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    時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究

    2018-05-14 09:36:13趙永馳仲福建
    今日財(cái)富 2018年34期
    關(guān)鍵詞:性能指標(biāo)時(shí)滯子系統(tǒng)

    趙永馳?仲福建

    本文研究時(shí)滯線性切換系統(tǒng)滿足 性能條件。推導(dǎo)了當(dāng) 時(shí),給定的條件保證時(shí)滯線性切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;當(dāng) 時(shí),給定的條件滿足時(shí)滯線性切換系統(tǒng)滿足零初始條件下 性能。最后給出了給出了仿真例子,表明了時(shí)滯線性切換系統(tǒng)給出的條件是合理的,同時(shí)驗(yàn)證了時(shí)滯對(duì)切換系統(tǒng)的影響。

    在工業(yè)控制系統(tǒng)中,因測(cè)量、以及采樣,而后傳輸?shù)榷嘀匾蛩爻霈F(xiàn)時(shí)滯。一方面,時(shí)滯存在會(huì)影響控制系統(tǒng)性能。另一方面,具有滯切換系統(tǒng)的有關(guān)研究也面臨巨大挑戰(zhàn)和困難,值得繼續(xù)深入探討。時(shí)滯問(wèn)題造成不利系統(tǒng)特性,例如導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。故時(shí)滯切換系統(tǒng)在什么情況下是漸近穩(wěn)定的就有研究的必要。近年來(lái)有許多人研究切換系統(tǒng),研究的成果也很多[1-4],如確保任意切換穩(wěn)定所利用的共同Lyapunov函數(shù)方法,多Lyapunov函數(shù)方法[2,3],平均駐留時(shí)間方法[4,5]等,也對(duì)各個(gè)方法進(jìn)行了總結(jié)與歸納[6,7],提出了切換系統(tǒng)發(fā)展的新方向。Zmaes提出的控制理論使系統(tǒng)具有魯棒性條件,使魯棒控制得到了發(fā)展。當(dāng)確保切換系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),也將干擾對(duì)系統(tǒng)的影響抑制在可控水平之下,利用切換Lyapunov函數(shù)方法和切換與脈沖奇異系統(tǒng)的解,其控制問(wèn)題被推廣到H無(wú)窮控制理論,同時(shí)在延遲系統(tǒng)問(wèn)題方面也有研究,例如研究了具有H無(wú)窮保性能的網(wǎng)絡(luò)切換時(shí)延系統(tǒng), 設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制在擾動(dòng)衰減水平可控下以確保閉環(huán)時(shí)延系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。*表示對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)部分。

    一、 問(wèn)題描述

    考慮線性時(shí)間系統(tǒng):

    (1)

    其中是狀態(tài)向量,是系統(tǒng)被調(diào)輸出,是一個(gè)q維擾動(dòng)輸入,屬于。是滯后時(shí)間,滿足和;,;,,,,是分段常數(shù)函數(shù)。

    在本文中研究時(shí)滯切換系統(tǒng)滿足問(wèn)題,確保如下條件:

    (1)當(dāng)時(shí),時(shí)滯切換系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的;

    (2)令擾動(dòng),在零初始條件下,有標(biāo)量,信號(hào)z偏差符合如下要求:

    (2)

    二、時(shí)滯切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

    在該節(jié)中針對(duì)時(shí)滯切換系統(tǒng)(1),研究時(shí)滯切換系統(tǒng)要符合 條件問(wèn)題。

    定理1 針對(duì)時(shí)滯切換系統(tǒng)(1),若存在矩陣和,,,,,,使得下面線性矩陣不等式成立

    (3)

    并且正定矩陣有如下關(guān)系:

    (4)

    平均駐留時(shí)間滿足如下條件:

    (5)

    故時(shí)滯切換系統(tǒng)(1)符合性能指標(biāo)。

    證明:假定第i個(gè)子系統(tǒng)在區(qū)間運(yùn)行,且定義如下李雅普諾夫Krasovskii函數(shù):

    (6)

    首先證明當(dāng)時(shí),時(shí)滯切換系統(tǒng)符合條件(3)的漸近穩(wěn)定。

    導(dǎo)數(shù),根據(jù)時(shí)滯切換系統(tǒng)的軌跡,能得到:(7)

    求的導(dǎo)數(shù):

    (8)

    依據(jù)(7)-(8)推導(dǎo):

    (9)

    根據(jù)公式(3),刪除系統(tǒng)被調(diào)輸出及外部擾動(dòng)部分,得到:

    (10)

    把(10)代入(9),可以得到:

    (11)

    讓表示系統(tǒng)切換時(shí)間左極限,表示在切換之前瞬間,通過(guò)(4)和(11),獲得切換系統(tǒng)從第i子系統(tǒng)切換到第j個(gè)子系統(tǒng)情形,推導(dǎo)如下:

    (12)

    依據(jù)切換系統(tǒng)切換規(guī)則,當(dāng),有如下推導(dǎo):

    (13)

    又根據(jù)切換系統(tǒng)的切換序列有如下推導(dǎo):

    (14)

    又由(5)有如下推導(dǎo):

    (15)

    令,則根據(jù)(15)和(5)兩式,推導(dǎo)出如下:

    (16)

    其中是常數(shù)

    從上看出,隨時(shí)間t逐漸減小,滿足條件(3)、(4)和(5)的時(shí)滯切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

    下面考慮當(dāng)時(shí),時(shí)滯切換系統(tǒng)具有 性能指標(biāo),令:

    (17)

    從零初始條件開始,可以獲得如下:

    (18)

    繼而有如下推導(dǎo):

    (19)

    又由可以得到:

    (20)

    其中:

    綜合(9)和(20)兩式,可以推導(dǎo)如下:

    (21)

    把(21)代入(19),可以得到:

    (22)

    公式(3)利用Schur補(bǔ)性質(zhì)得到:

    (23)

    把(23)代入(22),可以得到如下推導(dǎo):

    (24)

    把(24)代入(18),可以得到如下推導(dǎo):

    (25)

    把(25)代入(17),可以得到如下推導(dǎo):

    因此當(dāng)時(shí),時(shí)滯切換系統(tǒng)具有 性能指標(biāo),定理得到證明。

    假如,時(shí)滯切換系統(tǒng)具有共同的Lyapunov函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)滯切換系統(tǒng)的各子系統(tǒng)均是穩(wěn)定的,則在任意切換信號(hào)下時(shí)滯切換系統(tǒng)是指數(shù)漸近穩(wěn)定。

    三、仿真分析

    例1.考慮線性時(shí)滯切換系統(tǒng)(1)有2個(gè)子系統(tǒng),其中參數(shù)分別為:

    ,,,,,,,,,,,,令,,, w(t)=( sin(t) sin(t) sin(t))T,。

    根據(jù)定理1,求出和; 和。

    切換規(guī)則是單數(shù)秒激活第一個(gè)子系統(tǒng),雙數(shù)秒激活第二子系統(tǒng),第一、二系統(tǒng)時(shí)滯依切換規(guī)則依次為=0.5,0.7,1.2,1.5,2,初值為(1;0.8;0.9),得到誤差切換系統(tǒng)的仿真圖形1所示。圖1體現(xiàn)了切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,總體表明切換系統(tǒng)滿足 性能指標(biāo),表明了定理1的有效性。

    又當(dāng)=2,3,4,5,得到如圖2仿真圖形??煽闯?,時(shí)滯時(shí)間的增加,時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性收斂有所放緩,表明了時(shí)滯對(duì)切換系統(tǒng)的影響。

    四、結(jié)語(yǔ)

    本文對(duì)時(shí)滯線性切換系統(tǒng)進(jìn)行研究,給出的條件保證了當(dāng) 時(shí),系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;當(dāng) 時(shí),時(shí)滯切換系統(tǒng)滿足 性能。最后給出了仿真案例表明了系統(tǒng)給出條件有效性。同時(shí)從給出的圖形可以看出:時(shí)滯時(shí)間的增大,導(dǎo)致系統(tǒng)收斂到零有所延緩。 (作者單位為綿陽(yáng)師范學(xué)院信息工程學(xué)院)

    基金項(xiàng)目:四川省教育廳基金 (No.17ZB0212,16ZB0312)和綿陽(yáng)師范學(xué)院基金(No.QN-2016-A05)。

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