一道高中數(shù)學(xué)建模題的實(shí)踐與思考

摘 要：建模素養(yǎng)是中學(xué)生六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)離不開(kāi)學(xué)生的實(shí)踐。本文以一道數(shù)學(xué)建模題為例，探討如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)建?；顒?dòng)，肯定了建?；顒?dòng)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；攝像頭安裝；三視圖

數(shù)學(xué)模型將課堂上的數(shù)學(xué)知識(shí)與日常工作與生活聯(lián)系起來(lái)。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，能夠啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，增加學(xué)生之間的交流，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1 商店攝像頭安裝問(wèn)題

商店老板為預(yù)防盜竊，決定在房頂安裝攝像頭。攝像頭可以360°旋轉(zhuǎn)。商店平面圖如圖1所示，店老板將攝像頭安在了角落P點(diǎn)。

（1）圖1中標(biāo)出了店里10個(gè)人的位置，記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，J，K。問(wèn)這10人是否全部在監(jiān)控范圍內(nèi)？說(shuō)明你是如何得到結(jié)論的。

（2）店老板說(shuō)商店15%的區(qū)域P點(diǎn)的攝像頭是監(jiān)控不到的，證明此說(shuō)法。

（3）為使攝像頭監(jiān)控范圍最大，應(yīng)把攝像頭安裝在什么位置？說(shuō)明你是如何得到該結(jié)論的。

2 解題思路

（1）從點(diǎn)P引出直線代表攝像頭的視線，到達(dá)F和H兩點(diǎn)的直線將被墻壁遮擋，故F和H不住監(jiān)控范圍內(nèi)。

（2）題目已經(jīng)將商店平面圖劃分為20個(gè)等大的小正方形，可以證明監(jiān)控盲區(qū)面積相當(dāng)于3個(gè)小正方形，3/20=15%。

（3）如圖2，將攝像頭安裝在點(diǎn)Q或Q附近時(shí)，監(jiān)控盲區(qū)面積相當(dāng)于兩個(gè)小正方形，2/20=10%。

3 學(xué)生實(shí)踐情況

題目包含三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生找到最優(yōu)的攝像頭安裝方案。多數(shù)學(xué)生能夠正確回答前兩個(gè)問(wèn)題，而第三個(gè)問(wèn)題有一定的靈活性，能給出完整答案和分析的學(xué)生不多。部分學(xué)生能夠得出攝像頭安裝在點(diǎn)Q監(jiān)控范圍會(huì)變大，但并沒(méi)有計(jì)算出Q點(diǎn)的監(jiān)控面積；有些學(xué)生得到了Q點(diǎn)的監(jiān)控面積，但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)在Q點(diǎn)附近的左右兩側(cè)，監(jiān)控面積與Q點(diǎn)相等；只有少數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律，給出詳細(xì)的推導(dǎo)和分析。

4 教學(xué)思考

該建模題目為三維立體幾何問(wèn)題，需要一定的空間想象能力。題目中給出了商店的俯視圖，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了二維平面幾何問(wèn)題，并進(jìn)一步將商店平面圖劃分成20個(gè)等大的小正方形，已經(jīng)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，把建立好的模型直接呈現(xiàn)出來(lái)。學(xué)生只需要利用已有模型解決問(wèn)題，這大大降低了題目難度。高中學(xué)生在學(xué)習(xí)了三視圖后可以獨(dú)立完成此建模題目。

題目具有良好的區(qū)分度，教師能夠及時(shí)掌握學(xué)生的概念理解、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)表達(dá)等情況。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)需要對(duì)商店的尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行修改，也可以考慮讓學(xué)生分組討論建立模型，通過(guò)小組交流與合作，鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

5 小結(jié)

本文的建模題目選自美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)資源網(wǎng)（Mathematics Assessment Resourse Service），是很好的數(shù)學(xué)建模素材。教師在日常教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是非常必要的。豐富的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和綜合能力的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京師范大學(xué)出版社，中華人民共和國(guó)教育部，2011.

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[3]史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理，2017（01）.

課題項(xiàng)目：2018年吉林省教育學(xué)會(huì)教育科研規(guī)劃課題（立項(xiàng)編號(hào)JLXH13513954）

作者簡(jiǎn)介：張秀英（1984-），女，長(zhǎng)春師范大學(xué)國(guó)際教師教育學(xué)院，研究方向：教育測(cè)量與評(píng)價(jià)。