韓信點(diǎn)兵的奧秘：中國(guó)剩余定理

韓信是中國(guó)古代一位有名的軍事家，民間流傳著許多他的故事，韓信點(diǎn)兵便是其中最為耳熟能詳?shù)墓适轮?。韓信點(diǎn)兵的背后蘊(yùn)含著怎樣的奧秘？中國(guó)剩余定理對(duì)現(xiàn)代又有何啟示？

韓信點(diǎn)兵的奧秘

秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)。一次，韓信率1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)?？鄳?zhàn)一場(chǎng)，楚軍不敵，敗退回營(yíng)，于是，韓信整頓兵馬也返回大本營(yíng)。當(dāng)行至一山坡，忽有后軍來(lái)報(bào)，說(shuō)有楚軍騎兵追來(lái)。只見(jiàn)遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來(lái)已十分疲憊，這時(shí)隊(duì)伍大嘩，韓信兵馬到坡頂，見(jiàn)來(lái)敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。

韓信命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃迹骸拔臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！币粫r(shí)間旌旗搖動(dòng)，鼓聲喧天，漢軍步步逼近，楚軍亂作一團(tuán)。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。部將好奇地問(wèn)韓信：“大帥是如何迅速地算出我軍人馬的呢？”韓信說(shuō)：“根據(jù)編隊(duì)時(shí)排尾的余數(shù)算出來(lái)的?！?/p>

韓信是怎么算出來(lái)的

韓信到底是怎么算出來(lái)的呢？

這也是中國(guó)古代的一道趣味算術(shù)題。有一首四句詩(shī)隱含了解題的思路：

三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝。

七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。

詩(shī)里讓人記住這幾個(gè)數(shù)字：3與70，5與21，7與15，還有105（也就是3、5、7的公倍數(shù)）。這些數(shù)是什么意思呢？題中3人一列多2人，用2×70；5人一列多3名，用3×21；7人一列多2人，用2×15，三個(gè)乘積相加：

2×70+3×21+2×15=233

用233除以3余2，除以5余3，除以7余1，符合題中條件。但是，因?yàn)?05是3、5、7的公倍數(shù)，所以233加上或減去若干個(gè)105仍符合條件。這樣一來(lái)，128、338、443、548、653……都符合條件?？傊?，233加上或減去105的整數(shù)倍，都可能是答案。韓信根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)觀察，得出了1073這個(gè)數(shù)字。

詩(shī)歌里的數(shù)字又是怎么得來(lái)的呢？

70是5和7的公倍數(shù)，除以3余1；

21是3和7的公倍數(shù)，除以5余1；

15是3和5的公倍數(shù)，除以7余1。

中國(guó)剩余定理

《孫子算經(jīng)》也有類(lèi)似的問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？”

答曰：“二十三。”

術(shù)曰：“三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得。”

什么意思呢？用現(xiàn)代語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。如果所求的數(shù)被3除余2，那么就取數(shù)70×2=140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。如果所求數(shù)被5除余3，那么取數(shù)21×3=63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。如果所求數(shù)被7除余2，那就取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。

140+63+30=233，由于63與30都能被3整除，所以233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2，同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個(gè)數(shù)。105是3、5、7的公倍數(shù)，前面說(shuō)過(guò)，凡是滿足233加減105的整數(shù)倍的數(shù)都是符合題意的，因此依定理譯成算式解為：

70×2+21×3+15×2=233

233-105×2=23

這就是有名的“中國(guó)剩余定理”，或稱“孫子定理”，和韓信點(diǎn)兵是一個(gè)道理。

《孫子算經(jīng)》的“物不知其數(shù)”題雖然開(kāi)創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但真正從完整的計(jì)算程序和理論上解決這個(gè)問(wèn)題的是南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，他在他的《數(shù)學(xué)九章》中提出了一個(gè)數(shù)學(xué)方法，稱之為“大衍求一術(shù)”。“大衍求一術(shù)”不僅在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代電子計(jì)算設(shè)計(jì)中，也起到了重要作用，被稱為“中國(guó)剩余定理”。

在小學(xué)課本中，往往會(huì)看到這樣的題目：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人？求解的方法就是“剩余定理”。

（新華網(wǎng)2018.8.7等）