四旋翼無人機(jī)建模與PID控制器設(shè)計(jì)

馮培晏

摘要：文中通過對(duì)四旋翼無人機(jī)的機(jī)體結(jié)構(gòu)和飛行原理的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用牛頓——?dú)W拉法對(duì)四旋翼無人機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)受力分析，在小角度轉(zhuǎn)動(dòng)下，建立了該無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用PID對(duì)其進(jìn)行控制，通過無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了雙環(huán)PID控制器（內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制與外環(huán)位置控制），通過MATLAB仿真驗(yàn)證其有效性。

關(guān)鍵詞：四旋翼無人機(jī);建模;PID控制

中國分類號(hào)：TB472 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編碼：1672-7053（2018）06-0135-03

近年來，隨著科技的不斷發(fā)展和我國工業(yè)技術(shù)的不斷革新，越來越多的研究機(jī)構(gòu)投入到四旋翼無人機(jī)的研究中。四旋翼無人機(jī)由于不需要尾翼，在結(jié)構(gòu)上與傳統(tǒng)無人機(jī)相比，簡單操作更加靈活多變、價(jià)格低廉、便于生產(chǎn)、拆卸方便、易于維護(hù)且方便運(yùn)輸，能夠在狹小的空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)垂直起降、定點(diǎn)懸停、低速飛行、旋轉(zhuǎn)、側(cè)飛及倒飛等動(dòng)作，操作靈活，可控性較強(qiáng)。四旋翼無人機(jī)的發(fā)展和研究以國內(nèi)發(fā)展研究狀況還存在這些問題：（1）數(shù)學(xué)模型建立無法完全精確：讓四旋翼無人機(jī)的平穩(wěn)飛行，必須在建立精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型下，才能設(shè)計(jì)得到的控制器。由于四旋翼無人機(jī)在實(shí)際飛行的過程中會(huì)遇到不確定性的外界因素的影響，和無人機(jī)機(jī)體還可能會(huì)受到自身的物理效應(yīng)（陀螺效應(yīng)、空氣阻力、擾動(dòng)氣流等）的影響。再者傳感器采集的飛行數(shù)據(jù)也會(huì)存在一定的誤差，使得完全精準(zhǔn)的四旋翼無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型建立存在一定的難度;（2）飛行控制算法：四旋翼無人機(jī)本身就是一個(gè)6自由度、4個(gè)變量輸入的多變量、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)，對(duì)干擾十分敏感，再加上傳感器精度和建模的準(zhǔn)確性使得對(duì)控制器的設(shè)計(jì)造成了很大的不便。飛行控制算法是保證四旋翼無人機(jī)平穩(wěn)飛行的前提?，F(xiàn)在四旋翼無人機(jī)的飛行控制算法主要包括PID控制、滑?？刂?、H ∞控制、反步法以及智能控制等;（3）自主導(dǎo)航智能飛行：四旋翼無人機(jī)不但可以遙控器控制，還可以自主導(dǎo)航智能飛行;（4）最優(yōu)化設(shè)計(jì)：在進(jìn)行四旋翼無人機(jī)的總體設(shè)計(jì)時(shí)，既要保證速度和功耗在條件允許范圍內(nèi)，還要根據(jù)需求選擇合適的無人機(jī)材料和配件。與之同時(shí)還要遵守體積小、質(zhì)量輕、功耗小、成本低、響應(yīng)快的原則。

本文通過對(duì)四旋翼無人機(jī)機(jī)體結(jié)構(gòu)和飛行原理了解，運(yùn)用牛頓歐拉定律對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)受力分析，建立其小角度飛行下的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用PID算法設(shè)計(jì)了PID控制器，內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制與外環(huán)位置控制，并進(jìn)行了matlab仿真驗(yàn)證其有效性。

1機(jī)體結(jié)構(gòu)與飛行原理

四旋翼無人機(jī)擁有4個(gè)旋翼，且相互對(duì)稱，分別分布在機(jī)體的前后、左右四個(gè)方向。如圖1所示：

四旋翼飛行器控制機(jī)體的實(shí)時(shí)姿態(tài)和實(shí)時(shí)位置是通過調(diào)節(jié)4個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)的，電機(jī)轉(zhuǎn)速的改變就改變了旋翼的轉(zhuǎn)速，從而使每個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力不同，在機(jī)架4個(gè)旋翼位置不同升力的變換，使得機(jī)體發(fā)生姿態(tài)和位置的變換。四旋翼無人機(jī)擁有4種不同的飛行方式：

1）垂直運(yùn)動(dòng)：當(dāng)四旋翼無人機(jī)同時(shí)加大4個(gè)電機(jī)的相同轉(zhuǎn)速時(shí)，4個(gè)旋翼增加相同的升力，若產(chǎn)生的總升力大于機(jī)體所受到的重力時(shí)，無人機(jī)便會(huì)垂直上升;反之，當(dāng)其同時(shí)減少4個(gè)電機(jī)的相同轉(zhuǎn)速時(shí)，產(chǎn)生的總升力小于機(jī)體所受的重力，就會(huì)垂直下降。如果在沒有外界干擾時(shí)，無人機(jī)產(chǎn)生的總升力等于所受到的重力時(shí)，這時(shí)四旋翼無人機(jī)處于水平懸停。

2）偏航運(yùn)動(dòng)：前文提到，四旋翼無人機(jī)用了2個(gè)正槳和2個(gè)反槳，是為了抵消旋翼在旋轉(zhuǎn)過程中所產(chǎn)生的扭矩，讓無人機(jī)保持平穩(wěn)的飛行。相鄰的旋翼螺旋槳不同，對(duì)角線上的電機(jī)旋轉(zhuǎn)方向也不同。旋翼產(chǎn)生的扭矩與旋翼自身的轉(zhuǎn)速有關(guān)，當(dāng)四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速相同時(shí)，四個(gè)旋翼產(chǎn)生的扭矩相互抵消，四旋翼無人機(jī)不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng);當(dāng)四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速不完全相同時(shí)，不平衡的扭矩會(huì)引起四旋翼無人機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)。在圖2（b）中，當(dāng)電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速上升，電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速下降時(shí)，旋翼2和旋翼4對(duì)機(jī)身的反扭矩大于旋翼1和旋翼3對(duì)機(jī)身的反扭矩，機(jī)身便在富余反扭矩的作用下繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)飛行器的偏航運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)向與電機(jī)2、電機(jī)4的轉(zhuǎn)向相反。

3）俯仰運(yùn)動(dòng)：電機(jī)1轉(zhuǎn)速減少（增加），電機(jī)3轉(zhuǎn)速增加（減少），保持電機(jī)2與電機(jī)4的轉(zhuǎn)速不變。由于旋翼3升力增加（減少），旋翼1升力下降（增加），產(chǎn)生的不平衡力矩使機(jī)身傾斜，產(chǎn)生向前（向后）的分力，向前飛行。

4）橫滾運(yùn)動(dòng)：橫滾運(yùn)動(dòng)與俯仰運(yùn)動(dòng)的原理相同，電機(jī)2轉(zhuǎn)速減少（增加），電機(jī)4轉(zhuǎn)速增加（減少），保持電機(jī)1與電機(jī)3的轉(zhuǎn)速不變。由于旋翼4升力增加（減少），旋翼2升力下降（增加），產(chǎn)生的不平衡力矩使機(jī)身傾斜，產(chǎn)生側(cè)向的分力，側(cè)向飛行。

四旋翼無人機(jī)的四種飛行運(yùn)動(dòng)模式可以相互疊加飛行，從而通過復(fù)雜的飛行運(yùn)動(dòng)完成指定的飛行任務(wù)和期望位置。

2建立數(shù)學(xué)模型

建立慣性坐標(biāo)系N系與機(jī)體坐標(biāo)系B系如圖2所示：

本文選擇的導(dǎo)航坐標(biāo)系為地理坐標(biāo)系，其的原點(diǎn)選在初始無人機(jī)位置，Z軸沿當(dāng)?shù)貐⒖紮E球的法線指向天頂，×軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)且沿當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度指向東，Y軸沿當(dāng)?shù)刈游缇€指向北。滿足右手定則。在我國，地理系按照東一北一天的旋轉(zhuǎn)次序選取，而在西方，地理坐標(biāo)系按照北一東一地的旋轉(zhuǎn)次序選取。

機(jī)體坐標(biāo)系對(duì)于四旋翼無人機(jī)而言，無人機(jī)的質(zhì)心為機(jī)體坐標(biāo)系的原點(diǎn)，X軸從質(zhì)心出發(fā)沿著機(jī)架指向1號(hào)旋翼，Y軸從質(zhì)心指向4號(hào)旋翼，Z軸豎直向上，相互垂直且滿足右手定則。

為了方便確定四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)時(shí)，定義以下歐拉角：

1）俯仰角θ：地理坐標(biāo)系OXY軸與機(jī)體坐標(biāo)系ox軸夾角。

2）橫滾角φ：地理坐標(biāo)系OXY平面與機(jī)體坐標(biāo)系OY軸的夾角。

3）偏航角ψ：地理坐標(biāo)系OX軸與機(jī)體坐標(biāo)系OX軸在地理坐標(biāo)系OXY平面的投影的夾角。

B系到N系旋轉(zhuǎn)矩陣為C_B-N。

其中C為cos，S為sin。

在建立四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型前，假設(shè)：（1）四旋翼無人機(jī)視為剛體且質(zhì)量均勻保持不變;無人機(jī)是標(biāo)準(zhǔn)的十字對(duì)稱型;（2）質(zhì)心與B系原點(diǎn)重合;（3）不計(jì)地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，重力加速度不變。根據(jù)牛頓一歐拉定律，在小角度飛行下忽略空氣阻力，螺旋槳的陀螺效應(yīng)以及高階量的乘積等，四旋翼無人機(jī)的數(shù)學(xué)模：

k_t為升力系數(shù)，k_d為扭矩系數(shù)，ω為各旋翼的旋轉(zhuǎn)速度，U₁垂直方向輸入量，U₂橫滾控制輸入量，U₃俯仰控制輸入量，U₄偏航控制輸入量，俯仰角θ，橫滾角φ，偏航角ψ，l_xl_yl_z為慣性扭矩。

3 PID控制器設(shè)計(jì)

通過對(duì)四旋翼無人機(jī)的建模，設(shè)計(jì)器PID控制器，無人機(jī)控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

設(shè)定在飛行過程中，期望偏航姿態(tài)角ψd已經(jīng)知道，期望位置信息為X_dY_dZ_d通過接收器得到，無人機(jī)機(jī)體位置信息X、Y、Z通過傳感器反饋回飛控計(jì)算得出，與期望位置坐標(biāo)信息對(duì)比，經(jīng)過位置控制器計(jì)算得出控制量U₁，此為四旋翼無人機(jī)的飛行升力，還得出期望俯仰姿態(tài)角θ_d與橫滾姿態(tài)角φ_d。四旋翼無人機(jī)實(shí)際姿態(tài)角是通過IMU等傳感器反饋回來的數(shù)據(jù)經(jīng)過算法計(jì)算得出，與期望姿態(tài)角進(jìn)行對(duì)比，再通過姿態(tài)控制器得出控制量U2U3U4。計(jì)算出的控制量經(jīng)過PWM最終傳給4個(gè)電機(jī)，從而改變無人機(jī)姿態(tài)與位置。

PID是P算法與I算法與D算法3中算法各種組合的統(tǒng)稱。可以選擇為PD，PI，單獨(dú)的P算法等。P（比例控制）以減少系統(tǒng)穩(wěn)定性為前提減小系統(tǒng)誤差。I（積分）和D（微分）必須和P（比例）控制搭配使用，I（積分）反映系統(tǒng)的累計(jì)偏差，使系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差。D（微分）反映系統(tǒng)偏差信號(hào)的變化率，具有預(yù)見性，從而進(jìn)行超前控制。四旋翼無人機(jī)的控制一般采用負(fù)反饋的PID控制器。穩(wěn)定性（P和I降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，D提高系統(tǒng)穩(wěn)定性）：在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)受到某個(gè)干擾后，經(jīng)過一段時(shí)間其被控量可以達(dá)到某一穩(wěn)定狀態(tài);準(zhǔn)確性（P和I提高穩(wěn)態(tài)精度，D無作用）：系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差;快速性（P和D提高響應(yīng)速度，I降低響應(yīng)速度）：系統(tǒng)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的要求。一般由過渡時(shí)間的長短來衡量。

PID控制器參數(shù)：

姿態(tài)回路P系數(shù)為15，i系數(shù)為0.2，d系數(shù)為9，位置回路P系數(shù)為12，i系數(shù)為0.1，d系數(shù)為5。

為了求取控制器的參數(shù)，需要獲取無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，主要包括機(jī)體機(jī)身高度、機(jī)體重量、旋臂臂展、繞三軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及螺旋槳的升力系數(shù)和扭矩系數(shù)。其中機(jī)體重量、旋臂臂展可以通過器件直接測(cè)量得出，螺旋槳的升力系數(shù)以及扭矩系數(shù)通過公式獲取。計(jì)算無人機(jī)的升力系數(shù)及扭矩系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式為K_t=C_tρAr²;K_d=C_dρAr²;在兩個(gè)公式中，C_t，C_d表示螺旋槳的翼型相關(guān)的常數(shù)，ρ為空氣密度，A為螺旋槳旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積，r為螺旋槳的長度。

假定四旋翼無人機(jī)完全對(duì)稱，且四旋翼無人機(jī)質(zhì)量分布均勻，那么四旋翼無人機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：繞X（或Y）軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量l_X（或l_Y以及繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量l_Z。假定四旋翼無人機(jī)的電機(jī)是標(biāo)準(zhǔn)圓柱體，無人機(jī)機(jī)體重心個(gè)個(gè)硬件的組合體包括負(fù)載視為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體，機(jī)體的四個(gè)懸臂均視為質(zhì)量均有的長方體。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可知，若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱體繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其質(zhì)量為m，半徑為r，高度為h，那么其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J_X=J_Y=m（3r²+h²）/12繞其橫截面上的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J_Z=m r²/2，若質(zhì)量均勻的細(xì)桿（質(zhì)量為m，長度為1）繞自身的中心轉(zhuǎn)動(dòng)，那么細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J=ml²/12。在由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定律可知，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心并與該軸平行且距離為d的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣倆個(gè)加上剛體的質(zhì)量與兩軸見距離的平方的乘機(jī)，即J=Jc+md²。實(shí)驗(yàn)所用無人機(jī)動(dòng)力學(xué)參數(shù)為表1：

4實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果

初始狀態(tài)為【0 0 1 0 0 0】，期望的狀態(tài)設(shè)定為[1 1 2 0 0 0]，仿真結(jié)果如下圖4所示。

由仿真圖可以知道，由于耦合作用的影響等其他因素影響，PID控制對(duì)于四旋翼無人機(jī)的控制效果不是很好。

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