基于兩層壓縮感知的頻率—角度聯(lián)合估計(jì)方法

魏爽 陶春貴 李莉 蔣德富

摘要： 介紹了一種基于兩層壓縮感知的頻率/角度聯(lián)合估計(jì)方法，第一層壓縮感知算法采用單快拍模型求解方向波數(shù)，第二層壓縮感知算法利用方向波數(shù)形成的參數(shù)逆矩陣求解頻率參數(shù)，以此求得角度.為驗(yàn)證所提方法的性能，利用3路不同頻率和角度的信號(hào)分別在不同信噪比（SNR）、快拍條件下對(duì)信源頻率/角度進(jìn)行估計(jì).仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法在少快拍條件下可對(duì)信源的頻率和角度進(jìn)行精確估計(jì).

關(guān)鍵詞：

兩層壓縮感知； 頻率估計(jì)； 角度估計(jì)； 方向波數(shù)； 信源定位

中圖分類號(hào)： TN 911文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 10005137（2018）02017907

Frequency and DOA joint estimation method based on

twolayer compressed sensing

Wei Shuang1，2， Tao Chungui2， Li Li1， Jiang Defu2

（1.The College of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China；

2.College of Computer and Information，Hohai University，Nanjing 211100，China）

Abstract：

A frequency and angle joint estimation method based on twolayer compressed sensing is introduced.The first layer uses single snapshot model to solve the direction wave number，and the second layer uses the inverse of the parameter matrix to solve the frequencies，so as to obtain angel parameters.In order to verify the performance of the proposed method，signals of three different frequencies and angles were used to estimate the source frequency/angle under different singal noise ratio （SNR） and snapshot conditions.Experiments results show that in the condition of few snapshots，the proposed method can obtain the accurate estimation of the source frequency and angle.

Key words：

twolayers compressed sensing； frequency estimation； angel estimation； directional wave number； source location.

收稿日期： 20180201

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（61401145）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK20140858）

作者簡(jiǎn)介： 魏爽（1983-），女，副教授，主要從事多維信號(hào)估計(jì)與檢測(cè)，智能優(yōu)化和數(shù)據(jù)挖掘算法，目標(biāo)定位與識(shí)別方面的研究.Email：weishuang@shnu.edu.cn

引用格式： 魏爽，陶春貴，李莉，等.基于兩層壓縮感知的頻率-角度聯(lián)合估計(jì)方法 [J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，47（2）：179-185.

Citation format： Wei S，Tao C G，Li L，et al.Frequency and DOA joint estimation method based on twolayer compressed sensing [J].Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），2018，47（2）：179-185.

0引言

信源定位是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中，為準(zhǔn)確對(duì)信源進(jìn)行定位，常涉及對(duì)頻率、多普勒頻移、波達(dá)時(shí)間、波達(dá)頻率等參數(shù)的估計(jì).隨著通信技術(shù)的飛速發(fā)展，波達(dá)方向和頻率聯(lián)合估計(jì)技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、勘探、射電天文、移動(dòng)通信等領(lǐng)域，成為了信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題[1-6].

自從波達(dá)方向和頻率的聯(lián)合估計(jì)方法問(wèn)世以來(lái)，學(xué)者們提出了許多同類方法.文獻(xiàn)[7]提到一種基于空域?yàn)V波的頻率和方向波數(shù)配對(duì)方法，該方法具有簡(jiǎn)單可行的優(yōu)點(diǎn).為提高方向波數(shù)估計(jì)精度，文獻(xiàn)[7-9]提出基于信號(hào)奇異值分解的壓縮感知方法，使空域?yàn)V波法在低信噪比（SNR）條件下的穩(wěn)健性大大增強(qiáng).

壓縮感知理論（CS）是一種新的高分辨求解算法，大量文獻(xiàn)研究表明該方法在低信噪比、少快拍數(shù)條件下對(duì)參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健性較好[10-13]，基于此，本文作者提出了一種兩層壓縮感知的頻率/角度估計(jì)方法.通過(guò)利用壓縮感知理論對(duì)方向波數(shù)和頻率的求解，提高算法在低信噪比、少快拍條件下對(duì)信源定位的精確度.

1信號(hào)模型

假設(shè)有P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)分別以θ1，θ2，θ3，…，θP角度入射到陣元數(shù)為N，陣元間距為d的均勻線陣上[1-8，14]，信號(hào)對(duì)應(yīng)的中心頻率分別為f1，f2，f3，…，fP，則第i個(gè)信號(hào)（i=1，2，3，…，P）角度和頻率的二維導(dǎo)向矢量

a（θi，fi）=[1exp[（-j2πfidsinθi）/c…exp[（-j2π（N-1）fidsinθi）/c]]T，（1）

其中，c=3×108 m/s表示光速，由于含有角度和頻率信息，求解導(dǎo)向矢量是一個(gè)二維求解問(wèn)題，為將其轉(zhuǎn)化為一維求解問(wèn)題，設(shè)共同含有頻率和角度的因子Ki=fisinθi/c，（i=1，2，3，…，P），稱K=[K1K2…KP]為方向波數(shù).那么，

a（Ki）=[1exp（-j2πdKi）…exp（-j2π（N-1）dKi）]T，（2）

其中，dKi表示第i個(gè)信號(hào)在相鄰陣元間之間的相位差，方向波數(shù)對(duì)應(yīng)的陣列流型

A=[a（K1）a（K2）…a（KP）]，（3）

其中A為N×P維矩陣.那么第t個(gè)快拍時(shí)刻線陣接收到的信號(hào)為

x（t）=As（t）+w（t），（4）

其中，x（t）N×l為第t個(gè)快拍時(shí)刻陣列接收的信號(hào)矢量，s（t）P×1=[sf1（t）sf2（t）…sfP（t）]T為第t個(gè)快拍時(shí)刻空間信號(hào)矢量，sfi（t）=exp[j2πfit/fs]，t=1，2，…，L，fs是采樣頻率，w（t）N×1為第t個(gè)快拍時(shí)刻高斯白噪聲.由（4）式可得在總共L個(gè)快拍中接收到的信號(hào)

X=AS+W，（5）

其中，XN×L=[x（1）x（2）…x（L）]為陣列接收信號(hào)，SP×L=[s（1）s（2）…s（L）]為L(zhǎng)次快拍接收到的空間信號(hào)，WN×L為高斯白噪聲.

2算法原理

2.1基于壓縮感知的方向波數(shù)求解

利用聯(lián)合估計(jì)的思想，將二維的頻率/角度問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一維的方向波數(shù)求解問(wèn)題，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算復(fù)雜度.一些學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，若要得到精確的角度估計(jì)必須先得到精確的方向波數(shù)估計(jì)值，雖然以多信號(hào)分類（MUSIC）算法為代表的經(jīng)典譜估計(jì)方法[15-16]已能對(duì)方向波數(shù)進(jìn)行高分辨估計(jì)，但這類算法所需快拍大，計(jì)算復(fù)雜.壓縮感知方法[17-18]以分辨率高，所需快拍數(shù)少，利用很少的數(shù)據(jù)信息即可對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確恢復(fù)的特點(diǎn)，在信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注.

CS指出當(dāng)信號(hào)具有（或在某個(gè)域具有）稀疏性特點(diǎn)時(shí)，可利用一個(gè)低維矩陣對(duì)該稀疏信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，抽取其中的一部分信息，將高維信號(hào)轉(zhuǎn)化為低維信號(hào)，通過(guò)尋優(yōu)求解的方法求出最優(yōu)值.本研究中，方向波數(shù)在整個(gè)方向波數(shù)域內(nèi)是稀疏的，因此只需利用潛在可能的方向波數(shù)值構(gòu)造出過(guò)完備的正交稀疏字典，構(gòu)造方法為：將整個(gè)方向波數(shù)域進(jìn)行等格離柵，分為β個(gè)等份，以每一個(gè)離柵格點(diǎn)的導(dǎo)向矢量作為變換基矩陣的一個(gè)列，構(gòu)造一個(gè)N×β維的變換基矩陣

Ψ=[a（K—1）a（K—1）…a（K—β）]，（6）

其中，K—i（i=1，2，…，β）為等格劃分后潛在可能的方向波數(shù)值，a（K—i）=[1exp（-j2πd—Ki）…exp（-j2π（N-1）dK—i）]T為構(gòu)造的潛在方向波數(shù)導(dǎo)向矢量，那么第t個(gè)快拍時(shí)刻線陣接收到的信號(hào)可被稀疏表示為

x（t）=Ψy（t）+e（t），（7）

其中，y（t）β×1為第t個(gè)快拍時(shí)刻線陣接收到的信號(hào)的稀疏表示，e（t）為高斯白噪聲.

高斯隨機(jī)矩陣能很好地滿足約束等距性條件（RIP），被廣泛應(yīng)用于壓縮感知方法，因此利用高斯隨機(jī)矩陣ΦM×N對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，觀測(cè)信號(hào)

z（t）=Φx（t）=ΦΨy（t）+Φe（t）=Ty（t）+Φe（t），（8）

其中，z（t）M×1為第t個(gè)快拍時(shí)刻線陣接收到的信號(hào)經(jīng)過(guò)壓縮觀測(cè)后的觀測(cè)信號(hào)，TM×LN為壓縮感知恢復(fù)矩陣.

在信號(hào)滿足壓縮感知的條件下，通過(guò)求解l1范數(shù)對(duì)（8）式進(jìn)行求解，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

mins-ΦΨy—2+λy—1

（9）

求解模型（9）的算法有多種，本文作者所用信號(hào)稀疏度均為已知，以正交匹配追蹤（OMP）算法對(duì)信號(hào)方向波數(shù)進(jìn)行求解.

2.2方向波數(shù)和頻率的配對(duì)算法

在求出信號(hào)方向波數(shù)后，只需求出信號(hào)的頻率，然后將頻率與方向波數(shù)進(jìn)行配對(duì)，即可求出信號(hào)頻率/角度的二維信息.對(duì)于信號(hào)頻率的求解，有學(xué)者提出了基于空域?yàn)V波的頻率和方向波數(shù)匹配的方法[8]，利用自適應(yīng)波束形成算法分別對(duì)所求方向波數(shù)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)進(jìn)行空域?yàn)V波并對(duì)輸出信號(hào)利用傅里葉變換（FFT）進(jìn)行測(cè)頻，獲得每個(gè)方向波數(shù)所對(duì)應(yīng)信號(hào)的頻率，即實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻率與方向波數(shù)的匹配.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：此方法可對(duì)頻率和角度進(jìn)行較為精確的估計(jì)[7-8].

本文作者提出一種基于壓縮感知的方向波數(shù)和頻率配對(duì)的估計(jì)算法，利用所求方向波數(shù)構(gòu)造方向波數(shù)參數(shù)矩陣（以下簡(jiǎn)稱參數(shù)矩陣）[19]

B=b（K^1）b（K^2）…b（K^P）」，

（10）

其中，b（K^i）=[1exp（-j2πdK^i）…exp（-j2π（N-1）dK^i）]T為求解方向波數(shù)導(dǎo)向矢量.用BN×P對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行改寫，改寫后的信號(hào)（以下簡(jiǎn)稱加參信號(hào)）

X^=XT（BT）^+=STAT（BT）^++WT（BT）^+，（11）

其中，X^L×P為加參信號(hào)，（BT）^+N×P為BN×P轉(zhuǎn)置的廣義逆矩陣，W^L×P為噪聲信號(hào)，ΩP×P是一個(gè)近似于單位矩陣的方陣，稱為干擾矩陣，當(dāng)求解的方向波數(shù)越精確，ΩP×P越接近單位矩陣，此時(shí)對(duì)信號(hào)干擾越小，X^L×P就越接近原始信號(hào)空間信息.

（11）式所得的加參信號(hào)只含有頻率信息，且目標(biāo)頻率在整個(gè)頻域范圍內(nèi)具有稀疏的特性，因此適用于CS理論，可對(duì)整個(gè)頻域進(jìn)行等格離柵劃分，以每一個(gè)離柵格點(diǎn)的導(dǎo)向矢量作為變換基矩陣的一個(gè)列，構(gòu)造一個(gè)α×L維的變換基矩陣

Ψ^=[s^（1）s^（2）…s^（L）]，（12）

s^（t）=[exp（j2πf—1t/fs）exp（j2πf—2t/fs）…exp（j2πf—αt/fα）]T，（13）

其中，f—i（i=1，2，…，α）為等格劃分后潛在可能的頻率值，s^（t）為潛在頻率導(dǎo)向矢量.

均勻線陣經(jīng)歷L個(gè)快拍接收到的空間信號(hào)頻率信息

X^=Ψ^TY^+E^，（14）

其中，Y^α×P為經(jīng)歷L個(gè)快拍時(shí)刻線陣接收信號(hào)的稀疏表示，E^α×P為噪聲.利用高斯矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維觀測(cè)得

Z^=Φ^X^=Φ^Ψ^TY^+Φ^E^=T^Y^++Φ^E^

（15）

其中，Z^M×P為L(zhǎng)快拍期間線陣接收到的空間信號(hào)經(jīng)過(guò)壓縮觀測(cè)后所得觀測(cè)信號(hào)，T^M×α為壓縮感知恢復(fù)矩陣.由于所得觀測(cè)空間信號(hào)是矩陣形式，且Y^α×P每列只包含一個(gè)有用頻率信息，只需對(duì)每列分別利用OMP算法求解即可得到相應(yīng)的頻率信息.

當(dāng)求出完整的頻率信息后還需對(duì)所求頻率和方向波數(shù)進(jìn)行匹配，以求解出相應(yīng)的角度信息，利用所求頻率構(gòu)造匹配矩陣QL×P，將匹配矩陣QL×P中的每個(gè)元素與加參信號(hào)X^L×P中元素配對(duì)，找出最接近兩矩陣的匹配矩陣模型，即完成信號(hào)頻率與方向波數(shù)匹配，該匹配方法可以描述為：

minX^-QF

s.t.Q=[q（Y—z（1））q（Y—z（2））…q（Y—z（P））]

，（16）

其中，Y—Z=randperm（f—1f—2…f—P），f—i為所求信號(hào)頻率（i=1，2，…，P），q（Y^z（i））=[exp（j2πf—i/fs）exp（j2πf—i2/fs）…exp（j2πf—iL/fs）]T為所求頻率構(gòu)造的導(dǎo)向矢量.

根據(jù)所求方向波數(shù)及頻率的匹配情況，即可求出信號(hào)角度信息

θ—i=arcsin（K—ic/f—i），（17）

其中，K—i、f—i為相匹配的方向波數(shù)和頻率.

圖1為所提出方法的流程圖.

3仿真與分析

為衡量算法性能優(yōu)劣，以空域?yàn)V波法為對(duì)照，設(shè)計(jì)了在不同快拍數(shù)、信噪比條件下對(duì)信號(hào)角度和頻率進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：所提方法可在信噪比較低的條件下，利用較少的快拍數(shù)對(duì)信號(hào)角度和頻率進(jìn)行精確估計(jì).

為準(zhǔn)確評(píng)價(jià)算法性能采用蒙特卡羅方法對(duì)算法進(jìn)行仿真，利用均方根誤差（RMSE）來(lái)描述算法的誤差.

對(duì)實(shí)驗(yàn)中所涉及數(shù)據(jù)做如下規(guī)定，角度范圍為[-90°，90°]，頻域范圍為0～100 MHz，采用陣元數(shù)N=40的均勻線陣，分別選取角度為-20°、20°、45°，頻率為40、60、80 MHz的信源，則真實(shí)的方向波數(shù)分別為-0.0456、0.0684、0.1886.利用單快拍壓縮感知模型，采用OMP算法對(duì)方向波數(shù)進(jìn)行求解，在求得方向波數(shù)后，分別利用相關(guān)性匹配、空域?yàn)V波及快速傅里葉變換相結(jié)合的方法對(duì)頻率進(jìn)行估計(jì)，在頻率求解時(shí)以高斯矩陣作為壓縮感知測(cè)量矩陣，變換基矩陣的維度為100，空域?yàn)V波過(guò)程中的傅里葉變換離散值取1 024.

3.1實(shí)驗(yàn)一

為直觀比較所提算法與空域?yàn)V波算法對(duì)頻率估計(jì)的性能，先采用OMP算法獲得相同的方向波數(shù)，再分別用空域?yàn)V波法和所提方法估計(jì)出信號(hào)頻率參數(shù).圖2（a） 信噪比為30 dB，快拍數(shù)L=100，圖2（b）中信噪比為10 dB，快拍數(shù)L=10.

觀察圖2（a）、2（b）可發(fā)現(xiàn)，空域?yàn)V波后用傅里葉變換的方法與本方法均能準(zhǔn)確求出信號(hào)的頻率，在較低信噪比和較小快拍數(shù)條件下，空域?yàn)V波所得信號(hào)頻譜能量分散，譜峰不夠尖銳，而本算法在相同條件下，依然可以得到較為穩(wěn)定的頻率值.

3.2實(shí)驗(yàn)二

為驗(yàn)證本算法在不同信噪比條件下的性能，在快拍數(shù)L分別為10、100時(shí)，分析不同信噪比對(duì)信源頻率的誤差.不失一般性地，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行500次蒙特卡羅循環(huán).

從圖3、4中可以發(fā)現(xiàn)，L=10、L=100兩種情況對(duì)頻率、角度估計(jì)誤差均隨著信噪比增大而減小.觀察圖3發(fā)現(xiàn)，同等條件下，兩種方法在快拍數(shù)較大時(shí)對(duì)頻率估計(jì)更加精確，且快拍數(shù)較大時(shí)，所提方法對(duì)頻率估計(jì)精度優(yōu)于空域?yàn)V波；觀察圖4 發(fā)現(xiàn)，快拍數(shù)增加會(huì)導(dǎo)致角度估計(jì)誤差略有增大，而所提方法在兩種快拍條件下對(duì)角度估計(jì)均優(yōu)于空域?yàn)V波法.

對(duì)比圖3、4發(fā)現(xiàn)，同等條件下，所提方法在小快拍數(shù)條件下，雖然頻率估計(jì)誤差比空域?yàn)V波法略大，但角度估計(jì)比空域?yàn)V波法更加精確.這是因?yàn)榉较虿〝?shù)求解過(guò)程只用了一個(gè)快拍數(shù)據(jù)，快拍數(shù)的多少對(duì)方向波數(shù)求解沒(méi)有影響，因此方向波數(shù)誤差在信噪比相同時(shí)，幾乎是固定的；方向波數(shù)的誤差影響角度的求解，對(duì)于同一個(gè)方向波數(shù)值，當(dāng)頻率求解精確時(shí)必然導(dǎo)致角度求解誤差增大，當(dāng)頻率求解誤差大時(shí)，角度求解誤差小.

4結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于兩層壓縮感知的頻率和角度聯(lián)合估計(jì)方法，首先僅使用單快拍信號(hào)，結(jié)合壓縮感知方法求出方向波數(shù)估計(jì)值，構(gòu)造方向波數(shù)參數(shù)矩陣，對(duì)參數(shù)矩陣求逆，得到信號(hào)空間信息.此時(shí)空間信息在頻域內(nèi)具有稀疏特性，再利用壓縮感知對(duì)該空間信息求解得到信源的頻率信息，最后需要利用相似性匹配完成方向波數(shù)和頻率的配對(duì)，求出角度參數(shù).該方法可在小快拍數(shù)的條件下對(duì)信源角度和頻率進(jìn)行精確估計(jì)，對(duì)于目標(biāo)探測(cè)與識(shí)別、水下聲吶系統(tǒng)、無(wú)線通信等問(wèn)題的研究具有一定參考意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]Lemma A N，Van Der Veen A J，Deprettere E F.Analysis of joint anglefrequency estimation using ESPRIT [J].IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）：1264-1283.

[2]Yun X L，Wei Z X，Bin Z G.Blind joint angle and frequency estimation based on uniform rectangular acoustic vector sensor array [C].Proceedings of the 10th International Conference on Natural Computation，Xiamen：IEEE，2014.

[3]李建峰，張小飛.基于四線性分解的雙基地MIMO雷達(dá)的角度和多普勒頻率聯(lián)合估計(jì) [J].航空學(xué)報(bào)，2012，33（8）：1474-1482.

Li J F，Zhang X F.Joint estimation of angle and Doppler frequency in bistatic MIMO radar based on quadrilinear decomposition [J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33（8）：1474-1482.

[4]張小飛，陳華偉，仇小鋒，等.陣列信號(hào)處理及MATLAB實(shí)現(xiàn) [M].2版.北京：電子工業(yè)出版社，2015.

Zhang X F，Chen H W，Qiu X F，et al.Array signal processing and MATLAB implementation [M].2nd ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2015.

[5]Wang W Q，So H C.Transmit subaperturing for range and angle estimation in frequency diverse array radar [J].IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62（8）：2000-2011.

[6]許凌云，張小飛，許宗澤，等.基于任意聲矢量傳感器陣列的角度和頻率估計(jì)算法 [J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2012，33（10）：2234-2240.

Xu L Y，Zhang X F，Xu Z Z，et al.Novel joint angle and frequency estimation algorithm based on arbitrary acoustic vector array [J].Chinese Journal of Scientific Instrument，2012，33（10）：2234-2240.

[7]劉聰鋒，廖桂生.基于空域?yàn)V波的方向波數(shù)域測(cè)向測(cè)頻新方法 [J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25（1）：60-65.

Liu C F，Liao G S.Novel method of angle and frequency estimation in direction wavenumber region using space filtering [J].Chinese Journal of Radio Science，2010，25（1）：60-65.

[8]沈志博，趙國(guó)慶，董春曦，等.基于壓縮感知的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)算法 [J].航空學(xué)報(bào)，2014，35（5）：1357-1364.

Shen Z B，Zhao G Q，Dong C X，et al.United frequency and DOA estimation algorithm based on compressed sensing [J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（5）：1357-1364.

[9]鄭軼松，陳伯孝，楊明磊.一種基于空域?yàn)V波的空間臨近相干源角度估計(jì)方法 [J].電子與信息學(xué)報(bào)，2016，38（12）：3100-3106.

Zhen Y S，Chen B X，Yang M L.Direction of arrival estimation method for spatially adjacent coherent sources based on spatial filtering [J].Journal of Electronics & Information Technology，2016，38（12）：3100-3106.

[10]Donoho D L.Compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.

[11]Candès E J，Wakin M B.An introduction to compressive sampling [J].IEEE Signal Processing Magazine，2008，25（2）：21-30.

[12]Tsaig Y，Donoho D L.Extensions of compressed sensing [J].Signal Processing，2006，86（3）：549-571.

[13]Candès E J，Romberg J，Tao T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.

[14]趙永紅，張林讓，劉楠，等.一種新的基于稀疏表示的寬帶信號(hào)DOA估計(jì)方法 [J].電子與信息學(xué)報(bào)，2015，37（12）：2935-2940.

Zhao Y H，Zhang L R，Liu N，et al.A Novel method of DOA estimation for wideband signals based on sparse representation [J].Journal of Electronics & Information Technology，2015，37（12）：2935-2940.

[15]Asgedom E G，Gelius L J，Austeng A，et al.Timereversal multiple signal classification in case of noise：a phasecoherent approach [J].The Journal of the Acoustical Society of America，2011，130（4）：2024-2034.

[16 ]Khan Z I，Kamal M M，Hamzah N，et al.Analysis of performance for multiple signal classification （MUSIC） in estimating direction of arrival[C].Proceedings of 2008 IEEE International RF and Microwave Conference，Kuala Lumpur：IEEE，2008.

[17]Bilik I.Spatial compressive sensing for directionofarrival estimation of multiple sources using dynamic sensor arrays [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011，47（3）：1754-1769.

[18]Rossi M，Haimovich A M，Eldar Y C.Conditions for target recovery in spatial compressive sensing for MIMO radar [C].Proceedings of 2013 IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing，Vancouver：IEEE，2013.

[19]顧建峰，魏平.基于偽協(xié)方差矩陣的頻率和角度聯(lián)合估計(jì)算法 [J].通信學(xué)報(bào)，2007，28（8）：40-45.

Gu J F，Wei P.Joint frequencyangle estimation using a pseudocovariance matrix [J].Journal on Communications，2007，28（8）：40-45.

（責(zé)任編輯：顧浩然，包震宇）