基于變可信度近似的設計優(yōu)化關鍵技術綜述

鄭君 蔣學鵬

摘 要：利用變可信度近似模型進行設計優(yōu)化，可以發(fā)揮不同可信度分析模型的優(yōu)勢和特點，大幅減少復雜工程產品設計過程中的計算量，提高計算效率，是解決復雜工程產品設計優(yōu)化計算復雜度難題的有效途徑之一。分析和闡述了基于變可信度近似的設計優(yōu)化方法的基本思想，總結歸納了主要研究內容和關鍵技術，并對適用于變可信度近似的實驗設計方法、變可信度近似模型構建方法及設計優(yōu)化策略進行了綜述，指出了今后的主要研究方向：結合自適應采樣的變可信度近似模型實驗設計，CoKriging類帶有誤差信息的變可信度近似模型建構，基于空間映射的變可信度近似模型建構，以及變可信度近似模型在多學科設計優(yōu)化、不確定性優(yōu)化等各個領域的應用。

關鍵詞：機械設計；變可信度近似；實驗設計；設計優(yōu)化；計算復雜度

中圖分類號：TH122 文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）05-0386-08

在設計優(yōu)化飛機、船舶、汽車等現(xiàn)代復雜工程產品時，所進行的仿真分析技術已成為該領域中不可缺少的關鍵手段，它是以物理行為模型與科學計算為基礎，既可使物理實驗成本和開發(fā)周期大幅縮減，也可提供有效數(shù)據(jù)為后期的設計優(yōu)化奠定基礎。計算機技術的快速發(fā)展使仿真分析單元的尺寸不斷減小，仿真精度也逐漸提升，可更為逼真地展現(xiàn)物理實驗性能，由此創(chuàng)造出的分析模型有著非常高的保真度、可信度，但不可忽視的是不斷增加的仿真時間成本[1]。相關文獻顯示，如果僅從雙變量優(yōu)化問題入手進行汽車碰撞分析，假設經過50次迭代能夠完成優(yōu)化過程，而每一次迭代都應當進行一次碰撞分析，福特公司的一次汽車碰撞分析需耗費26～160 h[2]，那么整個優(yōu)化過程一般需要耗費2～11個月。在這樣的狀況下，如果復雜工程設計利用傳統(tǒng)方式進行設計優(yōu)化，所耗費的時間是無法接受的，特別是設計維度的提升會導致優(yōu)化難度進一步增大，這些都意味著現(xiàn)代復雜產品設計面臨著挑戰(zhàn)。

變可信度近似模型將高、低2種可信度分析模型相融合，可在小樣本基礎上建立具有較高精準度的近似模型，在工程應用領域展現(xiàn)出很大潛力。利用變可信度近似模型進行設計優(yōu)化時可充分利用各種可信度分析模型的優(yōu)勢，在保證優(yōu)化結果的前提下，將計算成本降至最低、計算效率最大化。在優(yōu)化過程中，變可信度近似模型可成為復雜、隱性函數(shù)關系的替代品，為優(yōu)化工作奠定良好基礎。它充分利用了高、低2種可信度分析模型的優(yōu)勢，不僅利用低可信度（low fidelity， LF）分析模型來減少仿真時間、降低計算復雜程度，同時利用少量的高可信度（high fidelity， HF）分析模型來確保近似精度。變可信度近似模型引入了低可信度分析模型后有效減少了相應的高可信度分析模型的運行次數(shù)，同時也大幅減少了模型構造時的采樣與時間成本，又通過小樣本的高可信度數(shù)據(jù)構建出精準度高的近似模型，由此受到諸多學者的重視[3-5]。利用變可信度近似模型進行優(yōu)化設計，可在確保良好優(yōu)化結果的基礎上，最大限度提升運作效率、減少計算成本，因此，該方法已在各個領域得到廣泛應用[6-8]。

1 基于變可信度近似的設計優(yōu)化的研究內容

圖1展示了非常全面的基于變可信度近似的設計優(yōu)化過程整體框架圖。由圖可以看出，所研究的重點有2個方面：1）設計問題的數(shù)學建模；2）數(shù)學模型的優(yōu)化求解。具體包括：模型構建、實驗設計、優(yōu)化策略、求解算法等。

圖2展示了變可信度近似模型的建立過程。整個過程集合了不同可信度分析模型的特點，使得復雜的約束函數(shù)、目標函數(shù)變成了更易懂的表達形式。建立變可信度近似模型時，為了保證近似模型精度的同時減少構建成本，需要使不同信度模型得到良好的調配，所以尋求一種適合變可信度近似的實驗設計尤為重要。

圖3為基于變可信度近似的優(yōu)化求解策略示意圖[9]，它不但可以更好地促進模型的優(yōu)化，也可以借助一部分高可信度分析模型信息來分析優(yōu)化后的情況，同時修正、更新低可信度近似模型。在進行優(yōu)化的時候，不同信度分析模型會根據(jù)實際情況，從高至低不斷轉化自身的角色和位置，最后使得優(yōu)化求解策略更加有效，使得計算準確率更高，減少計算的費用。

由此可見，在變可信度近似的優(yōu)化過程中，有3個重要的流程：1）確定適用于變可信度近似的實驗設計方法；2）建立變可信度近似模型；3）制定出優(yōu)化求解的策略。因此，對變可信度近似的設計優(yōu)化的研究應主要對這三方面進行深入的分析和總結。

2 基于變可信度近似的設計優(yōu)化關鍵技術的研究現(xiàn)狀

2.1 面向變可信度近似的實驗設計的研究現(xiàn)狀

在變可信度近似模型的建立過程中，可通過不同類型的可信度分析模型完成各種類型樣本的信息獲取。盡管通過LF分析模型可快速獲取樣本信息，但所獲取的內容缺乏精準度，反之，HF分析模型獲取樣本信息需要耗費大量人力、物力和財力，但其精準度較高。實驗設計時，須對高、低可信度模型進行合理配置，并且找到這兩種可信度樣本點之間的關聯(lián)性。

該方面的研究非常少，有關文獻還未超過10篇。研究者包括了荷蘭蒂爾堡大學的HUSSLAGE Bart團隊、威斯康辛大學的QIAN Peter Z.G.團隊。QIAN等[10-14]借助諸如差別矩陣、正交陣列、伽羅瓦域等一系列數(shù)學策略和方法，最終分析出了關于這個實驗樣本點的狀況，具有充分的理論依據(jù)、嚴謹?shù)耐茖н^程，但都存在理解困難、復雜性強的問題，再加上正交矩陣等原本存在的局限性，這些方法所構造的實驗設計只能是特定大小的。HUSSLAGE團隊[15-16]則借助智能優(yōu)化算法，在LF所獲得的樣本點里尋優(yōu)計算，最終得到了HF點的分布。ZHENG[17]提出了基于平移傳播的嵌套拉丁超立方方法，不依賴智能算法，同時復制平移種子的思路易于實現(xiàn)。從理論上來看，此類方法所尋找的實驗設計方案可達到某種指標最優(yōu)，但對算法性能有極大的依賴性；在實驗設計點不斷增加的同時，分析了LF當中全部的HF點，發(fā)現(xiàn)其中能夠進行組合的點幾乎沒有時間去實現(xiàn)。

近年來，由于自適應采樣策略能根據(jù)模型信息有針對性地增加樣本點，因此其被廣泛地與變可信度近似模型相結合，以進一步提高變可信度近似模型的構建效率。ZHANG等[18]發(fā)展了基于變可信度近似信息的期望增量法。ZHENG等[19]提出了動態(tài)變化下置信度邊界的自適應采樣策略?？梢钥闯觯赃m應采樣與變可信度近似模型結合可以借助模型信息，指導下一次填充樣本的選擇，有利于提高模型精度，但計算成本較“一次采樣”大，同時填充樣本的選取質量依賴于初始樣本的選擇。

2.2 變可信度近似模型的研究現(xiàn)狀

學者KLEIJNEN是最早提出近似模型概念的研究者，他將這個概念用在替代復雜工程產品設計過程的計算模型中，包括了計算流體力學（computational fluid dynamics， CFD）模型和有限元分析模型（finite element modeling， FEM）[20]。一旦物理現(xiàn)象產生了不同可信度的分析模型，便可以利用這些可信度分析模型信息建立一個近似模型，這就是變可信度近似模型。如今，建立變可信度近似模型時，主要依靠標度函數(shù)來進行。所謂的標度函數(shù)，同時也是橋函數(shù)、模型矯正、模型修正的方式。設計者ALEXANDROV等[21]在研究機翼的過程中，試圖將一階乘法標度和一階加法標度進行結合，減少了設計時間。后來，ELDRED等[22]又采用了二階導數(shù)的概念，使得一階標度函數(shù)拓展成為二階。2005年，GANO等[23]將加法和乘法標度相結合，開發(fā)出了不同的混合標度模型。MARDUEL等[24]對一、二階標度函數(shù)進行對比研究，發(fā)現(xiàn)一階標度的精確度比二階更差，然而在計算二階標度的時候，會耗費更多的計算成本。

不僅僅只是Taylor 展開，很多全局近似模型也和標度函數(shù)進行了結合。比如FISCHER等[25]在AMF（approximation management framwork）框架下提出了梯度增強Kriging的標度方法。WANG等[26]利用人工神經網(wǎng)絡構建了修正函數(shù)。GANO團隊[27]開發(fā)出了關于Kriging的各種算法，與不同標度函數(shù)進行結合。GHOSH等[28]在此基礎之上進一步發(fā)展了貝葉斯層次模型來集成高、低可信度模型信息。LEARY等[29]在關于熱成型工藝的加熱措施中，發(fā)展了Kriging標度模型。HAN等[30]將梯度增強型Kriging方法和低階RSM進行一定的結合。QIAN等[31]開發(fā)出了一種全新的方法，借助貝葉斯橋函數(shù)來提高仿真的準確度，獲得仿真的一些信息和參數(shù)。和Taylor方法不同的是，全局橋函數(shù)建立的標度可以準確地展現(xiàn)出設計空間的全貌，而非僅僅某一部分的狀況。TOROPOV等[32]針對如何將模型結合提出了很多構想，比如使不同參數(shù)的計算模型得到改進，或者采用計算修正函數(shù)，這樣便能夠更好地改進LF的校正模型。

不僅如此，測量地勢時的多變量技術也得到了一定的應用。一些研究者試著將CoKriging當成變可信度近似模型[33-34]。然而CoKriging存在一些問題，比如：HF參數(shù)不多，關聯(lián)性不強，因此使用起來很難。此外，建立CoKriging也存在很大的難度，耗費的成本很高，所以不經常使用。

目前，變可信度近似模型在中國的研究屬于起步階段。高正紅等[35]（西北工業(yè)大學）在進行研究時，促使N-S方程被用在LF模型里，Euler方程則用在HF模型里，借助一階標度函數(shù)來構建變可信度近似模型。同時，張德虎等[36]借助Kriging方法來對LF進行標度，同時借助3個案例（即機翼氣動力、翼型氣動力、無人機隱身特性分析等）驗證了所提出的模型。劉蔚[37]（上海交通大學）借助變可信度模型的構建，研究和分析了7 000 m載人潛水器的情況，并且在此基礎上計算了載人耐壓球殼結構子系統(tǒng)的動力。龔春林等[38]則結合CFD和工程估算啟動分析提出了基于響應面修正方法。SUN（孫光永）等[39-40]（湖南大學）則在薄板結構成型設計時，結合增量法和一步法，提出了基于響應面的標度模型。謝暉等[41]利用RBF神經網(wǎng)絡構建了汽車碰撞分析中的變可信度模型。張瑜等[42]為了發(fā)展適用于高維精細化氣動優(yōu)化設計的更高效的代理優(yōu)化算法，發(fā)展了基于梯度增強分層Kriging模型的變可信度代理優(yōu)化方法。KOZIEL等[43]在電磁設計中發(fā)展了一種基于空間映射的變可信度近似模型。

由上述研究現(xiàn)狀可知，變可信度近似模型的構建方法主要分為3類：1）基于標度函數(shù)的變可信度近似模型的構建方法；2）基于空間映射的變可信度近似模型的構建方法；3）CoKriging（包括hierarchical-Kriging）類變可信度近似模型的構建方法。

2.3 優(yōu)化策略的研究現(xiàn)狀

基于變可信度近似的設計優(yōu)化的早期工作基本上都是建立在啟發(fā)理論基礎上的。早在2000年，ALEXANDROV等[21]提出了近似模型的管理策略，如圖3所示。AMF在機翼優(yōu)化改進、飛行器外形優(yōu)化等航空領域得到了廣泛應用[44-47]，到目前為止AMF收斂性都沒有得到理論證明[4]。ALEXANDROV等[9]在信賴域基礎上，提出了一種模型管理優(yōu)化策略（trust region-approximation model management optimization，TR-AMMO）。在TR-AMMO中，主要在當前設計點四周完成優(yōu)化，因為信賴域的使用，可以借助信賴域來分析近似質量。如若滿足一階一致性， TR-AMMO就能被證明具有收斂性。除此之外，BOOKER等[48]結合模式搜索和AMF提出了基于代理模型管理框架（surrogate management framework，SMF）的優(yōu)化策略。

TR-AMMO策略一經提出便受到很多學者的重視。BURTON等[49]對梯度獲取方式進行完善，使得信賴域控制也更加簡單，最終優(yōu)化了TR-AMMO。HINO等[50]借助TR-AMMO來優(yōu)化板料成形中的板坯問題，大大減小了計算量。RODRGUEZ等[51]借助該策略對有限、無限分子動力學分析模型進行研究，開發(fā)出了一種斷裂韌性優(yōu)良的復合陶瓷材料。SILVA等[52]借助該策略改善了燃氣渦輪發(fā)動機控制器的性能。RODRGUEZ等[53]借助并行子空間優(yōu)化時形成的變可信度數(shù)據(jù)建立近似，結合TR-AMMO對其進行合理的管理，并得到了收斂性證明。

盡管TR-AMMO策略獲得了收斂性證明，然而在優(yōu)化時需在設計點周圍完成，所以可能會得到某個區(qū)域而非整個設計空間的最優(yōu)解。因此，很多研究者針對全局近似的優(yōu)化求解方法進行了探索。FORRESTER等[34]以反映數(shù)據(jù)噪聲的誤差估計為近似更新指標，結合期望增量和Kriging標度函數(shù)來完成優(yōu)化。XIONG等[54]則借助設計自信度來分析近似的插值不確定性，同時根據(jù)目標導向序列采樣方法來更好地更新Kriging標度函數(shù)，輔助優(yōu)化的進行。SONG等[55]結合多點填充策略，發(fā)展了基于Kriging的優(yōu)化策略。這些方法都是通過與全局變可信度近似模型相結合，結合自適應采樣方法使得模型不斷更新，獲得最優(yōu)解，改善了TR-AMMO的缺陷，使之可以被用在解決多峰問題方面。其中，怎樣對模型的更新過程進行一定的控制，提高優(yōu)化的準確度，并且降低HF分析模型的使用頻率等問題已經成為了研究的重點。

中國在這方面的研究集中在TR-AMMO和AMF兩方面。劉慧超[56]針對TR-AMMO里的信賴域進行改進，在其中融合了Kriging標度函數(shù)，最終開發(fā)出建立在偏心球信賴域基礎上的優(yōu)化措施。劉桂萍等[57]則集合多目標優(yōu)化和TR-AMMO策略，最終提高了車身薄壁構件的整體性能。周婷等[58]也將多重網(wǎng)格Navier-Stokes方程用在HF模型里，將全位勢邊界層迭代方程用在LF模型中，根據(jù)相關的標度函數(shù)，借助TR-AMMO方法來完善整個翼型。鄭君[59]充分分析下置信度邊界的優(yōu)缺點，將其與變可信度近似優(yōu)化相結合，提出了基于參數(shù)化下置信度邊界的優(yōu)化策略。

綜上所述可得出，TR-AMMO采用信賴域率對變可信度近似模型進行有效更新和管理，同時具有收斂性，得到了廣泛的應用。但這種方法是建立在局部近似基礎上的，并不適用于多峰的問題。因此，雖然基于全局變可信度近似的優(yōu)化策略得到了發(fā)展，但在如何有效控制近似模型的更新、減少HF模型運行次數(shù)以及提高優(yōu)化精度方面有待進一步研究和完善。

3 發(fā)展評價與展望

對于變可信度近似模型的設計優(yōu)化，國內外學者進行了大量的理論研究及實踐，所取得的成果也是豐碩的，在緩解計算效率與精準度共存的矛盾方面，其效用極為顯著。

1）適用于變可信度近似的實驗設計方法高效性嚴重欠缺。如今，普遍缺少適用于變可信度近似模型的實驗設計相關研究，基于正交矩陣等數(shù)學推理的方法難以理解和使用；基于智能優(yōu)化的方法受限于算法本身的性能，且計算量過大，難以應用。所以，必須要開發(fā)出準確率更高的、適用于變可信度近似的實驗設計方法。除了一次采樣策略，結合自適應采樣策略，挖掘變可信度模型的定量和定性信息，在設計空間中進行貫序采樣，是變可信度近似建模實驗設計的新思路。自適應采樣不僅能根據(jù)當前近似模型信息有針對性地提高模型的質量和精度，還能與優(yōu)化策略相結合，指導優(yōu)化的進行，在基于變可信度近似模型的全局優(yōu)化中發(fā)揮重要作用。

2）在變可信度近似模型的建立方面，仍然不夠深入。目前，研究多集中在Taylor局部近似方面，另外一些研究主要著力于使Kriging，RSM等全局近似完全替代局部近似中的Taylor。這些方法都容易被標度函數(shù)所限制。所以，必須采用全新的思路來研究全局變可信度近似模型的建立，在提高模型準確度的同時，對訓練樣本的質量以及對模型的精度、合格度、魯棒性等近似質量的影響進行探究。對于常用的3種變可信度近似模型，基于標度函數(shù)的近似模型構建方法結構簡單，易于實現(xiàn)，但依賴于所選取的標度函數(shù)；基于空間映射的變可信度近似模型中，參數(shù)提取是模型構建過程中的關鍵問題，直接關系到模型的質量；CoKriging類變可信度近似模型的一大優(yōu)點是能提供非樣本點處的預估誤差信息，在全局優(yōu)化中可以較為方便地和期望增量等自適應采樣策略相結合。

3）在優(yōu)化策略方面，TR-AMMO策略具有很多優(yōu)勢，但因為其是將局部變可信度近似模型作為基礎，所以不能被應用在多峰問題中。CoKriging類變可信度近似模型和基于Kriging標度的變可信度近似模型，可以直接得到模型的誤差信息，因此，可以直接與EGO（efficient global optimization）類算法結合，實現(xiàn)全局優(yōu)化。

4）變可信度近似模型在多學科設計優(yōu)化、魯棒優(yōu)化、靈敏度分析等優(yōu)化方法中的應用日益廣泛。工程中的多學科設計優(yōu)化、魯棒優(yōu)化、不確定性優(yōu)化、靈敏度分析等方法涉及的對象一般都具有較高的計算復雜性，借助變可信度近似模型可以降低相應的計算成本，提高計算效率。

參考文獻/References：

[1] VENKATARAMAN S， HAFTKA R T. Structural optimization complexity： What has Moores law done for us[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2004，28（6）：375-387.

[2] GU L. A comparison of polynomial based regression models in vehicle safety analysis[C]// 2001 ASME Design Engineering Technical Conference and Computers and Information in Engineering Conference. Pittsburgh： American Society of Mechanical Engineers， 2001： 509-514.

[3] 劉慧超，伊山， 梅珊， 等.一種新的近似優(yōu)化方法——變復雜度優(yōu)化[J]. 軍事運籌與系統(tǒng)工程，2007，21（2）：15-18.

[4] 張守慧，謝玲玲，馮佰威，等.基于變復雜度方法的船舶型線優(yōu)化[J].船舶工程， 2018，40（3）：5-9.

ZHANG Shouhui，XIE Lingling， FENG Baiwei，et al. Ship profile optimization based on variable complexity method[J].Ship Engineering， 2018，40（3）：5-9.

[5] ROBINSON T D， ELDRED M S， WILLCOX K E， et al. Surrogate-Based optimization using multifidelity models with variable parameterization and corrected space mapping[J]. Aiaa Journal， 2008，46（11）：2814-2822.

[6] TOAL D J. Some considerations regarding the use of multi-fidelity Kriging in the construction of surrogate models[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2015，51（6）：1-23.

[7] 蔡檢明，張勇，華群，等. 基于逐次神經網(wǎng)絡近似技術的轎車簡化模型多學科設計優(yōu)化[J].河北科技大學學報，2013，34（5）：392-398.

CAI Jianming， ZHANG Yong， HUA Qun， et al. Multidisciplinary design optimization of simplified vehicle model based on sequence neural network approximation technique[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（5）：392-398.

[8] 趙慧，張驥，閆璐娜. 響應面法優(yōu)化杏鮑菇粗多糖提取工藝的研究[J].河北科技大學學報，2017，38（1）：80-86.

ZHAO Hui， ZHANG Ji， YAN Luna. Study on optimization of extraction process of crude ploysaccharides from Pleurotus erngyngii by response surface method[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2017，38（1）：80-86.

[9] ALEXANDROV N M， LEWIS R M， GUMBERT C R， et al. Approximation and model management in aerodynamic optimization with variable-fidelity models[J]. Journal of Aircraft， 2012，38（6）：1093-1101.

[10]QIAN P Z G， TANG B X， WU C F J. Nested space-filling designs for computer experiments with two levels of accuracy[J]. Statistica Sinica， 2009，19（1）：287-300.

[11]QIAN P Z G，AI M Y， WU C F J. Construction of nested space-filling designs[J]. Annals of Statistics， 2009，37（6A）， 3616-3643.

[12]HE X， QIAN P Z G. Nested orthogonal array-based Latin hypercube designs[J]. Biometrika，2011， 98（3）：721-731.

[13]HAALAND B， QIAN P Z G， An approach to constructing nested space-filling designs for muti-fidelity computer experiments[J]. Statistica Sinica， 2010，20（3）：1063-1075.

[14]SUN F S， LIU M Q， QIAN P Z G. On the construction of nested space-filling designs[J]. The Annals of Statistics， 2014，42（4）：1394-1425.

[15]van DAM E R， HUSSLAGE B， den HERTOG D. One-dimensional nested maximin designs[J]. Journal of Global Optimization， 2009，46（2）： 287-306.

[16]RENNEN G， HUSSLAGE B， van DAM E R， et al. Nested maximin Latin hypercube designs[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2010，41（3）：371-395.

[17]ZHENG J. An output mapping variable fidelity metamodeling approach based on nested Latin hypercube design for complex engineering design optimization[J]. Applied Intelligence，2018，48（10）：3591-3611.

[18]ZHANG Y， HAN Z H， ZHANG K S. Variable-fidelity expected improvement method for efficient global optimization of expensive functions[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2018，58（4）：1431-1451.

[19]ZHENG J， LI Z L， GAO L， et al. A parameterized lower confidence bounding scheme for adaptive metamodel-based design optimization[J]. Engineering Computations， 2016，33（7）： 2165-2184.

[20]THODE H C. Statistical tools for simulation practitioners[J]. Technometrics， 1988，30（4）：464-464.

[21]ALEXANDROV N M， LEWIS R M， GUMBERT C R， et al. Optimization with variable-fidelity models applied to wing design[C]// 38th Aerospace Sciences Meeting & Exhibit， AIAA . Reno： American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc， 2000：1884-2019.

[22]ELDRED M S， GIUNTA A A， COLLIS S S. Second-order corrections for surrogate-based optimization with model hierarchies[C]// Collection of Technical Papers-10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference. Albany： AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference， 2004：1754-1768.

[23]GANO S E， RENAUD J E， SANDERS B. Hybrid variable fidelity optimization by using a Kriging-based scaling function[J]. AIAA Journal， 2005，43（11）：2422-2433.

[24]MARDUEL X， TRIBES C.， TRPANIER J Y. Variable-fidelity optimization： Efficiency and robustness[J]. Optimization and Engineering， 2006， 7（4）：479-500.

[25]FISCHER C C， GRANDHI R V. A surrogate-based adjustment factor approach to multi-fidelity design optimization[C]// 17th AIAA Non-Deterministic Approaches Conference. Kissimmee： American Institute of Aeronautics and Astronautics， 2015.DOI：10.2514/6.2015-1375.

[26]WANG F， ZHANG Q J. Knowledge-based neural models for microwave design[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1997，45（12）：2333-2343.

[27]GANO S E， RENAUD J E， SANDERS B. Variable fidelity optimization using a kriging based scaling function[C]// American Institute and Astronautics Papers. Albany： 10th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference， 2004：1789-1807.

[28]GHOSH S， JACOBS R B， MAVRISY D N. Multi-source surrogate modeling with bayesian hierarchical regression[C]// 17th AIAA Non-Deterministic Approaches Conference 2015. Kissimmee： American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc，2015.DOI：10.2514/6.2015-1817.

[29]LEARY S J， BHASKAR A， KEANE A J. A knowledge-based approach to response surface modelling in multifidelity optimization[J]. Journal of Global Optimization， 2003，26（3）：297-319.

[30]HAN Z H， G，RTZ S， ZIMMERMANN R. Improving variable-fidelity surrogate modeling via gradient-enhanced kriging and a generalized hybrid bridge function[J]. Aerospace Science and Technology，2013，25（1）：177-189.

[31]QIAN Z G， SEEPERSAD C C， JOSEPH V R， et al. Building surrogate models based on detailed and approximate simulations[J]. Journal of Mechanical Design， 2006，128（4）：963-972.

[32]TOROPOV V V， MARKINE V L. The use of simplified numerical models as mid-range approximations[C]// 6th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. Bellevue： Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization， 1996：952-958.

[33]NAVA E， PINTOS S， QUEIPO N V. A geostatistical perspective for the surrogate-based integration of variable fidelity models[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering， 2010，71（1/2）：56-66.

[34]FORRESTER A I J， SBESTER A， KEANE A J. Multi-fidelity optimization via surrogate modelling[J]. Proceedings： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 2007，463：3251-3269.

[35]高正紅， 左英桃. 變可信度模型管理優(yōu)化設計方法在氣動外形設計中的應用[J]. 應用力學學報， 2008，25（1）：16-20.

GAO Zhenghong， ZUO Yingtao. Aerodynamic optimization based on variable-fidelity models[J]. Chinese Journal of applied mechanics， 2008，25（1）：16-20.

[36]張德虎， 高正紅，王明亮. 基于變可信度模型差值的低可信度模型修正方法[J]. 西北工業(yè)大學學報， 2011，29（2）：176-182.

ZHANG Dehu， GAO Zhenghong， WANG Mingliang. A new and better metamodel utilizing difference between high- and low-fidelity model[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University， 2011，29（2）：176-182.

[37]劉蔚. 多學科設計優(yōu)化方法在 7 000 米載人潛水器總體設計中的應用[D].上海：上海交通大學， 2007.

LIU Wei. Application of MDO Method to 7 000 m HOV General Design[D]. Shanghai： Shanghai Jiaotong University， 2007.

[38]龔春林，袁建平， 谷良賢，等. 基于響應面的變復雜度氣動分析模型[J]. 西北工業(yè)大學學報， 2006，24（4）：532-535.

GONG Chunlin， YUAN Jianping， GU Liangxian， et al. Improving variable complexity model（VCM） for aerodynamic analysis[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University， 2006，24（4）：532-535.

[39]SUN G Y， LI G Y， STONE M， et al. A two-stage multi-fidelity optimization procedure for honeycomb-type cellular materials[J]. Computational Materials Science， 2010，49（3）：500-511.

[40]SUN G Y， LI G Y， LI Q. Variable fidelity design based surrogate and artificial bee colony algorithm for sheet metal forming process[J]. Finite Elements in Analysis and Design， 2012，59：76-90.

[41]謝暉，陳龍，李凡.RBF近似模型在汽車碰撞變復雜度建模中的應用[J].機械科學與技術，2016，35（10）：1624-1628.

XIE Hui，CHEN Long， LI Fan. Application on variable complexity models for vehicle safety based on RBF meta-modeling technique[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2016，35（10）：1624-1628.

[42]張瑜，韓忠華，劉俊，等. 基于梯度增強分層kriging模型和NS方程的高效氣動優(yōu)化設計方法[C]//第九屆全國流體力學學術會議論文摘要集.南京：中國力學學會流體力學專業(yè)委員會，2016：1-8.

[43]KOZIEL S， BEKASIEWICZ A. Implicit space mapping for variable-fidelity EM-driven design of compact circuits[J]. IEEE Microwave and Wireless Components Letters， 2018，28（4）：275-277.

[44]THOKALA P， MARTINS J. Variable-complexity optimization applied to airfoil design[J]. Engineering Optimization， 2007，39（3）：271-286.

[45]XIA L， GAO Z H. Application of variable-fidelity models to aerodynamic optimization[J]. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）， 2006，27（8）：1089-1095.

[46]高正紅，左英桃.基于變可信度模型管理的氣動外形優(yōu)化設計方法[C]//近代空氣動力學研討會論文集.綿陽：近代空氣動力學研討會， 2005：108-115.

[47]左英桃. 變可信度模型管理結構優(yōu)化方法應用研究[D].西安：西北工業(yè)大學， 2004.

[48]BOOKER A J， DENNIS J E， FRANK P D， et al. A rigorous framework for optimization of expensive functions by surrogates[J]. Structural Optimization， 1999，17（1）：1-13.

[49]BURTON S A， HAJELA P. A variable-complexity approach to second-order reliability-based optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2003，25（4）：237-250.

[50]HINO R， YOSHIDA F， TOROPOV V V. Optimum blank design for sheet metal forming based on the interaction of high- and low-fidelity FE models[J]. Archive of Applied Mechanics， 2006，75（10/11/12）：679-691.

[51]RODRGUEZ G M， RENAUD J E， TOMAR V， et al. A variable fidelity model management framework for multiscale computational design of continuous fiber SiC-Si3N4 ceramic composites[C]// Collection of Technical Papers - AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures， Structural Dynamics and Materials Conference. New York： ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference， 2007：39-49.

[52]SILVA V V R， FLEMING P J， SUGIMOTO J， et al. Multiobjective optimization using variable complexity modelling for control system design[J]. Applied Soft Computing， 2008，8（1）：392-401.

[53]RODRGUEZ J F， PREZ V M， PADMANABHAN D， et al. Sequential approximate optimization using variable fidelity response surface approximations[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001，22（1）：24-34.

[54]XIONG Y， CHEN W， TSUI K L. A new variable-fidelity optimization framework based on model fusion and objective-oriented sequential sampling[J].Journal of Mechanical Design， 2008，130（11）：699-708.

[55]SONG C， YANG X D， SONG W P. Multi-infill strategy for kriging models used in variable fidelity optimization[J]. Chinese Journal of Aeronautics， 2018，31（3）：448-456.

[56]劉慧超. 基于近似模型的變復雜度優(yōu)化方法研究[D]. 長沙：國防科學技術大學， 2006.

LIU Huichao. Study on Variable Complexity Optimization based on Approximate Model[D].Changsha： Graduate School of National University of Defense Technology， 2006.

[57]劉桂萍，韓旭， 官鳳嬌. 基于信賴域近似模型管理的多目標優(yōu)化方法及其應用[J]. 中國機械工程， 2008，19（10）：1140-1143.

LIU Guiping， HAN Xu， GUAN Fengjiao. A multi-objective optimization method based on the trust region model management framework and its application[J]. China Mechanical Engineering， 2008，19（10）：1140-1143.

[58]周婷，吳宗成，陳澤民，等. 翼身組合體的變可信度優(yōu)化設計[J].北京航空航天大學學報，2012，38（7）：962-965.

ZHOU Ting， WU Zongcheng， CHEN Zeming，et al. Variable-fidelity optimization applied to wing-body configuration[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 2012，38（7）：962-965.

[59]鄭君.基于變可信度近似的設計優(yōu)化關鍵技術研究[D].武漢：華中科技大學， 2014.

ZHENG Jun. Research on Key Technologies of Variable-Fidelity Approximation-Based Design Optimization[D]. Wuhan： Huazhong University of Science and Technology， 2014.