弓形蟲傳播模型的穩(wěn)定性分析

任麗霞 薛亞奎

摘 要：為了研究控制弓形蟲病傳播的臨界值，對疾病進行有效預防，并進行相關的理論分析與研究，針對弓形蟲的生活史以及傳播途徑建立數(shù)學模型，分析得到了決定疾病是否繼續(xù)存在以及傳播的基本再生數(shù)，當基本再生數(shù)小于1時，疾病將逐漸消亡，最終滅絕，當基本再生數(shù)大于1時，模型存在唯一的地方病平衡點，此時疾病將一直持續(xù)下去，形成地方病。通過建立合適的Lyapunov函數(shù)等方法，給出了無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件，同時對建立的數(shù)學模型進行了系統(tǒng)、完整的定性和穩(wěn)定性研究。研究結果對后續(xù)弓形蟲病的研究及其數(shù)學模型的建立有一定的借鑒意義。

關鍵詞：穩(wěn)定性理論;弓形蟲;最終宿主;基本再生數(shù);全局穩(wěn)定性;Lyapunov 函數(shù)

中圖分類號：O175?MSC（2010）主題分類：34D20?文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）06-0511-07

弓形蟲病是由一種剛地弓形蟲（Toxoplasma gondii）引起的人畜共患病[1-6]。貓和其他貓科動物是弓形蟲的最終宿主[2]，它寄生在這些動物的小腸上皮細胞內(nèi)，形成囊合子隨糞便排出，其他哺乳類動物和鳥吃到體內(nèi)發(fā)生感染，在它們組織內(nèi)發(fā)育成為包囊，囊合子和包囊是弓形蟲的不同發(fā)育階段。除了終宿主以外，在其他動物體內(nèi)只能進行無性繁殖，不能向外界散播它的后代。

弓形蟲病病情輕重不一，免疫功能正常的宿主表現(xiàn)急性淋巴結炎的較為多見，免疫缺損者，如艾滋病、器官移植、惡性腫瘤（主要為霍杰金病等）常有顯著的全身癥狀，如高熱、肌痛，并發(fā)生腦炎、胃腸炎等[7-10]。

弓形蟲多藏在被貓狗糞便污染的土壤中，生的、半生不熟的家禽類肉食中，未經(jīng)消毒的羊奶中，沒洗干凈和未經(jīng)過烹飪的蔬菜水果中，人類作為弓形蟲病傳播過程中的中間宿主，感染弓形蟲病的幾率是非常大的，尤其貓作為寵物被越來越多的人飼養(yǎng)，使得人感染弓形蟲的病例在逐年上升。弓形蟲病分先天性和獲得性2類，先天性弓形蟲病只發(fā)生于初孕婦女[11-12]，經(jīng)胎盤血流傳播，受染胎兒多數(shù)表現(xiàn)為隱性感染，也可造成孕婦流產(chǎn)、畸胎或死產(chǎn)，尤以早孕期感染而引起的畸胎發(fā)生率高[13-14]。研究表明，嬰兒出生時出現(xiàn)癥狀或發(fā)生畸形者病死率為12%，而存活下來的80%有精神發(fā)育障礙，50%有視力障礙[15-16]。

1?模型介紹

根據(jù)弓形蟲的生活史以及傳播途徑，建立如下的數(shù)學模型：

t時刻的數(shù)量;E指的是環(huán)境中t時刻的蟲卵密度，由最終宿主釋放到環(huán)境中的蟲卵以及蟲卵的死亡率決定;Ai（i=1，2，3）和di（i=1，2，3）分別表示人群、中間宿主以及最終宿主的輸入率和死亡率;δ和r分別表示人群和最終宿主的治愈率;q表示宣傳措施的影響力系數(shù)，是中間宿主中可以傳染給最終宿主的比例（貓吃掉老鼠、松鼠等小動物感染弓形蟲）;m指最終宿主弓形蟲的釋放率。

2?基本再生數(shù)以及平衡點的存在性

在這一部分，給出模型（1）的基本再生數(shù)，并證明無病平衡點E0和地方病平衡點E*的存在性。

2.1?基本再生數(shù)和無病平衡點的存在性

2.2?地方病平衡點的存在性

通過對模型（2）的分析發(fā)現(xiàn)，后面5個方程不受前3個方程的影響，所以可以將模型（1）分成2個子模型：

3?全局漸近穩(wěn)定性

在這一部分，對無病平衡點E0以及地方病平衡點E*的全局漸近穩(wěn)定性進行分析。

3.1?無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

定理2?當R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的，當R0>1時，無病平衡點E0是不穩(wěn)定的。

3.2?地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

4?結?語

弓形蟲病包括先天的和后天的2種類型，筆者主要研究了弓形蟲病傳播的數(shù)學模型，得到了基本再生數(shù)以及平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件。當R0<1時，疾病最終滅絕，當R0>1時，疾病將持續(xù)下去。本文在證明地方病平衡點穩(wěn)定性時，不再局限于構造Lyaponov函數(shù)，而是通過研究其極限系統(tǒng)的方法得出結論，

對于該病存在垂直傳染的數(shù)學模型還在探討之中?，F(xiàn)在社會上流浪貓的數(shù)量不斷增加，將最終宿主分成家養(yǎng)貓和流浪貓建立新的數(shù)學模型，研究流浪貓的數(shù)量變化對弓形蟲病傳播的影響將是一個新的突破，有待于進一步研究。

參考文獻/References：

[1]?阮秀花，范振遠，王文輝，等.弓形蟲病120例分析[J]. 中國誤診學雜志，2005，5（13）：2527.

[2]?陳西岐，劉秀蘭，賀曉珺，等.貓弓形蟲病[J]. 動物保健，2007（1）：53.

[3]?COOK A J ，GILBERT R E ， BUFOLANO W， et al. DunnSources of toxoplasma infection in pregnant women： European multicentre case-control study[J].European Research Network on Congenital Toxoplasmosis BMJ， 2000，21：142-147.

[4]?BOOTHROYD J C， BLACK M， BONNEFOY S， et al.Genetic and biochemical analysis of development in Toxoplasma gondii[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series B-Biological， 1997，352（1359）：1347-1354.

[5]?AL-ANOUTI F， QUACH T， ANANVORANICH S. Double-stranded RNA can mediate the suppression of uracil phosphoribosyltransferase expression in Toxoplasma gondii[J]. Biochemical and Biophysical Research Communications， 2003，302（2）：316-323.

[6]?KISSINGER J C， GAJRIA B， LI L， et al. ToxoDB： Accessing the Toxoplasma gondii genome[J].Nucleic Acids Research，2003，31（1）：234-236.

[7]?李祥瑞.弓形蟲病的流行的新趨勢[J]. 動物醫(yī)學進展，2010，31（1）：234.

LI Xiangrui. New Epidemiological characteristics of Toxoplasma gondii infections[J]. Progress in Veterinary Medicine， 2010，31（1）：234.

[8]?王瑞蘭，黃衛(wèi)，許建寧，等.以發(fā)熱為首發(fā)癥的弓形蟲病22例報告[J]. 江西醫(yī)學院學報，2002，42（2）：125.

[9]?ELMORE S A， JONES J L， CONRAD P A， et al. Toxoplasma gondii： Epidemiology， feline clinical aspects， and prevention[J]. Trends in Parasitology，2010，26（4）：190-196.

[10]KYAN H， TAIRA M， YAMAMOTO A， et al. Isolation and characterization of Toxoplasma gondii genotypes from goats at an abattoir in Okinawa[J]. Japanese Journal of Infectious Diseases，2012，65（2）： 167-170.

[11]王津，楊際春，丁曉萍.弓形蟲感染孕婦與不良妊娠結局關系[J]. 沈陽醫(yī)學院學報，2011，13（2）：81-83.

[12]許倩，華海涌.弓形蟲既往感染在孕期內(nèi)對胎兒的影響[J]. 中國血吸蟲病防治雜志，2010，22（2）：187-188.

XU Qian，HUA Haiyong.Impact of past Toxoplasma gondii infection on the fetus during pregnancy[J]. Chinese Journal of Schistosomiasis Control，2010，22（2）：187-188.

[13]MATTOS C C B D， SIQUEIRA R C， FREDERICO F B， et al. Toxoplasmic retinochoroiditis caused by Toxoplasma gondii strain TOXODB#65[J]. Acta Tropica， 2018，185： 419-421.

[14]LOUASSINI M， FOULQUIE M， BENITEZ R， et al. Citric-acid cycle key enzyme activities during in vitro growth and metacyclogenesis of Leishmania infantum promastigotes[J].The Journal of Parasitology，1999，85（4）：595-602.

[15]VERLINDE C L ， HANNAERT V， BLONSKI C， et al. Glycolysis as a target for the design of new anti-trypanosome drugs[J]. Drug Resistance Updates， 2001，4（1）：50-65.

[16]TAYLOR M A， WEBSTER K A. Recent advances in the diagnosis in livestock of Cryptosporidium， Toxoplasma， Giardia and other protozoa of veterinary importance[J].Research in Veterinary Science， 1998，65（3）：183-193.

[17]DRIESSCHE P V D， WATMOUGH J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J]. Mathematical Biosciences，2002，180（1/2）： 29-48.

[18]閆衛(wèi)平，吳素赟.帶有治療項的SIS反應擴散傳染病模型動力學分析[J].河北科技大學學報，2015，36（6）：587-592.

YAN Weiping， WU Suyun. A dynamics analysis of an SIS epidemic reaction-diffusion model with treatment[J].Journal of Hebei University of Science and Techology， 2015，36（6）：587-592.

[19]MARKUS L. Asymptotically autonomous differential systems[J]. Annals of Mathematics Studies， 1956，36（6）：17-29.

[20]THIEME H R. Convergence results and a Poincar'e-Bendixson trichotomy for asymptotically autonomous differential equations[J]. Journal of Mathematical Biology，1992，30（7）：755-763.

[21]ZHAO X Q， JING Z J. Global asymptotic behavior in some cooperative systems of functional differential equations[J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly，1996， 4（4）： 421-444.