加上中間一個(gè)正五邊形，就組成五星紅旗中五角星的圖案，如圖所示。我通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，更加有助于學(xué)生對黃金分割這個(gè)概念的理解和掌握，從而能進(jìn)一步進(jìn)行邏輯思維。

二、在概念的辨析過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

我發(fā)現(xiàn)在幾何圖形中有一些基本概念很容易混淆，所以在這個(gè)時(shí)候更加需要把這些概念的內(nèi)涵和外延講清楚，通過辨析讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握各個(gè)概念的基本內(nèi)容，有利于對這些概念的靈活使用。為了達(dá)到這個(gè)目的，當(dāng)出現(xiàn)一些和以前學(xué)過的概念相類似的概念教學(xué)的時(shí)候，我會(huì)把這些類似的概念放在一起復(fù)習(xí)講解，加強(qiáng)學(xué)生對于這些基本概念的理解和掌握，正確理解它們之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

舉例3：當(dāng)學(xué)生學(xué)到三角形的中位線的這個(gè)課時(shí)的時(shí)候，我會(huì)把三角形的中線、三角形邊的中垂線和三角形的中位線這三條線的概念進(jìn)行梳理，讓學(xué)生分析他們的異同點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解。如圖所示：三角形的中線指的是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊中點(diǎn)的連線，三角形的中位線指的是三角形兩邊中點(diǎn)的連線，三角形一邊的中垂線僅僅指的是線段的中垂線，且它是一條直線，這些中垂線不一定經(jīng)過這些邊所對的頂點(diǎn)。并且我還會(huì)為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)埋下伏筆，給他們留幾個(gè)問題思考，例如①三角形三條中線的交點(diǎn)G到中點(diǎn)的距離和到所對頂點(diǎn)的距離之間的關(guān)系；②三角形三條中位線圍成的小三角形的周長、面積和原三角形的周長、面積之間的關(guān)系；③三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離的關(guān)系。這三個(gè)問題為學(xué)生以后學(xué)習(xí)三角形的重心定理、相似三角形的性質(zhì)定理以及三角形的外心做了很好的鋪墊。進(jìn)一步理清有關(guān)概念，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。

三、在幾何定理的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

學(xué)習(xí)幾何證明，最主要的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，但這一任務(wù)也相當(dāng)艱巨，因?yàn)檫@對學(xué)生來講是有很大的難度，所以一直是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何過程中最主要的難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何證明的過程經(jīng)常會(huì)“所見即所得”，上下文之間沒有明確的邏輯關(guān)系，或者條件缺失。我發(fā)現(xiàn)，這個(gè)現(xiàn)象主要是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)一些幾何定理的時(shí)候沒有分清楚定理的題設(shè)和結(jié)論，所以導(dǎo)致書寫的時(shí)候因果關(guān)系不完整，甚至因果關(guān)系顛倒。為了盡可能避免這種情況發(fā)生，我會(huì)在定理教學(xué)的過程中，特別注重對于定理的三種不同表達(dá)形式的傳授，即“文字語言”、“圖形語言”和“符號(hào)語言”的傳授。

舉例4：在垂徑定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我不僅要求學(xué)生注重這個(gè)定理的文字語言表達(dá)，即“垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對的兩條弧”，著重強(qiáng)調(diào)“垂直于弦的直徑”是題設(shè)，“平分弦并且平分弦所對的兩條弧”是結(jié)論，尤其是注意題設(shè)中實(shí)際上包含了兩個(gè)條件，“直徑”和“垂直于弦”，并且配合圖形，將符號(hào)語言書寫格式完整的展示給學(xué)生看。

而且，在這個(gè)定理及其推論的應(yīng)用過程中，我也會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)必須準(zhǔn)備2個(gè)條件作為已知的重要性。并且還要特別提醒學(xué)生，垂徑定理的其中一個(gè)推論“平分弦的直徑垂直弦并且平分弦所對的弧”當(dāng)中，這條弦不能是直徑，從而體現(xiàn)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。只有這樣嚴(yán)格的要求，學(xué)生才能學(xué)會(huì)正確的邏輯思維方式。

四、在幾何證明的訓(xùn)練過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

在基礎(chǔ)知識(shí)落實(shí)后，為達(dá)到學(xué)習(xí)幾何最主要的目的，我們要學(xué)習(xí)利用這些基礎(chǔ)知識(shí)證明一些幾何問題，在此時(shí)，我特別關(guān)注思維解決問題的方式：1.從條件出發(fā)，推得結(jié)論；2.從結(jié)論出發(fā)，探尋條件；3.兩種方式相結(jié)合，獲得結(jié)論。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從這三個(gè)方面思考問題，因?yàn)檫@也是我們進(jìn)行邏輯思維的一般方法。而此時(shí)，數(shù)學(xué)思想的滲透是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力很好的方法。例如：

已知：如圖，BE、BF分別是與它的鄰補(bǔ)角的平分線，AE⊥BE，垂足為點(diǎn)E，AF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M和N.

對于這個(gè)問題，根據(jù)已知條件，可以得到四邊形AEBF是矩形；而要證得這一結(jié)論，可考慮證明MN是△ABC的中位線，即M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)。這可以由矩形的對角線互相平分證得M是邊AB的中點(diǎn)，最后再證MN∥BC，得到N是邊AC的中點(diǎn)。而證平行，可考慮把問題轉(zhuǎn)化為證∠MEB=∠EBC，也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化歸思想在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的作用。

另外我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決各類幾何證明題的過程中不會(huì)“觸類旁通”，不會(huì)“舉一反三”，為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，充分挖掘例題的功能，解決類似的現(xiàn)象，我采取了以下三種策略。

1. 一題多解

在幾何教學(xué)的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些問題，它們的解題方法不唯一，學(xué)生可以從不同的角度思考和探索，從而得到不同的解題方法。這就需要我們教師經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理解決常見問題的基本方法，那么學(xué)生才能會(huì)想到解決問題的不同方法，然后通過學(xué)生和學(xué)生互相交流的方法，促進(jìn)他們邏輯思維能力的提高。

例如在下述這個(gè)問題中要證明兩直線平行，我啟發(fā)學(xué)生從不同的維度來思考證明兩直線平行的證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

可以看到，同樣是證明平行，對于不同學(xué)段的學(xué)生來說，都有各自不同的方法可以證明，體現(xiàn)了幾何證明中“一題多解”的特點(diǎn)。如果學(xué)生能夠把這幾種方法分析清楚，那么對于學(xué)生來說，以后再碰到證明兩直線平行的問題，他們就可以從不同的角度去思考了。對于提高學(xué)生的邏輯思維能力來說，起到了非常重要的拓展思維的作用。

方法四：利用面積證明，即只要證明△ABD和△ABC的面積相等，我們就比較容易證得CD∥AB。

2. 多題一解

在有些問題中，雖然題目的已知條件不同、圖形也不同，但是解決這些問題的方法確實(shí)一致的。學(xué)生只要通過歸納總結(jié)，就可以得到一個(gè)行之有效的方法來解決這一類問題，達(dá)到“舉一反三”的效果，進(jìn)一步提高自己的邏輯思維能力。

可以看到，在這些不同問題的背后，實(shí)際上隱藏著相同方式的解法。雖然題目的圖形和條件略有不同，解題要求也略有不同，但是分析問題的方法和思維的角度基本是一直的。學(xué)生只要掌握了正確的思維方法，就可以準(zhǔn)確的解決這一類問題。

3. 一題多變

有些問題及其圖形

例如在相似三角形的判定和性質(zhì)的教學(xué)過程中，我做了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力：

舉例10：如圖1，先從三個(gè)等角是直角開始，說明；然后將這三個(gè)等角改為非直角，如圖2，此時(shí)仍然成立；這就是從特殊到一般的過程，在這個(gè)過程中，這對三角形保持相似；然后再改變點(diǎn)D的位置，使點(diǎn)D位于線段BC的中點(diǎn)，并聯(lián)結(jié)EF，如圖3，此時(shí)不僅原來兩個(gè)三角形仍然相似，中間的和也相似。

這個(gè)過程，體現(xiàn)了從特殊到一般，再從一般到特殊的變化，在這個(gè)變化過程中，有不變的關(guān)系，也有改變的內(nèi)容。學(xué)生可以從中體會(huì)到幾何圖形變化中的奧妙，對于提高學(xué)生的邏輯思維能力起到積極的作用。

總之，學(xué)生從入門的幾何概念幾何圖形幾何定理開始不斷地學(xué)習(xí)，一直到較復(fù)雜的邏輯推理論證，這是一個(gè)個(gè)漫長的過程。在這個(gè)漫長的過程中，老師要嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍地給學(xué)生做好示范，還要給學(xué)生創(chuàng)造自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，既要“腳踏實(shí)地”也要“異想天開”，要求學(xué)生遵守邏輯規(guī)則，正確運(yùn)用各種定理和方法。只有這樣，才能完成培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力的任務(wù)。